《椭圆》单元测试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1. 已知曲线C的方程为+=1，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（ C ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2. 椭圆
A．﹣21=1的离心率为，则k的值为（ C ） B．21C．﹣或21D．或21
x2y2
??1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF3. 椭圆1的中点M 123
在y轴上，那么点M的纵坐标是 （C ）A. ?323 B. ? C. ?D. ? 4224
4.
设椭圆短轴的一点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆长轴端点的最短距离为
，则焦点在y轴上的椭圆方程是（D）
A．+=1 B．+或+=1C．+=1 D．+=1
5. 如图，边长为a的正方形组成的网格中，设椭圆C1、C2、C3的离心率分别为e1、e2、
e3，则（ D ）
A．e1=e2＜e3B．e2=e3＜e1 C．e1=e2＞e3D．e2=e3＞e1
6. 已知椭圆x+y=a（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a
的取值范围是（ B ）
A．
C．或B．D．或2
22
7. 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（ B ）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，1） C．（0，﹣1） D．（﹣l，1）
8. 已知点P是椭圆+y=1上任一点，F为椭圆的右焦点，Q（3，0），且|PQ|=2|PF|，则满足条件的点 P的个数为（ C ）
A．4 B．3 C．2 D．0
9. 已知P为椭圆
22上的点，点M为圆上的动点，点N为圆C2：（x﹣3）+y=1上的动点，则|PM|+|PN|的最大值为（B ）
A．8 B．12 C．16 D．20
x2y2110. 设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两ab2
个实根分别为x1和x2，则点P(
x1，x2)( A )
A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能
11．如图，焦点在x轴上的椭圆+=1（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A点，△APF1
的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|F1Q|=4，则该椭圆的离心率为（ D ）
A． B． C．
12．椭圆C：+ D． =1的左，右顶点分别为A1，A2，点P在C上，且直
线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ A ）
A．[，] B．[，] C．[，1] D．[，1]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2213．直线y?kx?2与椭圆x?4y?80相交于不同的两点P、Q，若PQ的中
点横坐标为2，则直线的斜率等于 1。2
14．椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有 6 个
15. 设点P在椭圆x+
16. 设F1，F2分别是椭圆2=1上，点Q在直线y=x+4上，若|PQ|的最小值为，则m=
的左、右焦点，点P是该椭圆上一个动点，则的取值范围是[﹣2，1]
三、解答题：本大题共6小题，满分70分。
17. （本题满分10分）
A(2,1)（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l:x?1?y?0CM,N
.
解：（1）由条件a?
2b(2,1)
C的标
2（2）联立椭圆和直线方程可得直线5x?8x?4?0，所以
，长轴长为等18. （本题满分12分）已知椭圆C：22+=1（a＞b＞0）的离心率为于圆R：x+（y﹣2）=4的直径，过点P（0，1）的直线l与椭圆C交于两点A，B，与圆R交于两点M，N
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线RA，RB的斜率之和等于零；
解：（Ⅰ）因为椭圆C长轴长等于圆R：x+（y﹣2）=4的直径，
所以2a=4，a=2； 由离心率为，得e=222==， 所以==，得b=2；所以椭圆C的方程为2+=1；
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，与
22+=1联立， 消去y，得（1+2k）x+4kx﹣2=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，由R（0，2），得
kRA+kRB=
+=+=2k﹣（+）
=2k
﹣=2k
﹣=0
19. （本题满分12分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过，过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B． 点
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存直线l，满足
理由． ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明
解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得 解得a=4，b=3，故椭圆C的方程为22．
（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1， 222由得（3+4k）x﹣8k（2k﹣1）x+16k﹣16k﹣8=0．
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
222所以△=[﹣8k（2k﹣1）]﹣4?（3+4k）?（16k﹣16k﹣8）＞0．
整理得32（6k+3）＞0．解得． 又，，
且所以，即．即， ． 所以，解得． 所以．于是存在直线l满足条件，其的方程为．
20. （本题满分12分）如图所示，已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：y＝kx＋b(b>0)是圆的一
x22条切线，且l与椭圆y＝1交于不同的两点A，B. 2
(1)若△AOB的面积等于，求直线l的方程； 3
62→→(2)设△AOB的面积为S，且满足≤S≤6，求OA·OB的取值范围. 47
|b|解析： (1)由题意可知：＝1，∴b＝1＋k. 21＋k??y＝kx＋b，又?22?x＋2y－2＝0，? 消y得(1＋2k)x＋4kbx＋2b－2＝0，
2222－4kb2b－2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2，x1·x2＝2， 1＋2k1＋2k∴|AB|1＋k·?x1＋x2?－4x1x2＝1＋k·22222|k|
2， 1＋2k
12|k|22而O到直线AB的距离为1，则有1＋k·2，解得k＝±1， 21＋2k3
所求直线l的方程为x－y＋2＝0或x＋y2＝0.
6122|k|22(2)由题意可知1＋k·6， 2×1≤421＋2k7
1→→2解得≤k≤3.由(1)得OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋b)(kx2＋b) 2
2223b－2k－21＋k4→→322＝(1＋k)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b＝≤OA·OB≤. 221＋2k1＋2k7421. （本题满分12分）已知椭圆C：
22+=1（a＞b＞0），的离心率为，其左顶点A在圆O：x+y=16上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆C上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得=3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22解：（Ⅰ）∵椭圆C的左顶点A在圆O：x+y=16上．令y=0，得x=±4，∴a=4．
又离心率e==，b=a﹣c．联立解得c=2222，b=2．
∴椭圆C的方程为=1．
（Ⅱ）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为y=k（x+4），
2222与椭圆方程联立化简得到（1+4k）x+32kx+64k﹣16=0．
∵﹣4为上面方程的一个根，∴﹣4×x1=，解得x1=．
∴|AP|=|x1﹣（﹣4）|=．
又圆心到直线AP的距离为d=，∴|AQ|=2=． ∵==﹣1=﹣1=﹣1=3，
此方程无解，∴不存在直线AP，使得=3．
22. （本题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A，B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值． 解：（I）由已知得，又由a=b+c，可得a=3c，b=2c， 2222222
得椭圆方程为，因为点M在第一象限且MF2⊥x轴，
可得M的坐标为，由，解得c=1， 所以椭圆方程为；
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），
22将y=kx+2代入椭圆，可得（3k+2）x+12kx+6=0，
222由△＞0，即144k﹣24（3k+2）＞0，可得3k﹣2＞0， 则有所以， 因为直线y=kx+2与轴交点的坐标为（0，2），
所以△OAB的面积
令3k﹣2=t，由①知t∈（0，+∞）， 可得， 2，
所以t=4时，面积最大为
．
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