二次函数图像及性质训练题
一、选择题（共15小题；共75分）
1. 函数 ??=????2+????+??（??，??，?? 是常数）是二次函数的条件是??
A. ??≠0，??≠0，??≠0 C. ??>0，??≠0，??≠0 2. 若 ??= ??+1 ????A. ?1 2?6???5B. ??<0，??≠0，??≠0 D. ??≠0 +??????? 是二次函数，则 ??= () B. 7 C. ?1或 7 D. 以上都不对
3. 若原价为 160 元的电器连续两次降价后的价格为 ?? 元，且平均每次降价的百分率都是 ??，则 ?? 与 ?? 的函数关系式为??
A. ??=320 ???1
C. ??=160 1???2
??B. ??=320 1???D. ??=160 1??? 24. 将抛物线 ??=??2?4???4 向左平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位，得到抛物线的表达式为
A. ??= ??+1 2?13
C. ??= ???5 2?13
是 () B. ??= ???5 2?3 D. ??= ??+1 2?35. 已知二次函数 ??=?? ???1 2??? 的图象如图所示，则一次函数 ??=????+?? 的大致图象可能
A.B.
C.D.
1 6. 如图，抛物线 ??=????2+????+?? ??≠0的对称轴为直线 ??=?2．下列结论中，正确的是
()
第1页（共9页）
A. ??<0 1 B. 当 ??<?2时，?? 随 ?? 的增大而增大 C. ??+??+??>0 D. 当 ??=?时，?? 的最小值是 214?????47. 把抛物线 ??=2??2?4???5 绕顶点旋转 180o，得到的新抛物线的解析式是 ( ) A. ??=?2??2?4???5 C. ??=?2??2+4???9 B. ??=?2??2+4??+5 D. 以上都不对
8. 如图所示，正方形 ???????? 的边长为 1，??，?? 分别是边 ???? 和 ???? 上的动点（不与正方形的顶点重合）．不管 ??，?? 怎样动，始终保持 ????⊥????，设 ????=??，????=??，则与 ?? 之间的函数关系式是 ??
A. ??=??+1 C. ??=??2???+1 B. ??=???1 D. ??=??2????1
9. 二次函数 ??=??2+????+?? 的图象沿 ?? 轴向左平移 2 个单位长度，再沿 ?? 轴向上平移 3 个单位长度，得到的图象的函数表达式为 ??=??2?2??+1，则 ?? 与 ?? 分别等于 ??
A. 6，4 B. ?8，14 C. ?6，6 D. ?8，?14
10. 二次函数 ??=??2+????+?? 的图象上有两点 3,?8 和 ?5,?8 ，则此抛物线的对称轴是 ?? A. 直线 ??=4 B. 直线 ??=3 C. 直线 ??=?5 1D. 直线 ??=?1 11. 若二次函数的图象的顶点坐标为 2,?1 ，且抛物线过点 0,3 ，则二次函数的解析式为 ?? A. ??=? ???2 2?1 C. ??= ???2 2?1 B. ??=?2 ???2 2?1 D. ??=?2??2+4??
12. 抛物线 ??=????2+????+?? ??<0 与 ?? 轴的两个交点为 ?1,0 ， 3,0 ，其形状与抛物线 ??=
?2??2 相同，则抛物线 ??=????2+????+?? 的函数表达式为 ??
A. ??=?2??2???+3
C. ??=?2??2+4??+8
??=?????? B. ??=?2??2+4??+5 D. ??=?2??2+4??+6 13. 已知二次函数 ??=????2+????+?? ??≠0 的图象如图所示，则直线 ??=????+?? 与反比例函数
( )
第2页（共9页）
A. B. C.
????D. 14. 已知反比例函数 ??= 的图象如下图所示，则二次函数 ??=2????2?4??+??2 的图象大致为 ( )
A. B. C. D.
15. 如图，二次函数 ??=????2+????+?? ??≠0 的图象与 ?? 轴交于 ??，?? 两点，与 ?? 轴交于 ?? 点，且
对称轴为 ??=1，点 ?? 坐标为 ?1,0 ，则下面的四个结论：
① 2??+??=0； ② 4???2??+??<0； ③ ????>0； ④当 ??<0 时，??<?1 或 ??>2． 其中正确的个数是 ( )
C. 3 D. 4 A. 1 B. 2
二、填空题（共7小题；共35分）
第3页（共9页）
16. 汽车刹车距离 ?? m 与开始刹车时的速度 ?? km/h 之间的函数表达式是 ??=1100??2．在一辆车速
为 100km/h 的汽车前方 80m 处，发现停放了一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”
或“不会”）． 17. （1）当 ??=时，函数 ??= ??+1 ??2??+1+4???5 是二次函数． （2）当 ??=时，函数 ??= ??+1 ??2??+1+4???5 是一次函数． 18. 函数 ??=?2??2 的图象可由函数 ??=?2??2+4??+3 的图象经怎样平移得到
19. 如图，在 △?????? 中，∠??=90°，????=8c??，????=6cm，点 ?? 从点 ?? 开始沿 ???? 向 ?? 以 2cm/s
的速度移动，点 ?? 从点 ?? 开始沿 ???? 向 ?? 点以 1cm/s 的速度移动，如果 ??，?? 分别从 ??，?? 同时出发，当 △?????? 的面积最大时，运动时间 ?? 为 s．
121220. 如图，圆 ?? 的半径为 2，??1 是函数 ??=??2 的图象，??2 是函数 ??=???2 的图象，则阴影部分
的面积是 ．
21. 对于二次函数 ??=??2?2?????3，有下列说法：
① 它的图象与 ?? 轴有两个公共点； ② 如果当 ??≤1 时 ?? 随 ?? 的增大而减小，则 ??=1； ③ 如果将它的图象向左平移 3 个单位后过原点，则 ??=?1； ④ 如果当 ??=4 时的函数值与 ??=2008 时的函数值相等，则当 ??=2012 时的函数值为 ?3． 其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上） ①其图象与 ?? 轴一定相交； ② 若 ??<0，函数在 ??>1 时，?? 随 ?? 的增大而减小； ③ 无论 ?? 取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上； ④无论 ?? 取何值，函数图象都经过同一个点． 其中所有正确的结论是 22. 对于二次函数 ??=????2? 2???1 ??+???1 ??≠0 ，有下列结论：
三、解答题（共8小题；共104分）
23. 在一块长为 35m，宽为 20m 的矩形空地上建花坛，如果在四周留出宽度为 ??m 的小路，中间花 坛面积为 ??m2．求 ?? 关于 ?? 的函数关系式，并确定自变量 ?? 的取值范围．
24. 将下列函数配成 ??=?? ???? 2+?? 的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值．
Ⅰ ??=??2+6??+10；
Ⅱ ??=?2??2?5??+2；
Ⅲ ??=3??2+2??；
第4页（共9页）
Ⅳ ??=?3??2+6???2；
Ⅴ ??=100?5??2；
Ⅵ ??= ???2 2??+1 ．
25. 设函数 ??= ???1 ???1 ??+ ???3 （?? 是常数）．
Ⅰ 当 ?? 取 1 和 2 时的函数 ??1 和 ??2 的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当 ?? 取 0 时
函数的图象；
Ⅱ 根据图象，写出你发现的一条结论；
Ⅲ 将函数 ??2 的图象向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，得到函数 ??3 的图象，求函数 ??3
的最小值． 26. 如图，抛物线 ??1=???2+2 向右平移 1 个单位得到抛物线 ??2，回答下列问题：
Ⅰ 抛物线 ??2 的顶点坐标；
Ⅱ 阴影部分的面积 ?? = ；
Ⅲ 若再将抛物线 ??2 绕原点 ?? 旋转 180° 得到抛物线 ??3，求抛物线 ??3 的解析式． 27. 某果园有 100 棵橙子树，每一棵平均结 600 个橙子．现准备多植一些橙子树以提高产量，但是如果多植树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多植一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子．
Ⅰ 假设果园增植 ?? 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树
结 个橙子．
Ⅱ 如果果园橙子的总产量为 ?? 个，那么 ?? 与 ?? 之间的表达式为 ．
Ⅲ ?? 与 ?? 的函数表达式是什么函数?自变量 ?? 的取值范围是什么?
28. 已知抛物线 ??=?2??2???+2．
13
第5页（共9页）
Ⅰ 请用配方法将其化为 ??=?? ??+? 2+?? 的形式，并写出它的顶点坐标和对称轴． Ⅱ 说明该抛物线是由哪一条形如 ??=????2 的抛物线经过怎样的变换得到的? Ⅲ 在所给的方格中画出该抛物线，并回答：当 ??>0 时 ?? 的取值范围． 29. 二次函数 ??=????2+????+?? 的图象经过点 0,3 ， 3,6 ， ?2,11 ． Ⅰ 求该二次函数的关系式；
Ⅱ 证明：无论 ?? 取何值，函数值 ?? 总不等于 1；
Ⅲ 如何平移该函数图象使得函数值 ?? 能等于 1?
30. 下表给出了代数式 ??2+????+?? 与 ?? 的一些对应值：
???01234? 2??+????+???3?13?
Ⅰ 请在表内的空格中填入适当的数；
Ⅱ 设 ??=??2+????+??，则当 ?? 取何值时，??＞0；
Ⅲ 请说明经过怎样平移函数 ??=??2+????+?? 的图象得到函数 ??=??2 的图象?
第6页（共9页）
答案
第一部分
1. D 2. B 3. D 4. D 5. A
6. D 7. C 8. C 9. C 10. D
11. C 12. D 13. B 14. D 15. B
第二部分
16. 会
17. （1）22）0 或 ?1 或 ?2
18. 向左移 1 个单位，向下移 5 个单位
19. 2
20. 2π
21. ①④
22. ①③④
第三部分
23. ??= 35?2?? 20?2?? =4??2?110??+700． ∵20?2??>0，
∴??<10．
∴0<??<10．
∴??=4??2?110??+700，（0<??<10）．
24. （1） ??=??2+6??+10= ??+3 2+1．
顶点 ?3,1 ，对称轴为直线 ??=?3，最小值为 1．
（2） ??=?2??2?5??+2=?2 ??+4 +
5415125241811 41顶点 ?4,8，对称轴为直线 ??=?4，最大值为 8（3） ??=3??2+2??=3 ??+ ?． 33
顶点 ?,?，对称轴为直线 ??=? ?． 3333
（4） ??=?3??2+6???2=?3 ???1 2+1． 顶点 1,1 ，对称轴为直线 ??=1，最大值为 1．
（5） ??=100?5??2=?5??2+100，顶点 0,100 ，对称轴为直线 ??=0，最大值为 100．
??
（6）
32511111= ???2 2??+1 =2??2?3???2 =2 ???4?32258.325顶点 4,?8，对称轴为直线 ??=4 ?8
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25. （1） 作图如图．
（2） 函数 ??= ???1 ???1 ??+ ???3 （?? 是常数）的图象都经过点 1,0 ．（答案不唯一）
（3） ∵??2= ???1 2，
∴ 将函数 ??2 的图象向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，得到函数 ??3 为 ??3= ??+3 2?2． ∴ 当 ??=?3 时，函数 ??3 的最小值为 ?2．
26. （1） 1,2
（2） 2
（3） 抛物线 ??1=???2+2 向右平移 1 个单位得到 ??2=? ???1 2+2=???2+2??+1， 再关于原点旋转 180° 得到 ??3=??2+2???1．
27. （1） 100+?? ； 600?5??
（2） ??= 100+?? 600?5?? =?5??2+100??+60000．
（3） ?? 与 ?? 的函数表达式是二次函数，每棵树结的橙子数应不小于 0，所以自变量 ?? 的取值范围是 0≤??≤120，且 ?? 为自然数．
28. （1） ??=?2 ??2+2?? +2=?2 ??+1 2+2，
顶点坐标为： ?1,2 ，对称轴为：直线 ??=?1.
（2） 该抛物线是由抛物线 ??=???2，先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的． 21131 （3）
当 ??>0 时，?? 的取值范围为：?3<??<1．
??=3,??=1,
29. （1） 由题意得： 9??+3??+??=6, 解得： ??=?2, 4???2??+??=11,??=3,
∴ 该函数的函数关系式为：??=??2?2??+3．
第8页（共9页）
（2） ∵??=??2?2??+3= ???1 2+2，
∴ 当 ??=1 时，?? 取最小值 2，
∴ 无论 ?? 取何值，函数值 ?? 总不等于 1．
（3） 将该函数图象向下平移的距离大于等于 1 个单位长度．
30. （1） 这个代数式属于二次函数．
当 ??=0，??=3；??=4 时，??=3．
说明此函数的对称轴为 ??= 0+4 ÷2=2．
那么 ???
2??=?=2，??=?4，经过 0,3 ， 2??∴??=3，二次函数解析式为 ??=??2?4??+3，
当 ??=1 时，??=0；
当 ??=3 时，??=0．
???01234? ??+????+???30?103?
（2） 由（1）可得二次函数与 ?? 轴的交点坐标， 2
由于本函数开口向上，
∴ 当 ??＜1 或 ??＞3 时，??＞0．
（3） 由（1）得 ??=??2?4??+3，即 ??= ???2 2?1．
将抛物线 ??=??2?4??+3 先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位即得抛物线 ??=??2．
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