【学习目标】
一、教学知识点
二、了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明；
3．运用对数的知识解决实际问题。
三、能力训练要求 会用logm
anb?mnlogN?1
ab，logalog等变形公式进行化简．
Na
【重点】对数换底公式的应用．
【难点】对数换底公式的证明及应用．对数知识的运用。
【学习探究】
一、知识巩固：
对数的运算法则
如果 a＞0，a ? 1，M＞0， N＞0有：
loga(MN)?logaM?logaN(1)
logM
aN?logaM?logaN(2)
logn
aM?nlogaM(n?R)(3)
二、引入公式
1.对数换底公式： loglogmN
aN?log( a＞0 ,a ? 1 ，m＞0 ,m
ma
证明：设 loga N = x , 则 ax = N．
两边取以m 为底的对数：logx
ma?logmN?xlogma?logmNN＞0)．? 1,
从而得：x?logmN
loga ∴ loglogmN
aN?log．
mma
2.两个常用的推论:
①logab?logba?1， logab?logbc?logca?1． ② lognn
amb?mlogab（a,b＞0且均不为1）． 证：①logab?logba?lgb
lga?lga
lgb?1；
②logbn?lgbn
lgam?nlgbammlga?n
mlogab．
三、【典型例题】
1 若a>0且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的是(
A．loglog1n
ax＝－x B．(logax)＝nlogax
C．(logn＝logn1ax)ax D．logax＝loga x
【答案】 A
例1 (1)设3x＝4y＝3621x＋y
(1)由已知分别求出x和y.
∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
由换底公式得：
x＝log3636
log31
logylog36361，
36363log364log364)
11∴log363，＝log364， xy
21∴2log363＋log364 xy
b已知log9?a，18?5，求log3645. 18（2）
∵log189＝a,18＝5，∴log185＝b.
log1845log18(9×5)∴log3645＝ log1836log18(18×2)
log189＋log185a＋ba＋b. 1＋log182182－a1＋log189b＝
练
1. 已知 log23?a， log37?b, 用 a, b 表示log4256． 解：因为log23 = a，则1?log32 , 又∵log37 = b, a
∴log 42 56?
例2 计算： log356log37?3?log32ab?3. ??log342log37?log32?1ab?b?1
7(1)log535－2log5＋log57－log51.8； 3
(2)2(lg2)＋lg2·lg5＋2)－lg2＋1； 27＋lg8－1 000(3)； lg1.2
(4)(lg5)＋lg2·lg50.
分析 利用对数运算性质计算． 222
9解 (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log55
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55 ＝2log55＝2.
2(2)原式＝2＋lg5)＋(lg2－1) ＝2(lg2＋lg5)＋1－lg2＝lg2＋1－2＝1.
33lg3＋3lg2223lg3＋6lg2－33(3)原式＝＝. lg3＋2lg2－12(lg3＋2lg2－1)2
(4)原式＝(lg5)＋lg2·(lg2＋2lg5)
＝(lg5)＋2lg5·lg2＋(lg2)＝(lg5＋lg2)＝1. 变式迁移2 求下列各式的值：
11(1)log535＋2－log5log514； 250
(2)÷log64.
解 (1)原式
12＝log5(5×7)－2log22＋log5(5×2)－log5(2×7) 2
＝1＋log57－1＋2＋log52－log52－log57＝2.
(2)原式＝÷log62
＝log62(log62＋log63＋1)÷(2log62)＝1. 22222
例3．设log34?log48?log8m?log416，求m的值． 解：∵log34?log48?log8m?log3m， log416?2
∴log3m?2，即m＝9．
变式迁移3 (1)设log34·log48·log8m＝log416，求m；
(2)已知log1227＝a，求log616的值．
lg4lg8lgm(1)·2， lg3lg4lg8
∴lgm＝2lg3，于是m＝9.
3lg3(2)由log1227＝a，得a， 2lg2＋lg3
2alg2lg32a∴lg3＝，∴＝3－alg23－a
4lg24∴log616＝ lg3＋lg22a13－a
4(3－a)3＋a＝
例4．计算：①51?log0.23, ②log2716． log34
解：①原式 = 5
5log0.23?
55log513?5?15． 3
②∵log2716?log3324?42log32，log34?log322?2log32， ∴原式＝． 33例5．已知logax=logac?b，求x．
分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式． 解法一： 由对数定义可知：x?alogac?b?alogc?ab?c?ab． a
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