数学宝典之圆锥曲线
一、知识点回顾：
1
二、章节知识点回顾：
椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过1．椭圆定义x2y2y2x2
2．椭圆的标准方程：2?2?1，2?2?1 （a?b?0）
ababx2y2
3．椭圆的性质：由椭圆方程2?2?1(a?b?0)
ab
(1)范围: ?a?x?a,?b?y?b，椭圆落在x??a,y??b组成的矩形中．
(2)对称性:图象关于y轴对称．图象关于x对称中心，简称中
心．x轴、y（3）顶点：椭圆共有四个顶点： A(?a,0),A2(a,0)，B(0,?b),B2(0,bF1(?c,0),F2(c,0)共有六
A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴．长分别为2a,2 a,b分别为椭圆的长半轴长和
顶点 (4)离心率: ?
c?e??e?a椭圆形状与e的关系：e?0,c?0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e?0时e?1,c?a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为圆为椭圆在e?1时的特例
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的
其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 2
5．椭圆的准线方程 x2y2a22
对于2?2?1，左准线l1:x??；右准线l2:x?cab
y2x2a22
对于2?2?1，下准线l1:y??；上准线l2:y?cab
a2a2?c2b2
?c??焦点到准线的距离p?（焦参数） ccc
6．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）r1?a?ex0,（右焦半径）r2?a?ex0,其中e焦点在y?MF1?a?ey0轴上的椭圆的焦半径公式：?（ 其中F1,F2MF?a?ey20?
可以记为：左加右减，上减??x?acos?(?为参数?y?bsin?8．双曲线的定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线 即MF1?MF2?2a在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（?两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（?双曲线的形状与两定点间距离、定差9．双曲线的标准方程及特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： x2y2
焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：2?2?1(a?0,b?0)； aby2x2
焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：2?2?1(a?0,b?0) ab
(2)a,b,c有关系式c?a?b成立，且a?0,b?0,c?222
其中a与b的大小关系:可以为a?b,a?b,a?:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x、y项的分母的大小来确22
3
而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y2
11．双曲线的几何性质：
（1）范围、对称性 x2y2
由标准方程2?2?1，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的ab
增大，y双曲线不封闭，
（2）顶点
顶点：A1(a,0),A2??a,0?，特殊点：B1(0,b),B2?0,?b?
实轴：A1A2长为2a, a叫做虚轴：B1B2长为2b，b叫做（3）渐近线 bxyx2y2
过双曲线2?2?1的渐近线y??x（??0） aabab
（4）离心率 双曲线的焦距与实轴长的比e?2cc?，叫做双曲线的范围：e?1 2aa
bc2?a2c2
2双曲线形状与e的关系：k????1?e?1，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，2aaa
12．等轴双曲线 等轴双曲线的性质：
（1）渐近线方程为：y??x；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
e?
13．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为y?? bkbx??x(k?0)，那么此双曲线方程就一定是：aka
x2y2x2y2
???1(k?0)或写成2?2??22ab(ka)(kb)
14．共轭双曲线
区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为 15． 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e?
4 c(c?a?0)的点的轨迹是双a
常数e是双曲线的离心率．
16．双曲线的准线方程： x2y2a2
对于2?2?1来说，相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??，相对于右焦点F2(c,0)对应着cab
a2b2
右准线l2:x?； 焦点到准线的距离p? cc
y2x2a2
对于2?2?1来说，相对于上焦点F1(0,?c)对应着上准线l1:y??；相对于下焦点F2(0,c)对应着cab
a2
下准线l2:y? c
定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1,F2焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
?MF1?a?ex0??
?MF2?a?ex0
焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
?MF1?a?ey0???MF2?a?ey0 （ 其中F1,F2分别是双曲线的下上焦点）
18．双曲线的焦点弦： 焦点弦公式：
当双曲线焦点在x轴上时，
过左焦点与左支交于两点时： AB??2a?e(x1?x2过右焦点与右支交于两点时：AB??2a?e(x1?x2当双曲线焦点在y轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：AB??2a?e(y1?y2过右焦点与右支交于两点时：AB??2a?e(y1?y219．双曲线的通径： 2
d?抛物线定义：
5
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的21．抛物线的准线方程：
p,0)，准线l：x?2
pp(2)x2?2py(p?0), 焦点:(0,)，准线l：y??22p(3)y2??2px(p?0), 焦点:(?,0)，准线l：x?2p(4) x2??2py(p?0), 焦点:(0,?)，准线l：y?2 (1)y2?2px(p?0), 焦点:(
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的12pp?，即442不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为?2px、左端为y；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为?2py，左端为x（2）开口方向在X轴（或Y轴）正22
向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y22．抛物线的几何性质
（1）范围
因为p＞0，由方程y?2px?p?0?可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这2
条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性
以－y代y，方程y?2px?p?0?不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物2
线的轴．
（3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y?2px?p?0?中，当y=0时，x=0，因此抛物线2
y2?2px?p?0?的顶点就是坐标原点．
（4）离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
抛物线y?2px(p?0)，PF?x0?2pp??x0 22
6
抛物线y2??2px(p?0)，PF?x0?pp??x0 22
抛物线x2?2py(p?0)，PF?y0?pp??y0 22
pp??y0 22抛物线x2??2py(p?0)，PF?y0?
24．直线与抛物线：
（1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）22将l:y?kx?b代入C:Ax?Cy?Dx?Ey?F?0，消去y，得到
关于x的二次方程ax?bx?c?（*） 2
若??0，相交；??0，相切；??0综上，得：
联立??y?kx?b2ax?bx?c?0 ，得关于x的方程2?y?2px
当a?0（二次项系数为零）当a?0，则
若??0??0??0，无公共点 （2）相交弦长： 弦长公式：d???k2， a
（3）焦点弦公式：
抛物线y?2px(p?0)， ?p?(x1?x22
抛物线y??2px(p?0)， ?p?(x1?x22
抛物线x?2py(p?0)， AB?p?(y1?y22
抛物线x??2py(p?0)，?p?(y1?y22
（4）通径：
定义：通径：d?2p（5）若已知过焦点的直线倾斜角?
7
2pp??2py?y??y?k(x?)?22y?p2?0??1则?k 2?y?k22??y?2pxyy??p??12
12p4p22p2?AB?y?y? ?y1?y2??4p?1222sin?sin?sin?k
（6）常用结论：
p?2pk2p2?y?k(x?)22222y?p?0和kx?(kp?2p)x??0 ?2?y?k42??y?2px
?y1y2??p2和x1x2?
2 ?x?2pt2
25．抛物线y?2px(p?0)的参数方程：?（t为参数） y?2pt ?
二、讲解范例：
例1 ⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；
⑵ 和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且经过点(2，－3)；
⑶ 中心在原点，焦点在x
轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是分析： 求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2=b2+c2及已知条件确定a2、b2解 ⑴ 焦点位置可在x轴上，也可在y轴上，
xy2y2x2
??1或??1 因此有两解：16121612
?a2?b2?5xy? ⑵ 焦点位置确定，且为（0，?5），设原方程为2?2?1,(a>b>0)，由已知条件有?9 4ab?2?2?1b?a22
y2x???a?15,b?10,故方程为151022 x2y2
⑶ 设椭圆方程为2?2?1,(a>b>0) ab
?b?c由题设条件有? 及a2=b2+c2，解得b=,a?,
?a?c??5
8
xy2
??故所求椭圆的方程是105
x2y2
例2 从椭圆2?2?1,(a>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、ab
短轴的端点，AB∥Q是椭圆上任意一点，当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若⊿F2PQ的面积为20解 x2y2
∵b=c,a=2c，可设椭圆方程为2?2?2cc∵PQ⊥AB,∴kPQ=-1a??2，则PQ的方程为y=2(x-c)， kABb
代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，
根据弦长公式，得PQ62c, 5又点F1到PQ的距离d=2c 3
∴S?F1PQ?1432432PQd?c ,由c?，得c2?25, 255
x2y2
??故所求椭圆方程为5025
?x2
?y2?1，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB例3 已知椭圆：69
解：a=3,b=1,c=22; 则F（-22，0） x2
?y2?1联立消去y得： (x?22)与由题意知：l:y?91
4x2?2x?15?0
设A（x1,y1)、B（x2,y2)，则x1,x2是上面方程的二实根，由违达定理，x1?x2??32 9
x1?x2?x?x23215，xM?1又因为A、B、F都是直线l上的点， ??422
所以|AB|=??|x1?x2|?1
323?(x1?x2)2?4x1x2?2
3?15?2 例4 中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线y?3x?2所得弦的中点横坐标为1，求椭圆2分析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，50）知，c=50，?a?b?50，最后解关于a、b22
x2y2
解：设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)， ab
由F1（0，）得 a?b?50
把直线方程y?3x?2代入椭圆方程整理得： 22
(a2?9b2)x2?12b2x?b2(4?a2)?0
设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则由根与系数的关系得：
12b2
x1?x2?2， 2a?9b
x1?x216b21?2?又AB的中点横坐标为，? 22a?9b22
?a2?3b2，与方程a2?b2?50联立可解出a2?75,b2?25 x2y2
??1 故所求椭圆的方程为：7525
例5 直线y?kx?1与双曲线3x?y?1相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当22
a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？
解： 把y?kx?1代入3x?y?1
整理得：(3?a)x?2ax?2?0??（1） 2222
10
当a??时，??24?4a由?>0得?6?a?6且a??若A、B在双曲线的同一支，须x1x2?2>0 ，所以a
?或aa2?3故当??a或3?a6时，A、B两点在同一支上；当?3?a时，A、B例6 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为3的直线，交双曲线于M、N 两点，且MN=4，5x2y2
22解：设所求双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0)，由右焦点为（2，0C=2，b=4-a abx2y23?1则双曲线方程为2?，设直线MN的方程为：y?(x?2)，代入双曲线方程整理得：2a4?b5
(20-8a)x+12ax+5a-32a=0 22242
?12a2
设M（x1,y1）,N(x2,y2),则x1?x2?， 20?8a2
5a4?32a2
x1x2?220?8a?3???MN????5??
??
8??5
22x1?x2?4x1x2 22??12a?5a4?32a2??20?8a2???4?20?8a2?4 ??2解得：a?1，?b?4?1?y2
?故所求双曲线方程为：x?32
点评：利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程得根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现y2
?1，过点 A（2，1）的直线与已知双曲线交于P、Q1）求PQ中点的轨迹例7 已知双曲线x?22
方程；（2）过B（1，1）能否作直线l，使l与所给双曲线交于两点M、N，且B为MN的中点，若存在，求出l 11
解：（1）设P（x1,y1）、Q(x2,y2),其中点为（x，y）,PQ的斜率为k,
若PQ的斜率不存在显然（2，0若PQ的斜率存在，由题设知：
yy2x1?1?1?（1） x2?2?1?（2） 22222
（2）-（1）得：(x1?x2)(x2?x1)?
?(y1?y2)(y2?y1)?0 2x1?x2kxk?，即??（3） y2y1?y22
y?1代入（3）整理得：2x2?y2?4x?y?0 x?2又k?
（2）显然过B点垂直Xl的方程为y-1=k(x-1) y2
?1，整理得： 代入双曲线方程x?22
?2?k?x22?2k?1?k?x?k2?2k?3?0?※
2k?1?k??k=2 22?k设M（x1,y1）、N(x2,y2)则有x1?x2?
又直线与双曲线必须有两不同交点，
所以※式的??4k2?1?k??42?k2k2?2k?3?2????把K=2代入得???8<0，
故不存在满足题意的直线l2例8 已知抛物线方程为y?2p(x?1)(p?0)，直线l:x?y?m过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长
为3，求p的值．
解：设l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|?3.
由距离公式
|AB|=(x1?x2)2?(y1?y2
)2y1?y2|?y1?y2| 则有 (y1?y2)2?9. 2
p?x?y??1?,?由2消去x,得y2?2py?p2?0. ??y2?2p(x?1).?
??(2p)2?4p2?0.
22?y1?y2??2p,y1y2??p2. 从而(y1?y2)?(y1?y2)?4y1y2,即(?2p)?4p?9.由于p>0，
222解得p?3 4
12
例9 如图，线段AB过x轴正半轴上一点M（m,0）（m>0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B
（1）求抛物线方程；
（2）若tg?AOB??1，求m解：（1）当AB不垂直x轴时，设AB方程为
y?k(x?m).抛物线方程y2?2px(p?0)
y?k(x?m)由?得ky2?2py?2pkm?0,?y1y2??2pm?|y1y2|?2pm?2m ?2?y?2px
?p?1.当AB?X轴时,A,B分别为(m,2Pm),(m,?2pm),由题意有2pm?2m,p?1，
故所求抛物线方程为y2?2x.
2y12y2（2）设A(,y1),B(,y2)由(1)知 22
y1y2??2m,y1?y2?2 k
?|y1?y2|?(y1?y2)2?4y1y2?4?8m, 2k
22
又tg?AOB??1|?|22k1?,k2?,?y1y2??1y1y21?y1y2即y1y2?4?2|y1?y2|,??2m?4?2①， 4?8mk2
平方后化简得
m2?12m?4?4
k2?m2?12m?4?0,?m?6?42或m?6?42
又由①知
?2m?4?0,?m?2?m的取值范围为
0?m?6?42当m?6?42且AB?x轴时，
y1?2(2?1),y2??2(?1),y1y2??4(2?1)2??2m.tan?AOB??1
符合条件，
故符合条件的m取值范围为0?m?6?4.
二、课堂练习：
1．直线l:y?kx?2与曲线x?y?1?x?0?，相交于A、B两点，求直线l22??
13
??????3???,???,? ?42??24?
2．直线y?kx?1与双曲线x2?y2?1的左支仅有一个公共点，求K?1?k?1或k?2
y2
?1与点P（1，2）3．已知双曲线x?，过P点作直线L与双曲线交于A、B两点，若P为AB1）22
求直线AB2）若Q为（-1，-1），证明不存在以Q AB：x-y+1=0
y2
?1(x?1)，一条长为8的弦AB的两端在曲线上运动，其中点为M，求距Y轴最近的点M4．双曲线x?32
?,?5
?2??? 2??
5．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线y?2x?4所得的弦长为3：y2?4x或y2??366．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为E、G，则?EFG等于 （ B ） A．450000y?8x被过焦点，且倾斜角为135?6,?420
2??1,?6?的直线l与抛物线y?4x交于A、B两点，求直线l的斜率K?3?,0?0,3???029．过点A??2,?4?作倾斜角为45的直线交抛物线y?2px?p?0?于点P1P21、P2，若P2?AP1?AP2，
求实数pp?
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