第十章 空间几何体
第1节点、直线、平面间的位置关系
一、空间向量的加法和减法：
?1?求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点?，作???????????????????a，???b，则???a?b． ???2?求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点?为起点的两个已知向量a、b??????为邻边作平行四边形??C?，则以?起点的对角线?C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． ???二、实数?与空间向量a的乘积?a是一个向量，称为向量的数乘运算．当??0时，?a与??????a方向相同；当??0时，?a与a方向相反；当??0时，?a为零向量，记为0．?a的?长度是a的长度的?倍．
行向量，并规定零向量与任何向量都共线． 三、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平?????四、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a，bb?0，a//b的充要条件是存
??在实数?，使a??b．
五、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
六、向量共面定理：空间一点?位于平面??C内的充要条件是存在有序实数对x，y，??????????????????????????????使???x???y?C；或对空间任一定点?，有??????x???y?C；或若四点?，?????????????????，?，C共面，则???x???y???z?C?x?y?z?1?． ????????????七、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点?，作???a，???b，则????称??????为向量a，b的夹角，记作?a,b?．两个向量夹角的取值范围是：?a,b???0,??．
?????????八、对于两个非零向量a和b，若?a,b??，则向量a，b互相垂直，记作a?b． 2??????????九、已知两个非零向量a和b，则abcos?a,b?称为a，b的数量积，记作a?b．即
??????a?b?abcos?a,b?．零向量与任何向量的数量积为0．
?????????十、a?b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos?a,b?的乘积．
??????????十一、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有?1?e?a?a?e?acos?a,e?；
?????a???
2???????b?a与b同向??a?a?a；，，a?b?a?b?023a? ????a?b????
???a?b??????4?cos?a,b??；?5?a?b?ab． ab
????十二、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实????数组?x,y,z?，使得p?xa?yb?zc． ???十三、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是???????????pp?xa?yb?zc,x,y,z?R．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，a,b,c???aba与b反向????????
???称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间
的一个基底． ???????十四、设e1，e2，e3为有公共起点?的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基??????????????底），以e1，e2，e3的公共起点?为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴?的正方向建立空间直角坐标系?xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使?????它的起点与原点?重合，得到向量???p．存在有序实数组?x,y,z?，使得????????????????p?xe1?ye2?ze3．把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记
??作p??x,y,z?．此时，向量p的坐标是点?在空间直角坐标系?xyz中的坐标?x,y,z?． ??十五、设a??x1,y1,z1?，b??x2,y2,z2?，则
???1?a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?．
???2?a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?．
??3??a???x1,?y1,?z1?．
???4?a?b?x1x2?y1y2?z1z2．
???????5?若a、b为非零向量，则a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0． ???????6?若b?0，则a//b?a??b?x1??x2,y1??y2,z1??z2．
??7?
a?
?a?b?cos?a,b???． 8??
ab?9???x1,y1,z1?，???x2,y2,z2?，则
d?????? 十六、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点?以及一个定方向确定．点?是??????直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点?，有???ta，?这样点?和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点． 十七、空间中平面?的位置可以由?内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于??点?，它们的方向向量分别为a，b．?为平面?上任意一点，存在有序实数对?x,y?使????????得???xa?yb，这样点?与向量a，b就确定了平面?的位置． ??十八、直线l垂直?，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面?的法向量． ???????十九、若两个非共线向量a，b?平面α，则平面?的法向量n满足n·a=0，n·b=0。 ????二十、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//b?a//b? ??????a??b???R?，a?b?a?b?a?b?0．
???二十一、若直线a的方向向量为a，平面?的法向量为n，且a??，则a//??a//? ??????????a?n?a?n?0，a???a???a//n?a??n． ????二十二、若空间不重合的两个平面?，?的法向量分别为a，b，则?//??a//b? ??????a??b，????a?b?a?b?0． ??二十三、设异面直线a，b的夹角为?，方向向量为a，b，其夹角为?，则有
??a?bcos??cos??． ab
????二十四、设直线l的方向向量为l，平面?的法向量为n，l与?所成的角为?，l与n的??l?n夹角为?，则有sin??cos??． ln??????????二十五、设n1，n2是二面角??l??的两个面?，?的法向量，则向量n1，n2的夹角
（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角??l??的平面角为?，则?????n1?n2cos??． n1n2?二十六、在直线l上找一点?，过定点?且垂直于直线l的向量为n，则定点?到直线l的????????n?????????距离为d???cos???,n??． n????????二十七、点?与点?之间的距离可以转化为两点对应向量??的模??计算．
?二十八、点?是平面?外一点，?是平面?内的一定点，n为平面?的一个法向量，则点
????????n??????????到平面?的距离为d???cos???,n?? n
例1.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥
AC,AB=
CE=EF=1.
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。
例2.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2. （Ⅱ）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
（Ⅲ）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由
例3.如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是菱形，
AB?2,?BAD?60?.
（Ⅱ）若PA?AB,求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.
例4.如图所示，PA?面ABC，点C在以AB为直径的圆O上，?CBA?30?，
，点为线段的中点，点在⌒AB上，且OM∥AC．
PA?AB?2
E
PB
M
⑴ 求证：平面MOE∥平面PAC；
⑵ 求证：平面PAC?平面PCB；
⑶ 设二面角M?BP?C的大小为?，求cos?的值．
A
B
例5.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，
AB?BC，AB?2CD?2BC，EA?EB．
（Ⅰ）求证：AB?DE；
（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC// 平面FBD？若存在，求出说明理由．
EF
；若不存在，EA
C
例6.如图,矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC,
MN?MB，且MC?CB，BC?2，MB?4，DN?3．
（Ⅰ）求证：AB//平面DNC；
（Ⅱ）求二面角D?BC?N的余弦值.
1.在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE?EB,AD//EF，EF//BC，BC?2AD?4，EF?3，AE?BE?2，G是BC的中点．
AD(Ⅰ) 求证：AB//平面DEG；
(Ⅱ) 求证：BD?EG；
(Ⅲ) 求二面角C?DF?E的余弦值.
G
F
BC
2.如图，四棱锥P?ABCD的底面是直角梯形，AB//CD，AB?AD，?PAB和
?PAD是两个边长为2的正三角形，DC?4，O为BD的中点，E为PA的中点． (Ⅰ)求证：PO?平面ABCD； (Ⅱ)求证：OE//平面PDC；
(Ⅲ)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．
D
E
C
3.如图,ABCD是边长为3的正方形，DE?平面ABCD，AF//DE，DE?3AF，
BE与平面ABCD所成角为600.
(Ⅰ)求证：AC?平面BDE； (Ⅱ)求二面角F?BE?D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM//平面
BEF，并证明你的结论.
F
C
4.已知四棱锥P?ABCD的底面是菱形．?BCD?60?，AB?PB?PD?
2，
PC?AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点． （Ⅰ）求证：PC∥平面BDE； （Ⅱ）求证：PH?平面ABCD；
（Ⅲ）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．
ABC
AD//BC,?ADC?90?，5.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，
平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，
PA?PD?2,BC?
1
AD?1,CD? 2
（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA// 平面BMQ； （Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅲ）若二面角M?BQ?C为30°，设PM?tMC，试确定t值
B
C
?底面ABC，AA1?AC?AC?2,AB?BC,且6.三棱柱ABC?ABC中，侧面AAC111C111
AB?BC,O为AC中点.
（Ⅰ）证明：AO?平面ABC； 1
（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE//平面A1AB，若不存在，说明理由；
若存在，确定点E的位置.
B
A1
1
A
OC
7.三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱与底面垂直，?ABC?90?，AB?BC?BB1?2，
M,N分别是AB，AC1的中点．
（Ⅰ）求证：MN//平面BCC1B1； （Ⅱ）求证：MN?平面A1B1C； （Ⅲ）求二面角M?B1C?A1的余弦值．
8.在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，AB⊥AD
，AB=4,AD=CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4.
（Ⅰ）设平面PAB?平面PCD?m，求证：CD//m； （Ⅱ）求证：BD?平面PAC；
（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC
求
A
C
B
D
A C
1 1
，PQ
的值． PB
P
A?FC9．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，?DAB??DBF?60?，且F．
（Ⅰ）求证：AC?平面BDEF；
（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；
（Ⅲ）求二面角A?FC?B的余弦值．
10．如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足AE?FC?CP?1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1?EF?B成直二面角，连结A1B，A1P.（如图2） （Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小.
图1 图2
11.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，?ABD=90?，EB?平面ABCD，EF//AB，AB
=2，EBEF
=1，BC=，且M是BD的中点. （Ⅰ）求证：EM//平面ADF；
（Ⅱ）求二面角D-AF-B的大小；
（Ⅲ）在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为30?？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由.
12.四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60o，PA=PD
E是BC中点，点Q在侧棱PC上．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若Q是PC中点，求二面角E-DQ-C的余弦值； PQ??，当PA // 平面DEQ时，求λ的值． （Ⅲ）若PC
P Q
C
E A
13.如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC?AC,BC?AC?2， AA1?3，D为AC的中点.
（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1?BD?C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP?面BDC1？请证明你的结论
C
1
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