2016-2017学年吉林省松原市油田高中高三（上）第一次段考数
学试卷 （理科）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（） A．? B．[0，1）∪（3，+∞） C．A D．B
2．函数f（x）=+的定义域为（）
A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1] 3．设命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P为（）
A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n
4．已知a=，b=log2，c=log，则（） D．?n∈N，n2=2n
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
5．（+x）dx=（）
B．ln2+ C．ln2﹣ D．ln2+3 A．ln2+
6．设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（） A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．设f（x）=ex+x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（）
A．B．（﹣1，0） （0，1） C．（1，2） D．（2，3）
8．函数f（x）=a|x+1|（a＞0，a≠1）的值域为[1，+∞） ，则f（﹣4）与f（1）的关系是（）A．f（﹣4）＞f（1） B．f（﹣4）=f（1） C．f（﹣4）＜f（1） D．不能确定 9．若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（） A．[﹣1，0] B．[﹣1，∞] C．[0，3] D．[3，+∞]
10．函数y=x+sinx，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）
A． B． C． D． 11．fx）=设定义域为R的函数（2x），若关于x的方程2f（﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则a的取值范围是（）
A．（0，1） B． C．（1，2） D．
第1页（共15页）
12．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0，y0），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x0）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2，则可求出f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）的值为（ ） A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣8058
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值是 ．
14．由三条曲线y=，x轴及直线y=x﹣2所围成的图形的面积是．
15．直线过原点与曲线y=相切于点P，那么P点的坐标为
16．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．设命题p：f（x）=
﹣（m+1）x+在区间（﹣4，+∞）上是减函数；命题q：关于x的不等式x2 ≤0在（﹣∞，+∞）上有解．若（￢p）∧q为真，求实数m的取值范围．18．设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
19．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值为f（﹣1）=0，求f（x）的解析式，并写出单调区间； （2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，试求k的范围． 20．函数f（x）=m+logax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2）和（1，﹣1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值． 21．如图所示，抛物线y=4﹣x2与直线y=3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动．
（1）求使△PAB的面积最大时P点的坐标（a，b）．
（2）证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x=a分为面积相等的两部分．
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22．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当x＞y＞e﹣1时，求证：
．
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2016-2017学年吉林省松原市油田高中高三（上）第一次
段考数学试卷 （理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（ ）
A．? B．[0，1）∪（3，+∞） C．A D．B
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，
解得：1＜x＜3，即A=（1，3），
由B中y=x2≥0，得到B=[0，+∞），
则A∩B=（1，3）=A，
故选：C．
2．函数f（x）=+的定义域为（ ）
A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．
【解答】解：根据题意：
解得：﹣3＜x≤0
∴定义域为（﹣3，0]
故选：A．
3．设命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P为（ ）
A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2=2n
【考点】命题的否定．
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P为：?n∈N，2n≤2n．
故选：C．
4．已知a=，b=log2，c=log，则（ ） ，
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞
a
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【考点】对数的运算性质．
【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．
【解答】解：∵0＜a=
b=log2＜log21=0，
c=log=log23＞log22=1， ＜20=1，
∴c＞a＞b．
故选：C．
5．（+x）dx=（ ）
B．ln2+ C．ln2﹣ D．ln2+3 A．ln2+
【考点】微积分基本定理．
【分析】由定积分运算公式，求出函数的f（x）=+x的一个原函数F（x）=lnx+用微积分基本定理即可得到所求积分的值．
【解答】解：由积分运算法则，得
（+x）dx=（lnx+
=（ln2+）﹣（ln1+） ）=ln2+ ，利
故选：A
6．设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1，
loga3＜logb3，或根据对数函数的性质求解即可， 再利用充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：a、b都是不等于1的正数，
∵3a＞3b＞3，
∴a＞b＞1，
∵loga3＜logb3，
∴，
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即＜0，
或
求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1
根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的充分条不必要件，
故选：B．
7．设f（x）=ex+x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（ ）
A．B．（﹣1，0） （0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】根据连续函数f（x）满足 f（1）＜0，f（2）＞0，由此可得函数f（x）的零点所在的区间．
【解答】解：∵f（x）=ex+x﹣4，
∴f（1）＜0，f（2）＞0，
故函数f（x）的零点位于区间（1，2）内，
故选C．
8．函数f（x）=a|x+1|（a＞0，a≠1）的值域为[1，+∞） ，则f（﹣4）与f（1）的关系是（ ）A．f（﹣4）＞f（1） B．f（﹣4）=f（1） C．f（﹣4）＜f（1） D．不能确定
【考点】指数函数单调性的应用．
【分析】由题意可得a＞1，再根据函数f（x）=a|x+1|在（﹣1，+∞）上是增函数，且它的图象关于直线x=﹣1对称，可得 f（﹣4）与f（1）的大小关系．
【解答】解：∵|x+1|≥0，函数f（x）=a|x+1|（a＞0，a≠1）的值域为[1，+∞）， ∴a＞1．
由于函数f（x）=a|x+1|在（﹣1，+∞）上是增函数，
且它的图象关于直线x=﹣1对称，可得函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数．
再由f（1）=f（﹣3），
可得 f（﹣4）＞f（1），
故选：A．
9．若函数f（x）=x2+ax+
A．[﹣1，0] B．[﹣1，∞] 是增函数，则a的取值范围是（ ） D．[3，+∞] C．[0，3]
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥
出﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．
在（，+∞）上是增函数，
第6页（共15页） 【解答】解：∵
故
即a≥≥0在（，+∞）上恒成立， ﹣2x在（，+∞）上恒成立，
﹣2x，
﹣2， 令h（x）=则h′（x）=﹣
当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．
∴h（x）＜h（）=3
∴a≥3．
故选：D．
10．函数y=x+sinx，x∈[﹣π，π]的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】利用函数的奇偶性，函数的单调性，即可得到选项．
【解答】解：函数y=x+sinx，x∈[﹣π，π]是奇函数，
∴B、C的图象不满足奇函数的定义，
函数y=x是增函数，y=sinx在x∈[﹣π，π]是增函数，
∴函数y=x+sinx，x∈[﹣π，π]是增函数，
∴D不正确，A正确．
故选：A．
11．fx）=设定义域为R的函数（2x），若关于x的方程2f（﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1） B． C．（1，2） D．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】作出f（x）的图象，利用换元法结合一元二次函数的图象和性质即可．
【解答】解：作出f（x）的图象如图：设t=f（x），
则方程等价为2t2﹣（2a+3）t+3a=0，
由图象可知，
若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，
∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，
∴故先根据题意作出f（x）的简图：
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由图可知，只有当f（x）=a时，它有三个根．
所以有：1＜a＜2 ①．
再根据2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有两个不等实根，
则判别式△=（2a+3）2﹣4×2×3a＞0，
解得a≠，
故1＜a＜或＜x＜2，
故选：D．
12．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0，y0），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x0）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2，则可求出f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）的值为（ ） A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣8058
【考点】导数的运算；函数恒成立问题．
【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，﹣2）对称，即f（x）+f（2﹣x）=﹣4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2014对﹣4和一个f（1）=﹣2，可得答案．
【解答】解：①由题意f（x）=x3﹣3x2，
则f′（x）=3x2﹣6x，
f″（x）=6x﹣6，
由f″（x0）=0得6x0﹣6=1
解得x0=1，而f（1）=﹣2，
故函数f（x）=x3﹣3x2关于点（1，﹣2）对称，
∴f（x）+f（2﹣x）=﹣4，
∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）=﹣4×2014+（﹣2）=﹣8058．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值是 ﹣1 ．
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
【分析】运用幂函数的定义，可得m2﹣m﹣1=1，解得m，再由幂函数的单调性即可得到m．
第8页（共15页）
【解答】解：由幂函数定义可知：m2﹣m﹣1=1，
解得m=2或m=﹣1，
又函数在x∈（0，+∞）上为减函数，
则m=﹣1．
故答案为：﹣1．
14．由三条曲线y=，x轴及直线y=x﹣2所围成的图形的面积是
．
【考点】
定积分在求面积中的应用．
【分析】
由图象得到围成图形的面积利用定积分表示出来，然后计算定积分即可．
【解答】
解：由三条曲线
y=
，
x
轴及直线
y=x
﹣
2所围成的图形如图，
面积是： ==； 故答案为：
15．直线过原点与曲线y=相切于点P，那么P点的坐标为2．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设切点P（m，），求得函数的导数，可得切线的斜率，再由切线过原点，运用直线的斜率公式，解方程即可得到所求P的坐标．
【解答】解：设切点P（m，
y=的导数为y′=﹣）， ，
，
=，
第9页（共15页）
可得切线的斜率为﹣由题意可得﹣
解得m=﹣，
即P（﹣，2）． =2．
故答案为：（﹣，2）．
16．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是 （2，∞） ．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．
【分析】由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），构造为g（x+1）＞g（x2﹣1），问题得以解决．
【解答】解：设g（x）=xf（x），
则g'（x）=[xf（x）]'
=x'f（x）+xf'（x）
=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，
∵f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），x∈（0，+∞），
∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x﹣1）f（x2﹣1），
∴（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），
∴g（x+1）＞g（x2﹣1），
∴x+1＜x2﹣1，
解得x＞2．
故答案为：（2，+∞）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．设命题p：f（x）=
﹣（m+1）x+在区间（﹣4，+∞）上是减函数；命题q：关于x的不等式x2 ≤0在（﹣∞，+∞）上有解．若（￢p）∧q为真，求实数m的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．
【分析】若（￢p）∧q为真，则p假q真，进而得到答案．
【解答】解：若命题p：f（x）=
则m≤﹣4，
若命题q：关于x的不等式x2﹣（m+1）x+
则△=（m+1）2﹣（m+7）≥0，
即m2+m﹣6≥0，
解得：m≤﹣3，或m≥2，
若（￢p）∧q为真，
则p假q真，
即m∈（﹣4，﹣3]∪[2，+∞）．
第10页（共15页）
在区间（﹣4，+∞）上是减函数为真命题， ≤0在（﹣∞，+∞）上有解．
18．设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；
（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．
【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0）， 令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），
由切线与y轴相交于点（0，6）．
∴6﹣16a=8a﹣6，
∴a=．
（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），
f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，
当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数， 当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，
故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．
19．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值为f（﹣1）=0，求f（x）的解析式，并写出单调区间； （2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，试求k的范围．
【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．
【分析】（1）若函数f（x）的最小值为f（﹣1）=0，则f（﹣1）=a﹣b+1=0，且﹣=﹣1，解得函数的解析式，进而得到函数的单调区间；
（2）f（x）＞x+k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，转化为x2+x+1＞k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立．设g（x）=x2+x+1，x∈[﹣3，﹣1]，求出函数的最值，可得答案．
【解答】解 （1）∵函数f（x）的最小值为f（﹣1）=0，
∴f（﹣1）=a﹣b+1=0，且﹣=﹣1，
∴a=1，b=2．
∴f（x）=x2+2x+1，
由函数的图象是开口朝上，且以直线x=﹣1为对称轴的抛物线，
第11页（共15页）
故单调减区间为（﹣∞，﹣1]，单调增区间为[﹣1，+∞）
（2）f（x）＞x+k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，
转化为x2+x+1＞k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立．
设g（x）=x2+x+1，x∈[﹣3，﹣1]，
则g（x）在[﹣3，﹣1]上递减．
∴g（x）min=g（﹣1）=1．
∴k＜1，
即k的取值范围为（﹣∞，1）．
20．函数f（x）=m+logax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2）和（1，﹣1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式．
【分析】（1）根据题意，将点的坐标代入即可；（2）先求出g（x）的表达式，观察到函数是复合函数，故应该先研究真数的范围再利用对数函数的单调性求出最值．
【解答】解：（Ⅰ）由得，
解得m=﹣1，a=2，故函数解析式为f（x）=﹣1+log2x，
（Ⅱ）g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1）=2（﹣1+log2x）﹣[﹣1+log2（x﹣1）]=
其中x＞1，
因为 ，当且仅当即x=2时，“=”成立，
而函数y=log2x﹣1在（0，+∞）上单调递增，则， 故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．
21．如图所示，抛物线y=4﹣x2与直线y=3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动．
（1）求使△PAB的面积最大时P点的坐标（a，b）．
（2）证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x=a分为面积相等的两部分．
第12页（共15页）
【考点】二次函数的性质．
【分析】（Ⅰ）设点P的坐标为（a，b）由（Ⅰ）可得A，B，要使△PAB的面积最大即使点P到直线3x﹣y=0的距离最大，故过点P的切线与直线3x﹣y=0平行，从而可求．
（Ⅱ）根据A（1，3），B（﹣4，﹣12）到直线x=﹣，距离相等设为d，等底等高，得出面积相等．
【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（a，b）由（Ⅰ）得A（1，3），B（﹣4，﹣12） 要使△PAB的面积最大
即使点P到直线3x﹣y=0的距离最大 故过点P的切线与直线3x﹣y=0平行
又过点P的切线得斜率为k=y'=﹣2x|x=a=﹣2a
∴﹣2a=3即a=﹣，b=
∴P点的坐标为（﹣，）时，△PAB的面积最大．
（Ⅱ）∵x=，A（1，3），B（﹣4，﹣12）
，），（﹣，），距离为， ∴x=﹣，y=4﹣x2与直线y=3x，交点为；（
∵A（1，3），B（﹣4，﹣12）到直线x=﹣的距离相等设为d，则d=，
等底等高，
∴由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x=a分为面积相等的两部分．
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22．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当x＞y＞e﹣1时，求证：．
【考点】函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）
内的极值点的个数．
（Ⅱ）由函数f（x）在x=1处取得极值，知a=1，故
此能求出实数b的取值范围．
（Ⅲ）由，令，则只要证明g，由，由此进行分类讨论，能求出函数f（x）在定义域（x）在（e﹣1，+∞）上单调递增，由此能够证明
【解答】解：（Ⅰ）， ．
当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
函数f（x）在（0，+∞）单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；
当a＞0时，f'（x）＜0得
∴f（x）在
即f（x）在上递减，在处有极小值． ，f'（x）＞0得上递增， ，
∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点，
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