圆锥曲线单元检测
一、选择题
11，那么它的半焦距是()
205A．5C152
B．2.5 D．15
x2y2
[答案] A
[解析] ∵a＝20，b＝5，∴c＝25，∴c＝5.
2
2
2
x2y2
2．若方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系成立的是()
ab
A－baCb>－a[答案] A
B．－b<a D．b－a
x2y2
[解析] －＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
ab
∴b<0，∴－b>a.
x2y2
3．(20152天津文)－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线
ab
的渐近线与圆(x－2)＋y＝3相切，则双曲线的方程为()
A1
913C－y＝1
3[答案] D
[解析] a＋b＝2＝4，不妨设渐近线方程bx＋ay＝0＝1，b＝3，∴x－＝1.
3
2
22
2
22
2
x2x2
y2
B．－＝1 139D．x－＝1
3
2
x2y2
2
y2
|2b|
a＋b
22
＝3，∴b＝3，∴a
2
y2
x2y2
4．若椭圆＝1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m的值为()
4m
A．5C5[答案] D
[解析] 解法一：由椭圆的焦点在x轴上，可知4>m，∴0<m<2，故选D． 解法二：由题意得4－m＝1，∴m＝3，又m>0，∴m3.
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2
2
2
B．3 D．3
5．设P是椭圆＋1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于
16925( )
A．22 C．20 [答案] A
[解析] 由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝26，因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝22. 6．设抛物线y＝8x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，则|PF|等于( ) A．8 C．4 [答案] B
[解析] 抛物线准线l：x＝－2，P到l距离d＝4－(－2)＝6，∴|PF|＝6.
B．6 D．2
2
x2y2
B．21 D．13
x2y2x2y2
7．双曲线22＝122＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m
abmb
为边长的三角形一定是( )
A．锐角三角形 C．钝角三角形 [答案] B
B．直角三角形 D．等腰三角形
a2＋b2m2－b2a2＋b2m2－b2
[解析] 双曲线的离心率e1＝椭圆的离心率e2＝，由2
amam
＝1得a＋b＝m，故为直角三角形．
8．过点(0,1)与双曲线x－y＝1仅有一个公共点的直线有( ) A．1条 C．3条 [答案] D
[解析] 过点(0,1)与双曲线x－y＝1的两条渐近线平行的直线与双曲线只有一个公
??y＝kx＋1
共点；过点(0,1)与双曲线相切的直线设为y＝kx＋1，由?22
??x－y＝1
2
2
2
2
2
2
2
B．2条 D．4条
，得(1－k)x－2kx
22
－2＝0，
当1－k≠0时，Δ＝4k＋8(1－k)＝0， ∴k＝±2，故满足条件的直线有4条．
2
2
2
x2y22
9．(20152山东省烟台市期末)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x
ab
＋2相切，则此双曲线的离心率等于( )
A．2
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B．3
C6 [答案] B
D．9
x2y2b
[解析] 2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y，代入抛物线方
aba
程y＝x＋2整理得x＋2＝0，
因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝(－8＝0， 即)＝8，
∴此双曲线的离心率e＝2
2
ba
ba
2
ba
2
ca
1＋?1＋8＝3.故选B．
2
2
ba
2
10．已知动圆P过定点A(－3,0)，并且与定圆B：(x－3)＋y＝64内切，则动圆的圆心P的轨迹是( )
A．线段 C．圆 [答案] D
[解析] 如下图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A(－3,0)和定圆的圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.∴点P的轨迹是以A、
B为焦点的椭圆，故选D．
B．直线 D．椭圆
11．设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为( )
1＋2A．
2C．12 [答案] B
[解析] 由题意2c＝|BC|，所以|AC|＝232c3sin60°＝23c，由双曲线的定义，有2a＝|AC|－|BC|＝3c－2c?a＝(3－1)c，∴e＝2
13B．2D．1＋3
ca
1＋3＝23－1
1
12．P为抛物线y＝2px的焦点弦AB的中点，A、B、P三点到抛物线准线的距离分别是
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|AA1|、|BB1|、|PP1|，则有( )
A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1|
1C．|PP1|>|AB| 2
[答案] B
[解析] 如图，
由题意可知|PP1|
＝|AA1|＋|BB1|， 21B．|PP1||AB| 21D．|PP1|<|AB| 2
根据抛物线的定义，得
|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BC|，
|AF|＋|BF|1∴|PP1|＝＝|AB|. 22
二、填空题
13．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，32)的双曲线方程为916
__________.
[答案] x2y2y28x22－9＝1
[解析] 设双曲线方程为：＝λ(λ≠0) 916
1又点(－3,32)在双曲线上，∴λ. 8
故双曲线方程为1. 29x2y2y28x2x2y21214．设椭圆2＋2＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y＝8x的焦点相同，离心率为mn2
此椭圆的方程为________.
[答案] x216＋＝1 12
2y2[解析] 抛物线y＝8x的焦点F(2,0)，
m－n＝4??由条件得?21??m222
x2??m＝16，∴?2??n＝122 ，
∴所求椭圆的方程为＋
1. 1612y2第 4 页 共 10 页
15．已知F是抛物线y＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(2,2)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是____________.
[答案] 3
[解析] 过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝3为所求最小值． 2
x2y2
16．(20152抚顺市六校联合体期中)已知点F1、F2分别是双曲线22＝1的左、右焦ab点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________.
[答案] (1,12)
[解析] ∵双曲线关于x轴对称，∴A、B两点关于x轴对称，∴|F2A|＝|F2B|，△ABF2为锐角三角形?∠AF2B为锐角?∠AF2F1<45°?|AF1|<|F1F2|，
b2b2∵F1(－c,0)，∴A(－c，)，即|AF1|＝ aa
又|F1F2|＝2c，
b2222∴<2c，∴c－2ac－a<0，∴e－2e－1<0， a
∴12<e<1＋2，
∵e>1，∴1<e<1＋2.
三、解答题
17．根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)；
(2)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.
[解析] (1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且－＝－2，所以p＝4，所以，所2
求抛物线的标准方程是x＝－8y.
(2)由焦点到准线的距离为5，知p＝5，又焦点在x轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程是y＝－10x.
1418－1共焦点，它们的离心率之和为，求椭圆的方程． 412522py2x2y2x2
[解析] 由题意设椭圆的方程为22＝1(a>b>0)． ab∵双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为e＝2，
4∴椭圆的焦点 (0，±4)，离心率e′＝. 5
∴a＝5.
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222∴b＝a－c＝9，故椭圆的方程为＋＝1. 259
19．已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)．
(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
(2)设点P，F1，F2关于直线y＝x的对称点分别为P′，f ′1，f ′2，求以f ′1，f ′2为焦点且过点P′的双曲线的标准方程；
(3)求过(2)中的点P′的抛物线的标准方程． y2x2x2y2
[解析] (1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，其半焦距c＝6. ab∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝11＋2＋1＋2＝65，
∴a＝5，b＝a－c＝45－36＝9.
故所求椭圆的标准方程为1. 459
(2)点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)关于直线y＝x的对称点分别为P′(2,5)，f ′1(0，－6)，f ′2(0,6)， 2222222x2y2y2x2
设所求双曲线的标准方程为22＝1(a1>0，b1>0)，由题意知半焦距c1＝6. a1b1
∵2a1＝||P′f ′1|－|P′f ′2||＝11＋21＋2|＝5，
∴a1＝5，b1＝c1－a1＝36－20＝16.
故所求双曲线的标准方程为
2222－＝1. 20162y2x2(3)设抛物线方程为y＝2px或x＝2p1y，
∵抛物线过P′(2,5)，
∴25＝4p或4＝10p1，
252∴pp1. 45
25422∴抛物线方程为y＝x或x＝y. 25
420．已知双曲线过点P(－32，4)，它的渐近线方程为y＝±x. 3
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1|2|PF2|＝41，求∠F1PF2的余弦值．
[解析] (1)由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－32的点P′的纵坐标的绝对值为2.
∵2>4，∴双曲线的焦点在x轴上，
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x2y2
设方程为2－2＝1. ab∵双曲线过点P(－32，4)，
1816∴2－21 ab
① ②， b4 a3
由①②，得a＝9，b＝16，
－1. 916
(2)设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2， 22x2y2则d12d2＝41.又由双曲线的几何性质知|d1－d2|＝2a＝6.
22d2
1＋d2－|F1F2|由余弦定理得cos∠F1PF2＝2d1d2
?d1－d2?＋2d1d2－|F1F2|9＝＝2d1d241
21．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)设椭圆的方程 22
x2y2
＋＝1(a>b>0)， a2b2
∵F(2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A(2,3)，
??c＝2，∴???2a＝3＋5＝8，
2 ??c＝2，∴???a＝4. ∵a＝b＋c， 222∴b＝12，故椭圆方程为1. 1612x2y23(2)假设存在符合题意的直线l，其方程y＝x＋t.由22xy2＝1.1612
＋3tx＋t－12＝0.
∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ＝(3t)－12(t－12)≥0，解得－43≤t≤43.
另一方面，由直线OA与l的距离等于4，
第 7 页 共 10 页 222?????y＝x＋t，32 消去y，得3x2
|t|4，∴t13. 9＋14可得，
由于±213?[－43，43]，
故符合题意的直线l不存在．
22.(20152江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
x2y22a2
＋1(a＞b＞0)的离心率为且右焦点F到直线l：x＝－ab2c
的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．
[解析] 方法一：(1)由椭圆的离心率ec
a2，得abc＝211. 2
a2又c＋3，得c＝1，a2，从而b＝1. c
所以椭圆的方程为＋y＝1. 2
(2)由(1)知，F(1,0)，l：x＝－2.
设直线AB的方程为x＝my＋1，
则直线CP的斜率为－m.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为C(x0，y0)．
则AB＝m＋1|y1－y2|，PC＝1＋m(x0＋2)．
由PC＝2AB，得x0＋2＝2|y1－y2|.
??x＝my＋1，由?22?x＋2y＝2，?22x22 得(m＋2)y＋2my－1＝0，
22－m±2?m＋1?解得y1,2＝m2＋2
2?m＋1?y1＋y2－m所以|y1－y2|＝y0＝＝， m＋22m＋2
从而x0＝my0＋12m＋22
2222?m＋1?所以2＝ m＋2m＋2
即m＋3＝22?m
＋1?，解得m＝±1.
所以直线AB的方程为x±y－1＝0.
第 8 页 共 10 页 22
方法二：(1)同方法一．
(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k)x－4kx＋2(k－1)＝0，
2k±2?1＋k?则x1,2， 1＋2k
2k－kC的坐标为22)，且 1＋2k1＋2k2222222
AB?x2－x1?＋?y2－y1?
2?1＋k?＝?1＋k??x2－x1?＝21＋2k2
若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与直线l平行，不合题意，从而k≠0，
12k故直线PC的方程为y2＝－(x－2)， 1＋2kk1＋2k
5k＋2则P点的坐标为(－2，， k?1＋2k2?
2?3k＋1?1＋k从而PC＝2|k|?1＋2k?
因为PC＝2AB， 2?3k＋11＋k42?1＋k?所以＝k＝±1. 22|k|?1＋2k?1＋2k
此时直线AB方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
当AB⊥x轴时，AB＝2，又CP＝3，不合题意．
方法三：(1)同方法一．
2m2(2)不妨设直线AB：x＝my＋1，代入＋y＝1可求得C(2m＋2m＋2又直线PC：y＋2m(x－2， m＋2m＋22222222k2x2m
直线l：x＝－2，可得P(－2,2m＋m
m＋2，
1212所以PC＝21＋m(＝2(1－2， 2＋1)，AB＝AF＋BF＝e22＋mm＋2m＋2
11所以1＋m2(12)， 21)＝2＋mm＋2
可得m＝±1，
所以直线AB的方程为x±y－1＝0.
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