2011-2016新课标(理科)圆锥曲线分类汇编
一、选择填空
【2011新课标】7. 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（B ）
（A
B
C）2（D）3
【2011新课标】14. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，
x2y2离心率为。过l的直线交于A,B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 ??1。 1682
3ax2y2
【2012新课标】4. 设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?上2ab
一点，?F2PF1是底角为30?的等腰三角形，则E的离心率为（C ）
(A)12?(B)(C) 23?(D)? ?
3
2c3? a4【解析】?F2PF1是底角为30?的等腰三角形?PF2?F2F1?2(a?c)?2c?e?
【2012新课标】8. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2?16x的准线交于A,B
两点，AB?；则C的实轴长为（ C）
(A)
(B)
(C)?(D)?
【解析】设C:x2?y2?a2(a?0)交y2?16x的准线l:x??
4于A
(?B(?4,?
得：a2?(?4)2?2?4?a?2?2a?4
x2y2 【2013新课标1】4. 已知双曲线ab＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2则C的渐近线方程为(C
)
14A、yx （B）yx13 （C）y12（D）y=±x
cb215c2a2?b2b1?【解析】由题知，?，即=2=，∴=，∴=，∴C的渐近线方程224aa2aa4a2
1为y??x，故选C. 2
x2y2
【2013新课标1】10、已知椭圆1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、abB两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(D )
x2y2x2y2x2y21A、45＋36＝1B、362712C、27＋18＝1 x2y2D、1891
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2=2，y1?y2=－2，
1
22x12y12x2y2?2?1①2?2?1② 2abab
(x?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0， ①－②得1
22ab
y1?y2b2(x1?x2)b2b210?11∴kAB==?2=2，又kAB==，∴2=，又9=c2=a2?b2， 3?12a2x1?x2a(y1?y2)a
x2y2
解得b=9，a=18，∴椭圆方程为??1，故选D. 18922
【2013新课标2】11. 设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( C )．
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
【解析】设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋
又点F的坐标为?pp＝5，则x0＝5－. 22p??p??,0?，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)?x??＋(y－y0)y＝0. 2??2??
y02将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4. 2
由y02＝2px0，得16?2p?5??
?p??，解之得p＝2，或p＝8. 2?
所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.
【2013新课标2】12. 已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( B )．
??1?1??11?11?????,?????32?D．?32? ? C
．?A．(0,1)B
．?
【2014新课标1】4. 已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ A ）
A. ?? D.3m
【解析】双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为
∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为
=， =0， ∴点F到C的一条渐近线的距离为．故选：A．
【2014新课标1】10. 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
7=4，则|QF|=（ B ） 5A. 22【解析】设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，
2
∴直线PF的斜率为﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2）， 与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．
【2014新课标2】10. 设F为抛物线C:y2?3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ D）
C. D. 324
【2014新课标2】16. 设点M（x0,1），若在圆O:x2?y2?1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是___[-1,1]_____.
x2
【2015新课标1】5. 已知M（x0，y0）是双曲线C：?y2?1上的一点，F1、F2是C上的两个2
焦点，若（A）（
?＜0，则y0的取值范围是（ A ） （B）（
（C）
（?
，）（D）
（?
，） 3333
【解析】
x2y2
【2015新课标1】14. 一个圆经过椭圆??1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标164
325准方程为(x?)2?y2?。 24
3【解析】设圆心为（a，0），则半径为4?|a|，则(4?|a|)2?|a|2?22，解得a??，故圆的2
方程为(x?)2?y2?3
225。 4
=【2015新课标2】7. 过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则
（ C ）
（A）2（B）8（C）4（D）10
【2015新课标2】11. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点
M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心
率为（）
（A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2
3
x2y2
【2016新课标1】5. 已知方程2??1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为m?n3m2?n
4，则n的取值范围是（ A ）
（A）(–1,3)（B）(–（C）(0,3) （D）(0,【解析】由题意知：m2?n?3m2?n?4，解得m2?1，??
选项正确.
【2016新课标1】10. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB
|=|
DE|=C的焦点到准线的距离为（ B ）
(A)2 (B)4(C)6 (D)8
【解析】令抛物线方程为y2?2px，D点坐标为（?
的半径为r?
2?1?n?0，解得?1?n?3，故A?3?n?0p，则圆
2 2，所以?2 p?4，
p2r?8??3，即A
4
故B选项正确.
4. 圆x2?y2?2x?8y?13?0的圆心到直线ax?y?1?0的距离为1， 【2016新课标2】则a=（A）43（A）?（B）?（C
D）2 34
2222【解析】圆x?y?2x?8y?13?0化为标准方程为：?x?1???y?4??4，
4
?，d故圆心为?1，?1，解得a??，故选A 4
3
x2y2
【2016新课标2】11. 已知F1，F2是双曲线E：2?2?1的左，右焦点，点M在E上，MF1与ab
x轴垂直，sin?MF2F1?1 ,则E的离心率为（ A ） 3
3（A
B）（C
D）
2 2
4
F1F2F1F2sinM ???．【解析】离心率e?
，由正弦定理得e?故选A．MF2?MF1MF2?MF1sinF1?sinF21?3
?x2??y2?【2016新课标3】11. 已知O为坐标原点，F是椭圆C:a＋b1(a＞b＞0)左焦点，A、B分别
为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（A）
1(A) 3 1(B) 2 2(C)3 3(D) 4
【2016新课标3】16. 已知直线l:mx＋y＝3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴并于C、D两点，若|AB|＝23，则|CD|＝___4____
二、解答题
【2011新课标】20. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA?AB = MB?BA，M点的轨迹为曲线C。
（1）求C的方程；
（2）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
【解析】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以
由题意得知（+）?=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2). =0,即（-x,-4-2y）?(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=12x-2. 4
(2)设P(x0,y0)为曲线C：y=
因此直线l的方程为y?y0?
则O点到l
的距离d?1211x-2上一点，因为y'=x,所以l的斜率为x0 4221x0(x?x0)，即x0x?2y?2y0?x2?0。 2又y0?212x0?2，
4
12x0?41??2, 所以，d?22当x0=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
【2012新课标】20. 设抛物线C:x2?2py(p?0)的焦点为F，准线为l，A?C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B,D两点；
（1）若?BFD?900，?ABD的面积为42；求p的值及圆F的方程；
（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m,n距离的比值。
5
【解析】（1）由对称性知：?BFD是等腰直角?，斜边BD?2p
点A到准线l
的距离d?FA?FB?
，S?ABD??
∴圆F的方程为x2?(y?1)2?8
2x0p（2）由对称性设A(x0,)(x0?0)，则F(0,) 22p1?BD?d??p?2 2
22x0x0p2点A,B关于点F对称得：B(?x0,p?)?p????x0?3p2
2p2p2
3pp?p3p?
0 )，直线m:y?x??x?得：A
,22px2x,)
x?2py?y??y????x?p?
切点P362pp332
直线n:y?p?x?x?p?0 6?3。 坐标原点到m,n
【2013新课标1】20. 已知圆M：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C。
（1）求C的方程；
（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
【解析】由已知得圆M的圆心为M（-1，0）,半径r1=1，圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设动圆P的圆心为P（x，y），半径为R.
（1）∵圆P与圆M外切且与圆N内切，∴|PM|+|PN|=(R?r1)?(r2?R)=r1?r2=4，
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2
(左顶
x2y2
点除外)，其方程为??1(x??2). 43
（2）对于曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|-|PN|=2R?2≤2，∴R≤2，当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.
∴当圆P的半径最长时，其方程为(x?2)2?y2?4，
当l的倾斜角为900时，则l与y轴重合，可得
|AB|=当l的倾斜角不为900时，由r1≠R知l不平行x轴，设l与x轴的交点为Q，则|QP|R=，可求|QM|r1 6
得Q（-4，0），∴设l：y?k(x?4)，由l于圆M
?1，解得k??
. 4
x2y2x代入?当k
y??1(x??2)并整理得7x2?8x?8?0，解得
43
x
1,2=
?4?18，∴
x1?x2|=.
77
1818
时，由图形的对称性可知|AB|=。综上，|AB|=或
|AB|=774
当k=
－
x2y2
【2013新课标2】20. 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2?2=1(a＞b＞0)
右焦点的直线
ab
1
x?y?0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
2
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值． 【解析】
y?y1x12y12x22y22
=?1， (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则2?2=1，2?2=1，2
ababx2?x1yb2?x2?x1?y?y1
??21=1. 因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，0?， 由此可得2
x02a?y2?y1?x2?x1
所以a2＝2b2. 又由题意知，M的右焦点为
0)，故a2－b2＝3.
x2y2
因此a＝6，b＝3. 所以M的方程为?=1.
63
2
2
??x?y??0,x??x?0,??2??2(2)
由?x解得或因此|AB|
. ??y?1,?y????y???
3?
6?3?
由题意可设直线CD的方程为y
＝x?n?设C(x3，y3)，D(x4，y4)．
??n?， ???y?x?n,?2222由?x得3x＋4nx＋2n－6＝0. 于是x3,4
. y
??1?
3?6
因为直线CD的斜率为1，所以|CD|
x4?x3|? 7
由已知，四边形ACBD
的面积S?1|CD|?|AB|?. 2.所以四边形ACBD
面积的最大值为. 33当n＝0时，S
取得最大值，最大值为
【2014新课标1】20. 已知点A（0，﹣2），椭圆E：
是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为
（1）求E的方程； +=1（a＞b＞0）的离心率为，F，O为坐标原点．
（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【解析】
（1）设F（c，0），∵直线AF的斜率为
又，∴，解得c=； ． ，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．
联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即
，
∴|PQ|=． = 时， =
设
∴，点O到直线l的距离d=＞0，则4k2=t2+3， ==1，当且仅当t=2，即．∴S△OPQ==， ，解得时取等号． 满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：
．
2y2【2014新课标2】20. 设F1,F2分别是椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左,右焦点，M是C上一ab
点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率； 4
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN?5F1N，求a,b.
8
【解析】
（1）根据
c1cc= 以及题设知解得a2，a=-2（舍去），故
b2中点，故，即b2
ab2M（c，a，2b2=3ac，将b2=a2-c2代入1C的离心率为2 2b2=3ac， （2）由题意，原点O的F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D是线段MF1的=4a①由 MN =5 F1N 得 DF1 = F1N
3c2 ?c?x =cx=?29c21设N（x，y），由题意可知y<0,则 即 代入方程C，得4ab=1 ② ?2y=2y=?1
将①以及c= a代入②得到
故a=7，b2=2
9 a2?4a 4a+4a=1，解得a=7，b2=4a=28， 1x2
【2015新课标1】20. 在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y?kx?a(a＞0)交与M,N4
两点，
（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。
【解析】
（1
）由题设可得Ma
)，N(?
a)，或M(?
a)，Na). x21∵y??x，故y?在x
=
C
在,a)处的切线方程为
24
y?ax?
?y?a?0. x2
故y?在x
=-处的到数值为
C
在(?,a)处的切线方程为
4
y?a?x?
?y?a?0.
?y?a?
0?y?a?0.
（2）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点，M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1,k2. 将y?kx?a代入C得方程整理得x2?4kx?4a?0.
∴x1?x2?4k,x1x2??4a.∴k1?k2?y1?by2?b2kx1x2?(a?b)(x1?x2)k(a?b)?==. ax1x2x1x2
当b??a时，有k1?k2=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN，所以P(0,?a)符合题意.
9
【2015新课标2】20. 已知椭圆C：9x2?y2?m2(m?0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
m（2）若l过点(,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，3
求此时l的斜率；若不能，说明理由。
【解析】
（1）设直线l:y?kx?b(k?0,b?0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM)．
将y?kx?b代入9x2?y2?m2得(k2?9)x2?2kbx?b2?m2?0， x1?x2kb9b??2，yM?kxM?b?2． 2k?9k?9
y9于是直线OM的斜率kOM?M??，即kOM?k??9． xMk故xM?
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
（2）四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线l过点(m,m)，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k?0，k?3． 3
9?y??x,9?OMP由(1)得的方程为y??x．设点的横坐标为xP．由?kk?9x2?y2?m2,? 得xP2k2m2，即xP? ?29k?
81mm(3?k)mk(k?3),m)的坐标代入直线l的方程得b?，因此xM?． 2333(k?9)
将点(四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分， 即xP?2xM．
?2?mk(k?3)．
解得k1?4
因为ki?0,ki?3，k2?43(k2?9)
i?1，2，所以当l
的斜率为4
4OAPB为平行四边形．
【2016新课标1】20. 设圆x2?y2?2x?15?0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（1）证明EA?EB为定值，并写出点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B
且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积
的取值范围.
【解析】
10
（1）圆心为A(?1,0)，圆的半径为AD?4，?AD?AC，
??ADC??ACD，又△ BE//AC，??ACD??EBD??ADC，
△ BE=ED，EA?EB?AD?4.
所以点E的轨迹是以点A(?1,0)和点B(1,0)为焦点，以4为长轴长的椭圆，
x2y2
即a?
2,c?1?b?E的轨迹方程为：??1. 43
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x?1MN?3，PQ?8，此时四边形MPNQ面积为12；
x2y2
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?k(x?1)，与椭圆??1联立得： 43
(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，则
8k24k2?12，x1?x2?，
x1?x2?3?4k23?4k2
MN?1?x2?
12(1?k2)? ?23?4k1直线PQ方程为y??(x?1)，即x?ky?1?0 k
所以圆心A(?1,0)到直线PQ
的距离为d?，
?PQ??
S四边形
MPNQ
?1112(1?k2)?MN?PQ???2223?4k 综上可知四边形MPNQ
面积的取值范围为
x2y2
?1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k?0)【2016新课标2】20. 已知椭圆E:?t3
的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（1）当t?4，AM?AN时，求△AMN的面积；
（2）当2AM?AN时，求k的取值范围.
【解析】
11
x2y20?， ?1，A点坐标为??2，（1）当t?4时，椭圆E的方程为?43
则直线AM的方程为y?k?x?2?．
?x2y2
?1??43联立?并整理得，3?4k2x2?16k2x?16k2?12?0 ?y?k?x?2????
8k2?6128k2?6AM??2? 解得x??2或x??，则3?4k23?4k23?4k2
AN?因为AM?AN，所以12?1?3?4??1???k?2123k? k
因为AM?AN，
k?01212?24，整理得?k?1?4k2?k?4?0， 3?4k3k?k??
1112?1442． 4k2?k?4?0无实根，所以k?1．所以
△AMN的面积为AM???223?4?492
（2）直线AM
的方程为y?kx?，
?x2y2
?1??22222t3 联立?并整理得，?3?tk?x?2x?tk?3t?0解得
x?
x??y?kx????AN?所以AM，所以 3k?k因为2AM?AN所以26k2?3k?． ，整理得，t?33k?k?2k
k2?1??k?2?6k2?3k??3， 因为椭圆E的焦点在x轴，所以t?3，即3整理得k?2．?0，
3k?2k?2
【2016新课标3】20. 已知抛物线C:y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A、B两点，交C的准线于P、Q两点，
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程。
1【解析】由题设F (20)，设l1:y＝a，l2:y＝b，则ab≠0，且
a2b2111a＋bA(2，a)，B(2b)，P(－2，a)，Q(－2，b)，R(2，2记过A、B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0
(1)由于F在线段AB上，故1＋ab＝0，记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
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k1＝a－ba－b1ab＝＝－b＝k2∴AR∥FQ 1＋aa－abab
111(1)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a||x1－|， 222
|a－b|S△PQF＝2∴x＝0(舍去)，x1＝1
设满足条件的AB的中点为E(x，y)
当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得
∴y2＝x－1(x≠1)
当AB与x轴垂直时，E与D重合，∴所求轨迹方程为y2＝x－1
a＋b2y＝x≠1)而2y， a＋bx－1
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