江苏省南京市2013届高三9月学情调研试
题
数 学 2012.09
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸． ．．．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上．
1．已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，x∈R}，则A∩Z中元素的个数为▲ ． 2＋3i2a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝ ▲ ．
i
3．为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ▲ ．
4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ▲．
5．已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为． 6．在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2＝2x上的点P到坐标原点O的距15，则线段PF的长为 ▲．
1S7．已知等比数列{an}的公比qSn为其前n项和，则▲ ．
2a4
8．右图是一个算法的流程图，最后输出的k＝．
3
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，A＝60°，c3
则△ABC的面积为▲ ．
(第8题)
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A(1，0)，B(3，
0)两点，且与直线x－y＋1＝0相切，则圆C的半径为
?ex－k，x≤0，11．已知函数f(x)＝?是R上的增函数，则实数k的取值范围是 ▲ ． ?(1－k)x＋k，x＞0
12．已知α，β为平面，m，n为直线，下列命题：
①若m∥n，n∥α，则m∥α； ②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若α∩β＝n，m∥α， m∥β，则m∥n； ④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．
其中是真命题的有 ▲ ．(填写所有正确命题的序号)
π13．已知直线x＝a(0＜a＜)与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，2
若
1MNMN的中点纵坐标为 ▲ ． 5
14．已知函数f(x)＝2x2＋m的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值
范围
为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文．．．．．．．．
字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知平面向量a＝(1，2sinθ)，b＝(5cosθ，3)．
（1）若a∥b，求sin2θ的值；
π（2）若a⊥b，求tan(θ＋的值． 4
16．（本小题满分14分）
如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；
（2）求证：A1B//平面ADC1．
17．（本小题满分14分）
A (第16题) C D AC1
经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E＝kv3t，其中v为鲑鱼在静水中的速度，t为行进的时间(单位：h)，k为大于零的常数．如果水流的速度为3 km/h，鲑鱼在河中逆流行进100 km．
（1）将鲑鱼消耗的能量E表示为v的函数；
（2）v为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?
18．（本小题满分16分）
x2y2
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，ab1l：x＝4．M为椭圆上不同于A，B的一点，直线AM与直线l交于点2
P．
（1）求椭圆C的方程；
??（2）若AM＝MP，判断点B是否在以PM为直径的圆上，并说明理由；
（3）连结PB并延长交椭圆C于点N，若直线MN
19．（本小题满分16分）
设t＞0，已知函数f (x)＝x2(x－t)的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求函数f (x)的单调区间； (第18题)
1（2）设函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率为k，当x0∈(0，1]时，k恒成立，2
求t的最大值；
（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点C，D，若．．
四边形ABCD为菱形，求t的值．
20．（本小题满分16分）
22已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S2an≠0，n＝3nan＋Sn－1，
n≥2，n∈N*．
（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；
（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{an}是递增数列．
2013届高三学情调研卷
数学附加题 2012.09 注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题
的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． ．．．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在
答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．．．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，AD⊥CP，垂足为D．
求证：∠DAP＝∠BAP．
(第21A题) C A O B
B．选修4—2：矩阵与变换
?a 0? 把圆C：x2＋y2＝1变换为椭圆E：xy＝1． 设a＞0，b＞0，若矩阵A＝??43?0 b?
（1）求a，b的值；
（2）求矩阵A的逆矩阵A1． －22
C．选修4—4：坐标系与参数方程
π在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cosθ被直线l：ρsin(θ－)＝a截得的弦长为2，求实6
数a的值．
D．选修4—5：不等式选讲
1已知a，b是正数，求证：a2＋4b2＋—≥4． ab
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解．．．．．．．．
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB
的中点．
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）求二面角B－PC－D的余弦值．
23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X为摸出的3个球上的数字和．
（1）求概率P(X≥7)；
（2）求X的概率分布列，并求其数学期望E(X)． B EA C (第22题) D P
2013届高三学情调研卷
数学参考答案及评分标准
2012.09
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
11．4 2．－6 3．4 4． 5．1 3
736． 7．－5 8．11 9． 10．2 26
17111．[1) 12．②③④ 13．14．(－∞，－－ln2) 2102
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
解：（1）因为a∥b，所以1×3－2sinθ×5cosθ＝0， …………………3分
3即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝． …………………6分 5
（2）因为a⊥b，所以1×5cosθ＋2sinθ×3＝0．…………………8分
5所以tanθ＝－ …………………10分 6
πtanθ＋tan41π所以tan(θ＋＝． …………………14分 4π111－tanθtan416．（本小题满分14分）
证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．
因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD?平面ABC，
所以AD⊥平面BCC1B1． …………………5分 因为DC1?平面BCC1B1，所以AD⊥DC1． …………………7分
（2）(证法一)
连结A1C，交AC1于点O，连结OD， 则O为A1C的中点．
因为D为BC的中点，所以OD//A1B．…………………11分 因为OD?平面ADC1，A1B?/平面ADC1，
所以A1B//平面ADC1． …………………14分 (证法二)
∥BD． 取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1＝
所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B// C1D．
因为C1D?平面ADC1，D1B?/平面ADC1，
所以D1B//平面ADC1．
同理可证A1D1//平面ADC1．
因为A1D1?平面A1BD1，D1B?平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，
所以平面A1BD1//平面ADC1． …………………11分 因为A1B?平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1． …………………14分
A C D A D C AC1 AC1
（第16题图） （第16题图）
17．（本小题满分14分）
解：（1）鲑鱼逆流匀速行进100km所用的时间为t＝
33100 …………………2分 v－3100100kv3
所以E＝kvt＝kv＝(v∈(3，＋?))．…………………6分 v－3v－3
3v2(v－3)－v32v2(v－4.5)（2）E?＝100k ＝100k …………………10分 (v－3)(v－3)令E?＝0，解得v＝4.5或v＝0(舍去)．
因为k＞0，v＞3，所以当v∈(3，4.5)时，E?＜0，当v∈(4.5，＋?)时，E?＞0．
100kv3
故E＝在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，＋?)上单调递增．…………13分 v－3
所以，当v＝4.5时，E取得最小值．
即v＝4.5km/h时，鲑鱼消耗的能量最小． …………………14分
18．（本小题满分16分）
c1?a＝2，a2解：（1）由a2解得?所以b2＝3． ?c＝1．＝4．c???
x2y2 所以椭圆方程为1． …………………4分 43
??33（2）因为AM＝MP，所以xM＝1，代入椭圆得yM，即M(1，)， 22
1 所以直线AM为：y＝(x＋2)，得P(4，3)， 2
?3? 所以BM＝(－1，)，BP＝(2，3)． …………………8分 2
??5因为BM·BP＝≠0，所以点B不在以PM为直径的圆上． …………………10分 2
（3）因为MN垂直于x轴，由椭圆对称性可设M(x1，y1)，N(x1，－y1)．
y6y直线AM的方程为：y＝(x＋2)，所以yp＝ x1＋2x1＋2
－y1－2y1直线BN的方程为：yx－2)，所以yp＝ …………………12分 x1－2x1－2
－2y16y162所以＝y1≠0，所以＝－．解得x1＝1． x1＋2x1－2x1＋2x1－2
3所以点M的坐标为(1，)． …………………16分 2
19．（本小题满分16分）
2t解：（1）f ′(x)＝3x2－2tx＝x(3x－2t)＞0，因为t＞0，所以当x＞x＜0时，f ′(x)＞0， 3
2t所以(－∞，0)和()为函数f (x)的单调增区间； 3
2t2t当0＜x＜f ′(x)＜0，所以(0，为函数f (x)的单调减区间． ………………4分 33
11（2）因为k＝3x02－2tx0≥－2t≤3x0恒成立， …………………6分 22x0
因为x0∈（0，1]，所以3x0＋122x03x0×6， 2x0
16即3x0＋6，当且仅当x0时取等号． 2x06
所以2t6，即t的最大值为
分
2t4t3
（3）由（1）可得，函数f (x)在x＝0处取得极大值0，在x＝ 327因为平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f (x)的图象有两个不同的交点， ．．
4t3
所以直线l的方程为y＝－． …………………1027
分
4t34t32tt2令f (x)＝－x(x－t)＝－x或x＝－． 2727336 …………………82
2t4t3t4t3所以C（D（－，－ …………………327327
12分
因为A（0，0），B（t，0）．易知四边形ABCD为平行四边形．
AD22(－)＋(－)，且AD＝AB＝t， 327
2238(＋(－＝t，解得：t＝ …………………163272分
20．（本小题满分16分）
22解：（1）在S2n＝3nan＋Sn－1中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得
(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，
因为an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a． …………………2分
因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．……4分
3n(n＋1)3n(n－1)22经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S2n＝3nan＋Sn－1． 22
222222（2）由S2n＝3nan＋Sn－1，得Sn－Sn－1＝3nan，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3nan，
即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，① ……………6分
所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②
②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③ ………………8分
所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④
④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)
即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列， ………10分
因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．
??a，n＝1，
所以an＝?3n＋2a－6，n为奇数且n≥3， …………………12??3n－2a＋6，n为偶数，
分
要使数列{an}是递增数列，须有
a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1， 即a＜12－2a，
3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，
3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，
915解得＜a＜ 44
915所以M＝(，)，当a∈M时，数列{an}是递增数列．………………16分 44
2013届高三学情调研卷
数学附加题参考答案及评分标准 2012.09 说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．．．
A．选修4—1：几何证明选讲
证明：因为CP与圆O 相切，所以∠DPA＝∠PBA． ………………2分 因为AB为圆O直径，所以∠APB＝90°，
所以∠BAP＝90°－∠PBA．………………6分 因为AD⊥CP，所以∠DAP＝90°－∠DPA， O 所以∠DAP＝∠BAP．………………10分
B．选修4—2：矩阵与变换
C A B (第21A题)
解（1）：设点P（x，y）为圆C：x2＋y2＝1上任意一点，
经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′）
a 0??x??ax??x′??x′＝ax，?则?? ??＝??＝??，所以?y′＝by．． ………………2分 ?0 b??y??by??y′??
x2y2因为点P′（x′，y′）在椭圆E：1上， 43
a2x2b2y2所以＋1，这个方程即为圆C方程． ………………6分 43
?a2＝4，所以?2，因为a＞0，b＞0，所以a＝2，b＝3．………………8分 ?b＝3．
（2）由（1）得A＝??2 0??，所以A－1
?0 3??2 0?＝?． ………………10分 ?30 ?3?1
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：因为圆C的直角坐标方程为(x－2) 2＋y2＝4，
直线l的直角坐标方程为x3y＋2a＝0． ………………4分
|2＋2a| 所以圆心C到直线l的距离d＝ ＝|1＋a|． ………………6分 2
因为圆C被直线l截得的弦长为3，所以r2－d2＝3．
即4－(1＋a)2＝3．解得a＝0，或a＝－2． ………………10分
D．选修4—5：不等式选讲
1已知a，b是正数，求证：a2＋4b2＋—≥4． ab
证明：因为a，b是正数，所以a2＋4b2≥4ab． ………………2分
111所以a2＋4b2＋—≥4ab＋—≥4ab×—＝4． ababab
1即a2＋4b2＋—≥4． ………………10分 ab
22．（1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，
11D(0，3，0)，P(0，0，1)，E(，0，)， 221→→1→AE＝(0)，BC＝(0，1，0)，BP＝(－1，
22→→→→因为AE·BC＝0，AE·BP＝0，
所以AE⊥BC，AE⊥BP． →→→→所以AE⊥BC，AE⊥BP． 因为BC，BP?平面PBC，且BC∩BP＝B，
所以AE⊥平面PBC． ………………4分
（2）设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·CD＝0，n·PD＝0．
因为CD＝(－1，2，0)，PD＝(0，3，－1)，所以－x＋2y＝0，3y－z＝0．
令x＝2，则y＝1，z＝3．
所以n＝(2，1，3)是平面PCD的一个法向量．………………8分 因为AE⊥平面PBC，所以AE是平面PBC的法向量． →→→→→
→AE·n57→所以cos<AE，n>＝． 14→|AE|·|n|→由此可知，AE与n的夹角的余弦值为． 14
7根据图形可知，二面角B－PC－D的余弦值为－． ………………10分 14
C3C2 + C2C28C2C3323．解（1）P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝． C7C711所以P（X≥7 ………………………4分 C2C3C2 + C313C2C2 + C3C28C2C33（2）P(X＝6)＝，P(X＝5)，P(X＝4)＝． C7C7C7所以随机变量X的概率分布列为
X
P 4 5 6 7 8 1113212121212121错误错误错误错误错误
…………………………………………8分
381383所以E(X)＝4×5×＋6×＋7×8×6． ………………………10分
www.99jianzhu.com/包含内容：建筑图纸、PDF/word/ppt 流程，表格，案例，最新,免费下载,施工方案、工程书籍、建筑论文、合同表格、标准规范、CAD图纸等内容。