2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上学期期末考试数学
(理科)试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分100分,考试时间100分钟。请将所有试题的答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.下列说法正确的是 ( )
A.命题“若x?1,则x?1”的否命题为“若x?1,则x?1”
2B.命题“?x0?R,x0?1”的否定是“?x?R,x?1” 222
C.命题“若x?y,则cosx?cosy”的逆否命题为假命题
D.命题“若x?y,则cosx?cosy”的逆命题为假命题
???????????????2.已知空间四边形OABC中,OA?a,OB?b,OC?c,点M在OA上,且
?????OM?2MA,N为BC中点,则MN=( ) 1?2?1?2?1?1?A. a?b?cB.?a?b?c 232322
1?1?1?C. a?b?c 2222?2?1?D. a?b?c 332
3. 下面的命题中是真命题的是 ( )
A.两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角
??????B.设空间向量a,b为非零向量,若a?b?0,则?a,b?为锐角
C.方程mx?ny?1(m?0,n?0)表示的曲线是椭圆
D
4.
? ( )
A.两条线段 B.两条直线
C.两条射线 D.一条射线和一条线段
5. “a?0”是“函数f(x)?(ax?1)x在区间(0,??)内单调递增”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件
高二第一学期期末数学试卷(理科)第1页 共8页 22
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
C:x2?y2?2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|?2|PF2|,6. 已知F1、F2为双曲线
则cos?F1PF2为 ( ) A. 1334 B. C. D. 4545
7. 已知抛物线C:y2?8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的
????????一个交点,若FP?4FQ,则|QF|= ( )
A. 3 B. 75 C. 2 D. 22
1x2y2
8. 过点M(1,1)作斜率为?的直线与椭圆C: 2?2?1(a?b?0)相交于A,B两2ab
点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 ( ) A. 12
B.
C. D. 2322
09. 直三棱柱ABC?A1B1C1中,?BCA?90,M,N分别是A1B1,AC11的中点,
BC?CA?CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为 ( )
A.21 B. C
D.
510x2y2
C交10.设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与ab
于点P,Q. 若|PF2|?|F1F2|,且3|PF1|?4|QF1|,则b的值为 ( ) a
A.
35 B. C
D
57 高二第一学期期末数学试卷(理科) 第2页 共8页
第Ⅱ卷(非选择题,共70分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11.若抛物线y2?2px(p?0)的准线经过双曲线x2?y2?1的一个焦点,则p?
y2
12. 过双曲线x??1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,32
B
13. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说“是乙或丙获奖”,乙说“甲、丙都未获奖”,丙说”我获奖了”,丁说“是乙获奖”。四位歌手的话只有两位是真的,则获奖的歌手是_____.
1214. 已知长方体ABCD?A1B1C1D1中,底面是边长为的正方形,高为,则点A1到截
面AB1D1的距离是.
15. 抛物线y?2px(p?0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足?AFB?2|MN|?.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是 . 3|AB|
三、解答题(本大题共5小题,共50分)
16. (本小题满分10分)
如图,直三棱柱ABC?A1B1C1中,D,E分别是
AB,BB1的中点,
AB. (Ⅰ) 证明:BC1∥平面ACD; 1AA1?AC?CB?
(Ⅱ) 求A所成角的正弦值. 1E与平面ACD1
17. (本小题满分8分)
2给定两个命题p:对任意实数x都有ax?ax?1?0恒成立;q:关于x的方程
x2?x?a?0有实数根.如果
p?q为假命题,p?q为真命题,求实数a的取值范围. 高二第一学期期末数学试卷(理科) 第3页 共8页
18.(本小题满分10分)
如图,已知四边形ABCD内接于抛物线x2?y,点 C(3,9),AC平行于x轴,BD平行于该抛物线在点C
处的切线,?BAD?90.
(Ⅰ)求直线BD的方程;
(Ⅱ)求四边形ABCD的面积.
19. (本小题满分10分) ?如图1,?ABC是边长为6的等边三角形,E,D分别为AB,AC靠近B,C的三等 分点,点G为BC边的中点,线段AG交线段ED于F点,将?AED沿ED翻折,使平 面AED⊥平面BCDE,连接AB,AC,AG形成如图2所示的几何体.
(Ⅰ) 求证:BC⊥平面AFG;
(Ⅱ) 求二面角 B?AE?D的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知圆A:(x2?y2?12,圆A
内一定点B,圆P过点B且与圆A内切. (Ⅰ)求圆心P的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线y?kx?2与点P的轨迹交于C,D两点.问是否存在常数k,使得以CD为 直径的圆过坐标原点O,若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
高二第一学期期末数学试卷(理科) 第4页 共8页
兰州一中2015-2016-1学期期末考试高二数学(理科)参考答案
一、 选择题(每题3分,共30分)
二、填空题(每小题4分,共20分)
11
.. 13. 丙 14. 2 15. 1 3
三、 解答题(本大题共5小题,共50分)
16.解:(Ⅰ) 连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.
又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF.?????3分 因为DF?平面A1CD,BC1平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD. ?????5分
AB得,AC⊥BC. ?????6分 2????以C为坐标原点,CA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. (Ⅱ)由AC=CB=
????设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),
A1(2,0,2),CD=(1,1,0), ????????). CA1=(2,0,2), AE1?(?2,2,?1?设n=(x,y,z)是平面A1CD的一个法向量, ???????n?CD?0,?x?y?0,则??????即? 2x?2z?0.??n?CA1?0,??可取n=(1,-1,-1).?????8分
?设A1E与平面A1CD所成角为, ???????????|A1E?n|则sin??|cos?A1E
,n?|?? ???10分 |A1E|?|n|17. 解:命题P:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立,则“a=0”,或“a>0且a2-4a<0”.解得0≤a<4. ???3分
1命题q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根,则Δ=1-4a≥0,得a ???54
分
因为P∧q为假命题,P∨q为真命题,则P,q有且仅有一个为真命题,
高二第一学期期末数学试卷(理科) 第5页 共8页
a<0或a≥40≤a<4????故?p∧q为真命题,或P∧?q为真命题,则?1或?1???7a≤a>.???4?4
分
11解得a<0或<a<4. 所以实数a的取值范围是(-∞,0)∪,4). ???844 分
2218.解:(Ⅰ)由C(3,9),知A(?3,9),设B(x1,x1),D(x2,x2);
由题意知,过点C的切线斜率存在,故设切线的方程为y?9?k(x?3)
联立??y?9?k(x?3)?x2?kx?3k?9?0. 2y?x?
22??(?k)?4(3k?9)?0?(k?6)?0?k?6.
从而kBD?k?6.???3分
从而设直线BD的方程为y?6x?m ?y?6x?m?x2?6x?m?0. ?2?y?x
则x1?x2?6, x1x2??m
又因为?BAD?90; 所以 ?kAB?kAD2x12?9x2?9??1???(x1?3)(x2?3)??1?x1x2?3(x1?x2)?9??1. x1?3x2?3
即?m?3?6?9??1?m??8. 故直线BD的方程为y?6x?8. ???6分
2(Ⅱ)解方程x?6x?8?0,可得 B(2,4),D(4,16)
所以|BD|?
分
? ???7
高二第一学期期末数学试卷(理科) 第6页 共8页
点A到BD的距离为d1;点C到BD的距离为d
2
d1?d2?
分
? ???911S四边形ABCD=|BD|?(d1?d2)???36. ???1022分
另解, 四边形ABCD面积S?S?ACD?S?ACB ?111?AC?yD?yC??AC?yB?yC??6?(7?5)?36. 222
19. 解:(Ⅰ)证明:在图1中,由△ABC是等边三角形,E,D分别为AB,AC的三等分点,点G为BC边的中点,
则DE⊥AF,DE⊥GF,DE∥BC.
在图2中,因为DE⊥AF,DE⊥GF,AF∩FG=F,所以DE⊥平面AFG.
又DE∥BC,所以BC⊥平面AFG. ???5分
(Ⅱ)解:因为平面AED⊥平面BCDE,平面AED∩平面BCDE=DE,AF⊥DE, 所以,AF? 平面BCDE
又因为DE⊥GF,
所以FA,FD,FG两两垂直. ???6分
以点F为坐标原点,分别以FG,FD,FA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.则
高二第一学期期末数学试卷(理科) 第7页 共8页
A(0,0,2,B(3,-3,0),E(0,-2,0),
所以=3,-3,-3),=(3,1,0).
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),
?3x-3y-23z=0,则即? ?-3x+y=0,
取x=1,则y3,z=-1,则n=(1,3,-1). ???8分
显然m=(1,0,0)为平面ADE的一个法向量,
所以 cos〈m,n〉=m·n
|m|·|n|5
5.
分
由图形可知二面角B-AE-D为钝角,
所以,二面角B-AE-D的余弦值为-5
5
分
20.(Ⅰ)解:设动圆圆心P(x,y),半径为r
.
PA?r,PB?r?PA?PB??AB? 分
故点P的轨迹为椭圆,
2a?ac??c?
a2?3,b2?a2?c2?3?2?1. 故圆心P的轨迹方程为x2
3?y2?1.
分
?y?kx?
(Ⅱ)假设存在实数k,由?2
?x2得(1?3k2)x2?12kx?9?0.
??3?y2?1
由??(12k)2?36(1?3k2)?0得k2?1. 分
设直线y?kx?2与椭圆交于C(x1,y1),D(x2,y2),则
高二第一学期期末数学试卷(理科) 第8页 共8页 ???9???10???3???6???7
12k?x?x????121?3k2
① ???8??xx?9
12?1?3k2?
分
由以CD为直径的圆过坐标原点O,知 ????????OC?OD?OC?OD?0?xx?yy?0. ???91212
分
而y1y2?(kx1?2)(kx2?2)?k2x1x2?2k(x1?x2)?4,
x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?2k(x1?x2)?4?0.② 将①代入②整理可求得k2?13
3
分
k2?13
3?1,其值满足??0.
故k?
分
高二第一学期期末数学试卷(理科)第9页 共8页???11???12
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