高中数学必修4知识点 第一章基本初等函数二 （三角函数）
?正角:按逆时针方向旋转形成的角?1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角?
2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角． 第一象限角的集合为??k?360????k?360??90?,k??? 第二象限角的集合为??k?360??90??k?360??180?,k??? 第三象限角的集合为??k?360??180????k?360??270?,k??? 第四象限角的集合为??k?360??270????k?360??360?,k??? 终边在x轴上的角的集合为????k?180?,k??? 终边在y轴上的角的集合为????k?180??90?,k??? 终边在坐标轴上的角的集合为????k?90?,k???
3、与角?终边相同的角的集合为????k?360???,k???
4、已知?是第几象限角，确定?n???所在象限的方法：先把各象?n*限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、
二、三、四，则?原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
6、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是??． l
r?n
180?7、弧度制与角度制的换算公式：2??360?，1??，1?? ?57.3?．??180?????
8、若扇形的圆心角为???为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l?r?，C?2r?l，S?lr??r2．
9、设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点?
的坐标是?x,y?，
n?它与原点的距离是rr??0，则si?1212??yx，cos??，rr
tan??y?x?0?． x
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线：sin????，cos????，tan????12、同角三角函数的基本关系：?1?sin2??cos2??1 ?sin2??1?cos2?,cos2??1?sin2??；?2?sin??tan? cos?
sin???sin??tan?cos?,cos????． tan???
13、三角函数的诱导公式：
?1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???． ?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?．
?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?．
?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?． ?5?sin??????????cos?，cos?????sin?． ?2??2?
????????cos?，cos??????sin?． ?2??2???6?sin???
口诀：奇变偶不变，符号看象限．
14、函数y?sinx的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数y?sin?x???的图象；再将函数y?sin?x???的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1
?倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象．
函数y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵?1坐标不变），得到函数
?y?sin?x的图象；再将函数y?sin?x的图象上所有点向左（右）平移?
个单位长度，得到函数y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象．
函数y??sin??x??????0,??0?的性质： ①振幅：?；②周期：??⑤初相：?．
函数y??sin??x?????，当x?x1时，取得最小值为ymin ；当x?x2时，取得最大值为ymax，则???yma?xy?m，?ymax?ymin?，in????x2?x1?x1?x2?． 212122??；③频率：f?1??；④相位：?x??；?2?
综合型训练
一、选择题
1． 若角6000的终边上有一点??4,a?，则a的值是（ ）
A． 4 B． ?4 C． ?43 D．
2． 函数y?sinxcosxtan
sinx?cosx?x
tanx的值域是（ ）
A． ??1,0,1,3? B． ??1,0,3?
C． ??1,3? D． ??1,1?
3． 若?为第二象限角，那么sin2?，cos?11
2，cos2?，中，
cos2
其值必为正的有（ ）
A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 4． 已知sin??m,(m?1)，?2????，那么tan??（ ）．
A． mmm?m2
B． ?m2? C． ?m? D．
2?m2?m
5． 若角?的终边落在直线x?y?0上，则sin????cos2?的值等于（?sin2cos?
A． 2 B． ?2 C． ?2或2 D． 0 6． 已知tan??，????3?
2，那么cos??sin?的值是（ ）． A． ?1?3?1?3
2 B． 2 C． 1?1?3
2 D． 2
二、填空题 ． ）
1． 若cos???，且?的终边过点P(x,2)，则?是第_____象限角，x=_____． 2
2． 若角?与角?的终边互为反向延长线，则?与?的关系是___________．
3． 设?1?7.412,?2??9.99，则?1,?2分别是第象限的角．
4． 与?2002终边相同的最大负角是_______________．
5． 化简：mtan00?xcos900?psin1800?qcos2700?rsin3600=____________． 0
三、解答题
00001． 已知?90???90,?90???90,求???
2的范围．
2． 已知f(x)???cos?x,x?114求f()?f()的值． 33?f(x?1)?1,x?1,
3． 已知tanx?2，（1）求
（2）求2sinx?sinxcosx?cosx的值．
4． 求证：2(1?sin?)(1?cos?)?(1?sin??cos?)222221sinx?cos2x的值． 34
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴cos??????cos?cos??sin?sin?；
⑵cos??????cos?cos??sin?sin?；
⑶sin??????sin?cos??cos?sin?；
⑷sin??????sin?cos??cos?sin?；
tan?tan??tan?
⑸?????1?tan?tan?（tan??tan??tan??????1?tan?tan??）； tantan??tan?
⑹??????1?tan?tan?（tan??tan??tan??????1?tan?tan??）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin2??2sin?cos?．
⑵cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?（cos2??cos2??1
2
sin2??1?cos2?
2）． ⑶tan2??2tan?
1?tan2?．
26
、?sin???cos???????，其中tan???
?．
综合型训练
一、选择题
1． 方程sin?x?1
4x的解的个数是（ ）
A． 5 B． 6
C． 7 D． 8 ，
2． 在(0,2?)内，使sinx?cosx成立的x取值范围为（ ）
???5?(,?)(,)?(?,)4 B． 4A． 42
?5??5?3?(,)(,?)?(,)42 C． 44 D． 4
3． 已知函数f(x)?sin(2x??)的图象关于直线
则?可能是（ ）
?
A． 2 B． ?x??8对称， ?3??
4 C． 4 D． 4
4． 已知?ABC是锐角三角形，P?sinA?sinB,Q?cosA?cosB, 则（ ）
A． P?Q B． P?Q C． P?Q D． P与Q的大小不能确定
5． 如果函数f(x)?sin(?x??)(0???2?)的最小正周期是T, 且当x?2时取得最大值,那么（ ）
A． T?2,???
2 B． T?1,???
T?1,???
2 C． T?2,??? D．
x?sinx6． y?sin的值域是（ ）
A． [?1,0] B． [0,1]
C． [?1,1] D． [?2,0]
二、填空题
1． 已知cosx?2a?3,x4?a是第二、三象限的角，则a的取值范围
___________．
?2???2k??,2k??(k?Z)??63?2． 函数y?f(cosx)的定义域为?，
则函数y?f(x)的定义域为__________________________．
3． 函数x?y??c?s)23的单调递增区间是___________________________．
4． 设??0，若函数f(x)?2sin?x在
值范围是________．
5． 函数y?lgsix)n(c定o义s的[???,]34上单调递增，则?的取域为______________________________．
三、解答题
y?2?log1x?tanx
1． （1）求函数2的定义域．
（2）设g(x)?cos(sinx),(0?x??)，求g(x)的最大值与最小值．
2． 比较大小（1）2
3． 判断函数
24． 设关于x的函数y?2cosx?2acosx?(2a?1)的最小值为f(a)， ?3,2tan2?3；（2）sin1,cos1． f(x)?1?sinx?cosx1?sinx?cosx的奇偶性．
试确定满足
f(a)?12的a的值，并对此时的a值求y的最大值．
第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为0的向量．
单位向量：长度等于1个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
??????⑶三角形不等式：a?b?a?b?a?b．
??????????⑷运算性质：①交换律：a?b?b?a；②结合律：a?b?c?a?b?c；????
?????③a?0?0?a?a． C
??⑸坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则
??a?b??1?a x?,2x1y?．2 ?y
? b ?
??????????????a?b??C?????C
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
????
⑵坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?． ????
设?、?两点的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，则????x1?x2,y1?y2?．
19、向量数乘运算：
⑴实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a． ①?a??a；
②当??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a的方向与a的
??
方向相反；当??0时，?a?0．
?????????
⑵运算律：①???a??????a；②?????a??a??a；③?a?b??a??b．
?
?
?
?
?
?
??
??
⑶坐标运算：设a??x,y?，则?a???x,y????x,?y?．
????
20、向量共线定理：向量aa?0与b共线，当且仅当有唯一一个实数
??
??
??
?，使b??a．
????
设a??x1,y1?，b??x2,y2?，其中b?0，则当且仅当x1y2?x2y1?0时，向
????
量a、bb?0
??共线．
?
?????
21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数?1、?2，使
???????????
（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组a??1e1??2e2．
基底）
22、分点坐标公式：设点?是线段?1?2上的一点，?1、?2的坐标分别
????????x1??x2y1??y2?
是?x1,y1?，?x2,y2?，当?1?????2时，点?的坐标是?,??． 1????1??
23、平面向量的数量积：
⑴a?b?abcos??a?0,b?0,0????180??．零向量与任一向量的数量积为0．
????????⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a?b?a?b?0．②当a与b同向????????
?????
2?????????a时，a?b?b；当与b反向时，a?b??ab；a?a?a2?a或
?????a?．③a?b?ab．
????⑶运算律：①a?b?b?a；②????????a??b??a?b?a??b????；③
????????a?b?c?a?c?b?c． ?
????⑷坐标运算：设两个非零向量a??x1,y1?，则ab??xx12?yy12b??x2,y2?，．
若a??x,y?，则a?x2?y2，或a?
????设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2?0．
????设a、b都是非零向量，a??x1,y1?，b??x2,y2?，???
2??
?是a与b的夹角，则??a?bcos???． ab
基础型训练
一、选择题
????????????????1． 化简AC?BD?CD?AB得（ ）
?????A． AB B． C． D． 0
????????
2． 设a0,b0分别是与a,b向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
????????????
A． a0?b0 B． a0?b0?1
????????????
C． |a0|?|b0|?2 D． |a0?b0|?2
3． 已知下列命题中：
????（1）若k?R，且kb?0，则k?0或b?0，
??????（2）若a?b?0，则a?0或b?0
（3）若不平行的两个非零向量a,b，满足|a|?|b|，则(a?b)?(a?b)?0
??b?|a|?|b|其中真命题的个数是（ ） （4）若a与b平行，则a?
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
4． 下列命题中正确的是（ ）
A． 若a?b＝0，则a＝0或b＝0
B． 若a?b＝0，则a∥b
C． 若a∥b，则a在b上的投影为|a|
D． 若a⊥b，则a?b＝(a?b)2
????5． 已知平面向量a?(3,1)，b?(x,?3)，且a?b，则x?（ ）
A． ?3 B． ?1 C． 1 D． 3
6． 已知向量a?(cos?,sin?),向量b?(3,?1)则|2a?b|的最大值，
最小值分别是（ ）
A． 42,0 B． 4,42 C． 16,0 D． 4,0
二、填空题
1
1． 若=(2,8)，=(?7,2)，则3=_________
???
??a,ba?(4,?3)2． 平面向量中，若=1，且a?b?5，则向量=____． ????a?3b?2a?b?03． 若,，且与的夹角为60，则 ．
4． 把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点
所构成的图形是___________．
????a?tb5． 已知a?(2,1)与b?(1,2)，要使最小，则实数t的值为
___________．
三、解答题
?????E,FBC,DC?ABCD中，G为交点，1． 如图，分别是的中点，若AB=a，
???????????=b，试以a，b为基底表示、BF、CG． ?????????|b|?4,(a?2b).(a?3b)??722． 已知向量a与b的夹角为60，,求向量a的
模．
3． 已知点B(2,?1)，且原点O分AB的比为?3，又b?(1,3)，求b在AB上的投影．
?4． 已知a?(1,2),?(?3,2),当k为何值时，
????（1）ka?b与a?3b垂直？
????
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