高中数学常用公式及常用结论大全
1. 元素与集合的关系
x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.
2.德摩根公式
CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.
3.包含关系
A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA
?A?CUB???CUA?B?R
2．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个.
3.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0);
(2)顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0);
(3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0).
4.充要条件
（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.
（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.
（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
5.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.
6.分数指数幂
(1)am
nnnnn?1
m
n（a?0,m,n?N，且n?1）. ?(2)a?mn?（a?0,m,n?N?，且n?1）. a
7．根式的性质（1
）n?a；（2）当n
?a；
当n
?|a|??
8．有理指数幂的运算性质
(1)a?a?a
rsrsrsr?s?a,a?0. ??a,a?0(a?0,r,s?Q). (2) (a)?a(a?0,r,s?Q).
1
(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q).
9.指数式与对数式的互化式 logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).
10.对数的换底公式
logaN?logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0). logma
n推论 logamb?nlogab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0). m
11．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)loga(MN)?logaM?logaN; (2) logaM?logaM?logaN; N
(3)logaMn?nlogaM(n?R).
12.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an). an??s?s,n?2?nn?1
13.等差数列的通项公式 an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；
其前n项和公式为sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n. 2222
n?114.等比数列的通项公式 an?a1q?a1n?q(n?N*)； q
?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??其前n项的和公式为sn??1?q 或sn??1?q.
?na,q?1?na,q?1?1?1
15.同角三角函数的基本关系式 sin??cos??1；tan?=
16.和角与差角公式 22sin?。 cos?
sin(???)?sin?cos??cos?sin?；cos(???)?cos?cos??sin?sin?； tan(???)?tan??tan?。 1?tan?tan?
asin??
bcos????)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决定,tan??b ). a
2
17.二倍角公式
sin2??sin?cos?；cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?； tan2??2tan?. 21?tan?
18.三角函数的周期公式
函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?2?
?；函数y?tan(?x??)，x?k???
2,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠
0，ω＞0)的周期T?
19.正弦定理
20.余弦定理 ?. ?abc???2R. sinAsinBsinC
a2?b2?c2?2bccosA；b2?c2?a2?2cacosB；c2?a2?b2?2abcosC.
21.三角形面积定理
111aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222
111（2）S?absinC?bcsinA?casinB. 222（1）S?
22.三角形内角和定理
在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)
?C?A?B???2C?2??2(A?B)。 222
23.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
24.向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
25．向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则a?b(b?0)?x1y2?x2y1?0.
26. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ．
27.平面向量的坐标运算
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2).
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2).
3
????????????(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).
(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).
(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2).
28.两向量的夹角公式
cos??
29.平面两点间的距离公式 (a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
????
d
A,B=|AB|??(x1,y1)，B(x2,y2)).
30.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则
A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0.
a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0.
31.常用不等式：
（1）a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）a,b?
R??22a?b?当且仅当a＝b时取“=”号)． 2
22222（3）柯西不等式 (a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.
（4）a?b?a?b.
32.最值定理
已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p；
（2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值
33.斜率公式 k?
34.直线的五种方程
（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．
（2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). 12s. 4y2?y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）. x2?x1
（3）两点式 y?y1x?x1?(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)). y2?y1x2?x1
4
(4)截距式 xy??1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?0) ab
（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).
35.两条直线的平行和垂直
(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2
①l1||l2?k1?k2,b1?b2;
②l1?l2?k1k2??1.
(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①l1||l2?A1B1C1； ??A2B2C2
②l1?l2?A； 1A2?B1B2?0
36.点到直线的距离
d?(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0).
37. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r.
22（2）圆的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0). 22222
?x?acos?x2y2
38.椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程是?. ab?y?bsin?
39．椭圆的的内外部
22x0y0x2y2
（1）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的内部?2?2?1. abab
22x0y0x2y2
（2）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的外部?2?2?1. abab
40.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?
AB??|x1?x2|?|y1?y2|A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程??y?kx?b2 消去y得到ax?bx?c?0，??0,?为直线?F(x,y)?0
5
AB的倾斜角，k为直线的斜率）.
x2y2
41.双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦半径公式 ab
a2a2
PF1?|e(x?)|，PF2?|e(?x)|. cc
42.双曲线的内外部
x2y2
(1)点P(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的内部?ab
x2y2
(2)点P(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的外部?ab
43.双曲线的方程与渐近线方程的关系 22x0y0?2?1. 2ab22x0y0?2?1. 2ab
x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为2?2?1?渐近线方程：2?2?0?y??x. aabab
x2y2x2y2
(2)若双曲线与2?2?1有公共渐近线，可设为2?2??（??0，焦点在x轴abab
上，??0，焦点在y轴上）.
44.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
45.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b?存在实数λ使a=λb．
46.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的?存在实数对x,y,使p＝xa＋yb．
47.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
48.向量的直角坐标运算
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则
(1)a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；
(2)a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；
(3)λa＝(?a1,?a2,?a3) (λ∈R)；
(4)a·b＝a1b1?a2b2?a3b3；
????????????49.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB?OB?OA= (x2?x1,y2?y1,z2?z1)。
50．空间的线线平行或垂直
6
?x1??x2rrrrrrrr?设a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则aPb?a??b(b?0)??y1??y2；
?z??z2?1
rrrra?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0.
51.空间两点间的距离公式
若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则
????
d
A,B=|AB|??.
52.球的半径是R，则 4?R3, 3
2其表面积S?4?R． 其体积V?
53．柱体、锥体的体积
柱体的体积V=Sh
1V锥体?Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）. 3
54.分类计数原理（加法原理） N?m1?m2???mn.
55.分步计数原理（乘法原理） N?m1?m2???mn.
56.排列数公式
m=n(n?1)?(n?m?1)=Ann！*.(n，m∈N，且m?n)． (n?m)！
注:规定0!?1.
57.组合数公式
Cm
n=Anmn(n?1)?(n?m?1)n！*==(n∈N，m?N，且m?n). m1?2???mm！?(n?m)！Am
58.组合数的两个性质
mmn?mm?1m(1)Cn=Cn ；(2) Cn+Cn=Cn?1。
0注:规定Cn?1.
59.二项式定理 (a?b)?Cna?Cna
二项展开式的通项公式 Tr?1?Cna
60.等可能性事件的概率 P(A)?rn0n1n?12n?22rn?rrnnb?Cnab???Cnab???Cnb； n?r1，2?，n). br(r?0，m. n
59.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
60.n个互斥事件分别发生的概率的和
7
P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)．
61.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
kkn?k62.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率 P. n(k)?CnP(1?P)
63.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）P（2）P,2,?)；i?0(i?11?P2???1.
64.数学期望 E??x1P1?x2P2???xnPn??
65.数学期望的性质 E(a??b)?aE(?)?b.
66.方差 D???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E???pn??
67.方差的性质 D?a??b??a2D?；
68.标准差 ??=D.
69. 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义
函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率222f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).
70.几种常见函数的导数
(1) C??0（C为常数）。(2) (xn)'?nxn?1(n?Q)。(3) (sinx)??cosx。
(4) (cosx)???sinx。(5) (lnx)??
(6) (ex)??ex; (ax)??axlna.
71.导数的运算法则 11ex；(loga)??loga。 xx
u'u'v?uv'
(v?0). （1）(u?v)?u?v.（2）(uv)?uv?uv.（3）()?vv2''''''
72.判别f(x0)是极大（小）值的方法
当函数f(x)在点x0处连续时，
（1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值；
（2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值.
73.复数的相等 a?bi?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R）
8
74.复数z?a?bi的模（或绝对值）|z|=|a?
bi|75.复数的四则运算法则
(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i;
(2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i;
(3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?ac?bdbc?ad?2i(c?di?0). 222c?dc?d
76．几个统计常量
（1）样本均值
. ;
（2）样本方差
.
;
9
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