中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）1
考试日期：2010年 4 月日时间110分钟
注：解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题24分，每小题3分)
1.若函数?(x)?C1[a,b],且?x?[a,b]有?(x)?[a,b]和?'(x)?L?1, 则方程x??(x)在[a,b]上的解存在唯一，对x0??a,b为初值由迭代公式xn?1??(xn)产生的序列?xn?一定收敛于方程
2.建立最优化问题数学模型的三要素是：、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ；
3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是： ；
4．已知函数y?f(x)过点(xi,yi),i?0,1,2,?,n，xi?[a,b]，设函数S(x)是f(x)的三次样条插值函数，则S(x)满足的三个条件（1）在每个子区间?xi?1,xi?（i=1，2，…， 5．随机变量X~N(3,4),(X1,X2,?,X10)为样本，是样本均值，则~
6．正交表LN(np?mq)中各字母代表的含义为表示因子水平数，p、q表示试验至多可以安排因素的个数 ； 7．线性方程组Ax?b其系数矩阵满足时，可对A进行LU解，选主元素的Gauss消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大，按列选取主元素时第k步消元的主元akk为
n???bi??aijyi???j?i?1??(i?n?1,......,yi?2,1) aii； x??(x)在[a,b]上的解x*，且有误差估计式x*?x???Lka,b?y'?3x?y8．取步长h?0.01，用Euler法解?,x?[0,1]的公式为。
?y(0)?1
yn?1?0.03xn?0.09yn?n?0,1,2?100?二、（本题6分）某汽车厂三种汽车：微型轿车、中级轿车和高级轿车。每种轿车需要的资源和销售的利润如下表。为达到经济规模，每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。工厂规定的经济规模为微型车1500辆，中级车1200辆，高级车1000辆，请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。
(1) 试把上述方差分析表补充完整（请在答卷上画表填上你的答案）
(2) 小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异？（取??0.05，F0.05(2,12)?3.89）
解：（1）见表中红色部分
（2）设H0：μ1=μ2=μ3=?=μi
选取统计量
I?1)，由于显著性水平未给出，设α=0.05，查表得F0.05(2,12)?3.89，因为F?(N?1)
F=6.286>F0.05(2,12)，所以拒绝H0，即小白鼠在接种不同型伤寒杆菌后存活日数有显著差异。
五、（本题12分）用表格形式单纯形法求解
maxZ?20x1?8x2?6x3
?8x1?3x2?2x3?250? ??2x1?x2?50s.t.??4x1?3x3?150
???x1,x2,x3?0
六、（本题10分）试确定求积公式
使其代数精度尽量高。
解：将f(x)?1,x,x分别代入式中得 2? 1 ?1f(x)dx?A0f(?1)?A1f(0)?A2f(1) 中的待定系数，
??2?A0?A1?A215??A0?A2?,A1?，因此得?0??A0?A233
??2?A?A02??3
七、（本题12分）（1）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。常用的方法有向前回归法、向后回归法、逐步回归法。试解释什么是逐步回归法？
（2）如果要考察因素A、B、C及交互作用A×B、A×C、B×C，如何用正交表L8(27)安排试验，交互作用见下表，试作表头设计。
表L8(27)两列间交互作用表
解：(1)逐步回归法就是对全部因子按其对y影响程度大小（偏回归平方的大小），从大到小地依次逐个地引入回归方程，并随时对回归方程当时所含的全部变量进行检验，看其是否仍然显著，如不显著就将其剔除，知道回归方程中所含的所有变量对y的作用都显著是，才考虑引入新的变量。再在剩下的未选因子中，选出对y作用最大者，检验其显著性，显著着，引入方程，不显著，则不引入。直到最后再没有显著因子可以引入，也没有不显著的变量需要剔除为止。 （2）如果因子A放在第1列，因子B放第2列，则A×B放在第3列。如C放在第4列，再查交互作用表，A×C和B×C应分别放在第5列和第6列。表头设计如下：
八、（本题14分）设方程组为 ?025??x1??9???????5104???x2???30?
?1020??x??14????3???
（1）对方程组进行适当调整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛；
（2）取x
（3）取x(0)(0)?0，用Gauss-Seidel迭代法计算两步迭代值x(1)，x(2)； ?0，估计用Jacobi迭代求解x(100)与准确解x*的误差。
解：（1）将原矩阵变换为如下：
?1020??x1??14???????5104???x2???30?，经变换后的矩阵为严格对角占优阵，因此在用Gauss-Seidel迭?025??x??9????3???
代法求解时收敛。
（2）由G—S迭代公式得：
?(k?1)1(k)x?(14?2x)2?110??(k?1)1(k?1)(k))?(30?5x1?4x3)，又由于x(0?0，因此经两步迭代后得?x210??x(k?1)?1(9?2x(k?1))32?5?
? x(1)??1.42.30.88?，x(2)??0.942.1780.9288
（3）由Jacobi迭代公式得：
?(k?1)1(k)x?(14?2x)12?10??(k?1)1(k)(k)?(30?5x1?4x3) ?x210??x(k?1)?1(9?2x(k))32?5?
因此x(100)??
11?1(99)(99)(99)(99)?(14?2x2)(30?5x1?4x3)(9?2x2)? 105?10?
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷2
考试日期：2010年 4 月日时间110分钟
注：解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题24分，每小题3分)
1. 若方程f(x)?0可表成x
，则由迭代公式xn?1??(x)，且在[a,b]内有唯一根x*，那么?(x)满足 ??(xn)产生的序列?xn?一定收敛于x*。 （?(x)满足：?(x)?C1[a,b],且?x?[a,b]有?(x)?[a,b], '(x)?L?1；）
222. 已知二元非线性函数f(x)?x1?x1x2?x2?2x1?4x2,X0?(2,2)T，该函数从X0 出发
的最速下降方向为（最速下降方向为：p???4,2?）； T
223．已知二元非线性函数f(x)?x1?x1x2?x2?2x1?4x2,X0?(2,2)T，该函数从X0 出发
的Newton方向为（Newton方向为：p???2,0?）；
T
4．已知y?f(x)在区间[a,b]上通过点(xi,yi),i?0,1,2,?,n，则其三次样条插值函数
S(x)是满足
（（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[a,b]上二阶导数连续，（3）满足插值条件S(xi)?yi,i?0,1,2,?,n）；
5．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值(X1,X2,?,Xn)落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15）；
6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈愈好，而置信区间的长度愈短愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是变长 ；
?y'?x?2y
7．取步长h?0.2，解?,x?[0,1]的
?y(0)?1
（yn?1?yn?h(xn?2yn)?0.6yn?0.2xn,n?0,1,2,?,5）；
Euler法公式为：
8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有：（模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。）。
二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。
（1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。（不要求计算出结果）；
（2）写出所建立的模型的对偶形式。
（1）设xj（,j?1,2,?5)是第j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下：
min
s..tZ?340x1?260x2?180x3?230x4?190x5
0.25x1?0.4x2?0.2x4?0.08x5?0.28
0.1x1?0.15x2?0.2x4?0.05x5?0.15
0.1x1?0.05x3?0.15x5?0.1
0.25x1?0.3x2?0.2x3?0.4x4?0.17x5?0.55
0.25x1?0.3x2?0.2x3?0.4x4?0.17x5?0.35
0.7x1?0.7x2?0.4x3?0.8x4?0.45x5?1
xj?0,j?1,2,?5 4分
（2）上述线性规划模型的对偶形式如下：
max
s..tf?0.28y1?0.15y2?0.1y3?0.55y4?0.35y5?y6
0.25y1-0.1y2?0.1y3?0.25y4?0.25y5?0.7y6?340
0.4y1?0.3y4?0.3y5?0.7y6?260
?0.15y2?0.05y3?0.2y4?0.2y5?0.4y6?180
0.2y1?0.2y2?0.4y4?0.4y5?0.8y6?230
0.08y1?0.05y2?0.15y3?0.17y4?0.17y5?0.45y6?190
y1?0,y2?0,y4?0,y5?0,y3?R1,y6?R14分
三、（本题8分）已知f(x)的数据如表：
试求三次插值多项式P(x)，求f(4)的近似值，并给出相应的误差估计式。 解：
用Newton插值法求f(x)的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：
由差商表得出f(x)的三次插值多项式为：
N3(x)?0.5x?
于是有
0.251.375
x(x?1)?x(x?1)(x?3) 3分 342
f(4)?N3(4)?0.5?4?
0.251.375
?4?3??4?3?1342
2分
2.7518.25
?2?1??
77
相应的误差估计式为：
R3(x)?f[0,1,3,7,x]x(x?1)(x?3)(x?7)
?f[0,1,3,7,4]?4?3?1?(?3)??0.000075?(?36) 2分 ?0.0027
四、（本题12分）为了考察硝酸钠NaNO3的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温
度（C），观察它在100的水中溶解的NaNO3的重量（g），得观察结果如下：
温度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10
（1）求Y对X的线性回归方程。（结果保留小数点后两位。）
?x
i?110
10
i
?293,
?y
i?1
10
i
?81,
?x
i?1
10
i
yi?2574,
?x
i?1
10
2
i
?9577,
2y?i?701 i?1
（2）对回归方程的显著性进行检验。（取显著水平为0.05，0.01），5F=28)5.1,(0.03
10.0
F8),1(261.?
，t0.05(8)?1.8595t0.01(8)?2.8965。
解： （１）?29.3?8.1
LxY??xiyi???2574?10?29.3?8.1?200.7
Lxx??xi?2?2574?10?29.32?992.1
LYY??yi?2?701?10?8.12?44.9 4分 22
??Lxy?200.7?0.2023?0.20 a????xb8?.1?0.20?23Lxx992.1
?(x)回归函数为 ??4分 02.?17x 0.22? 9.32.17
?2?（２）?1?)?1(44.9?0.2023?200.7)?0.54 (LYY?bLxYn?28
2?2Lb0.20?23xY F???2?0.54200.7?
15.，或21T??3.92分
0.故在显著水平为0 F?F?0.(015,8)F
或T?t0.05(8)
12分
F(1,8)0.05，0.01下线性回归是显著的 T?t0.01(8)故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的。
五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：
max
s..tZ?300x1?400x2
2x1?x2?40
x1?1.5x2?30
x1?0,x2?0
解：第一步：化为标准型，……………… ……………………..(2分)
第二步：列出是单纯形表，…………………………… …..(2分)
第三步：第一次单纯形迭代计算，…………………………..(3分)
第四步：列出是单纯形表，…………………………… ……..(3分)
第五步：正确写出结果，最优解x?(15,10),f?8500…(2分) *T*
六、（本题10分）试确定求积公式? hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)中的待定系数， ?h
使其代数精度尽量高。
七、（本题12分）设有4种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：
试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（??0.05
，F0.05(3,20)?3.10）
解：
1612SST???xij2?2?1291?24?()?211 24
SSE???xij2?612?622?632?642?1291?1090.5?200.5
由于F?F0.05(3,20)?3.10，故接受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差别
八、（本题16分）设方程组为
??x1?8x2?7???x1?9x3?8
?9x?x?x?73?12
（1）对方程组进行适当调整，使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛；
（2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式；
（3）取初始向量x
解： (0)(k?1)用该方法求近似解x，使x(k?1)?x(k)?(0,0,0)T，? ?10?3。
?9x1?x2?x3?7?
（1）将原方程组调整为??x1?8x2?7，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，??x?9x?813?
故用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛。 5分
（2）高斯－塞德尔迭代格式为
?(k?1)1(k)1k7?x2?x3??x1999??(k?1)1(k?1)7?x1??x298??x(k?1)?1x(k?1)?8
31?99? 5分
（2）取x(0)?(0,0,0)T，用上述迭代格式计算得
(k)(k)(k)x2x3 kx1
1 0.7777778 0.9722222 0.9753086
2 0.9941701 0.9992713 0.9993522
3 0.9998471 0.9999809 0.9999830
4 0.9999960 0.9999995 0.9999996
因x(4)?x(3)
*??0.0001489?10?3， 故取近似解x?x(4)?(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T。 6分
x*?x(4)?(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T。 6分
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷1
2011??年 月 日 时间110分钟 ??考试日期：
?211??1?注：解答全部写在答题纸上? ?1?53?1?U????xk24一、填空题(本题24分，每小题3分) 2????x??k?121?213??23?2x?4xk?11kx?x（1） f(x)?x?2Newton迭代公式，使得由迭代公式产生的序列???20???25??*?xn?可以2阶收敛于方程的唯一正根x
x?2x?xkxk?1?xk?k
2k2xk?4xk?132； 解：由牛顿迭代公式得
因其存在2重跟，故需对其进行修正得
x?2x?xkxkxk?1?xk?2?k
2k??22xk?4xk?12xk?4xk?132
（2）在[a,b]上，设f(x)?0与x??(x)等价，则当?(x)满足 φ(x)于[a,b]一阶导数存在， 当x∈[a,b]时，有φ(x)∈[a,b] xk?1??(xk)（k?0,1,2,L）产生的序列?xk?收敛于方程的根；
?211??x1??4???????（3）用Doolittle分解法求方程：132x2?6 ????????122????x3????5??
则：L=，U= ，解x=；
解：
?1
L??l211?l?31l32??u11?U??，?1???u12u22u13??u11?a11?2?u23?，?u12?a12?1， u33????u13?a13?1?l21?????l31???a211?u112a311?u112a32?l31u123?l??3??32u225u23?a23?l21u13?l22u23,u23?4 ， ?，5?u22?a22?l21u12??2?
????2??1?,U????3??1??5??152?1?3?T?,x??111? 4?21??20???1?121u33?a33?l31u13?l32u23?L??,因此20?2?1?2?
?211??4??????465?；A1?（4）已知 A?1?32,x??6，则：A??maxT?????1???122???5??
max?465?x?。 1
（5）已知y?f(x)在区间[a,b]上通过点(xi,yi),i?0,1,2,?,n，则其三次样条插值函数（x），S’’（x）在?a,b?(xi)?yi(i?1,2?n)； S(x)是满足?xi?1,xi?(i?1,2?n)上不高于三次的多项式 ， S(x），S’
?y1??1??1?（6）设有线性回归模型?y2?2?1??2??2，其中?i~N(0,?2)(i?1,2,3)且相互独立，?y???2???123?3
写出参数?1,?2的最小二乘估计?1??y1?2y2?y3?y?2y3?2?2
65，。
??1?y1??13?2解：??2?y2?2?1??2，Q???i?(y1??1)2?(y2?2?1??2)2?(y3??1?2?2)2
i?1???3?y3??1?2?2
??Q?y1?2y2?y3???2y?4y?2y?12???1231??1???16因此得?，故? ?Q?y2?2y3???2??2y2?4y3?10?2?5????2
（7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。写出三种常用的自变量的选取方法 向后回归法、向前回归法、逐步回归法 。
（8）影响数学模型数值求解结果的误差有： 截断误差 ， 舍入误差 ， 观测误差 。
二、（本题8分）已知f(x)的数据如表：
试求三次Newton插值多项式N3(x)，求f(5)的近似值，并给出相应的误差估计式。
因此N3(x)?2(x?2)?59(x?2)x?(x?2)x(x?2) 432
而f(5)?N3(5)??0.21875
R3(5)?f?x0x1x2x3x?(x?x0)(x?x1)(x?x2)(x?x3)?0
三、（本题10分）引入人工变量利用大M法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：
max
s..tZ?3x1?4x2
2x1?x2?4
x1?0.5x2?1
x1?0,x2?0
解：将约束条件加上松弛变量x3，剩余变量x4和人工变量x5后得到一个有基可行解的典型方程如下：
?2x1?x2?x3?4??x1?0.5x2?x4?x5?1
??xi?0,(i?1?5)
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