实际问题与二次函数

一、求利润的最值

例1、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

22.（本题10分）某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的售价（1≤x≤100）为（x+30）元/件，而该商品每天的销量满足关系式y=200－2x.如果该商品第15天的售价按8折出售，仍然可以获得20%的利润.

（1）求该公司生产每件商品的成本为多少元；

（2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？

（3）该公司每天需要控制人工、水电和房租支出共计a元，若考虑这一因素后公司对最大利润要控制在4000元至4500元之间（包含

4000和4500），且保证至少有90天的盈利，请直接写出a的取值范围.

22．（本题10分）在一块矩形ABCD的空地上划一块四边形MNPQ进行绿化，如图，四边形的顶点在矩形的边上，且AN＝AM＝CP＝CQ＝xm．已知矩形的边BC＝200 m，边AB＝am，a为大于200的常数，设四边形MNPQ的面积为s m2

(1) 求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围

(2) 若a＝400，求S的最大值，并求出此时x的值

(3) 若a＝800，请直接写出S的最大值

22．（本题10分）如图所示，学校准备修建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛是轴对称图形），矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的高AM＝3米，∠ABC＝60°．设AE＝x米（1≤x≤2），矩形EFGH的面积为S米2．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）学校准备在矩形内种植红色花草，在四个三角形内种植绿色花草．已知：红色和绿色植物的价格为200元/米2、100元/米2．当x为何值时，购买花卉所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）．

22．（本题10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AB＝8，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在PQ的右侧作正方形PQMN．设AP＝x．记PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为S

（1）当点N与点D重合时，求x的值

（2）当点N在射线DB上时，求S与x的函数关系式，并求S的最大值

（3）在（2）的条件下，当s≥

3时，请直接写出x的取值范围 4

22．（本小题满分10分）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过

市场调查发现，这种商品在未来40天内的日销售量Q（件）与时间t（天）的关系为Q＝－2t＋96(1≤t≤40)，未来40天内，每天的价格P（元/件）

?1t＋25 (1≤t≤20) ??4与时间t（天）的函数关系式为：P＝?，t取整数． 1?－t＋40 (21≤t≤40)??2

（1）求销售利润W（元）与时间t（天）的函数关系式；

（2）请预测未来40天中哪一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件商品就捐赠a元（a为定

值）利润给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，第18天的

时候，扣除捐赠后日销售利润为这20天中的最大值，求a的值．

22．（本小题满分10分）如图，一面利用墙，用篱笆围成一个外形为矩形的花圃，花圃的

面积为S平方米，平行于院墙的一边长为x米．

（1）若院墙可利用最大长度为10米，篱笆长为24米，花圃中间用一道篱

笆间隔成两个小矩形，求S与x之间函数关系；

（2）在（1）的条件下，围成的花圃面积为45平方米时，求AB的长．能

否围成面积比45平方米更大的花圃？如果能，应该怎么围？如果不

能，请说明理由；

（3）当院墙可利用最大长度为40米，篱笆长为77米，中间建n道篱笆间

隔成小矩形，当这些小矩形为正方形，且x为正整数时，请直接写出一

组满足条件的x,n的值．

22．（本题10分）某商场要经营乙种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件

（1）直接写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．

（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；

（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案，方案甲：该文具的销售单价不低于25元且不高于30元；方案乙：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元，请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

22．（本题10分）某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的售价（1≤x≤100）为（x＋30）元/件，而该商品每天的销量满足关系式y＝200－2x．如果该商品第15天的售价按8折出售，仍然可以获得20%的利润

（1）求该公司生产每件商品的成本为多少元；

（2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大?最大利润是多少？

（3）该公司每天需要控制人工、水电和房租支出共计a元，若考虑这一因素后公司对最大利润要控制在4000元至4500元之间（包含4000和4500），且保证至少有90天赢利，请直接写出a的取值范围．

22、（本题10分）为鼓励大众创业，万众创新，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．

（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

22．（本题满分10分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：

（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？

（2

）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？

（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y?a(x?3)?k，用含a的代数式表示k．

22．(本小题10分）某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y（（2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10~30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

22.(本题10分）为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形ABCD空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形MNQP上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求AM=AN=CP=CQ.已知BC=24米，AB=40米，设AN=x米，

种花的面积为y1米平方米，草坪面积y2平方米。

（1）分别求y1和y2与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）。

（2）当AN的长为多少米时种花的面积为440平方米?

（3）若种花每平方米需200元铺设草坪每平方米需100元现设计要求种花的面积不大于440平方米那么学校至少需要准备多少元费用.

22．（本题10分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x

y元

(1) 求出y与x的函数关系式

(2) 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

(3) 该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于3250元？请直接写出结果.

22. (本题10分)某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装，专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）.已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店支付员工的工资为每人每天82元，每天还应该支付其它费用为106元（不包含债务）.

（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；

（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收入=支出），求该店员工的人数；

（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元?

第22题图

22. (10分)如图，某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地

ABCD，其中AB∥DC，∠B=90°，AB=100m，BC=80m，CD=40m，

现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN，其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36m．

(1)设PA=Xm，求S关于X的函数关系式，并指出自变量X的取

值范围；

（2）若S=2800m2，求PA的长．

（3）当x的值为多少时，S的值最大，最大值为多少？

22. (10分)如图, 矩形ABCD的两边长AB＝30cm, AD＝6cm, 点P、Q分别从A、B

同时出发, P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动, Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动, 设运动时间为x秒, △PBQ的面积为Scm2.

(1) 求S关于x的函数关系式, 并写出x的取值范围;

(2) 求S的最大值, 并求出此时x的值.

22．（本题10分）某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润y2与投资量x

成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）

(1) 分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式

(2) 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和数目共获利利润W万元，直接写出W关于m的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

(3) 若该专业户想获利不低于22万，在(2)的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m的范围

22．（本题10分）某宾馆有30个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天120元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于210元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．

（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

22．（本题10分）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：

①该产品90天内日销量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表

②该产品90天内销售价格（元/件）与时间（第x天）的关系如下表 (1) 求m关于x的一次函数表达式

(2) 设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天

的销售利润最大？最大利润是多少

【提示：每天销售利润＝日销售量×（每件销售价格－每件成本）】

(3) 在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果

22．（本题10分）某公司要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面

的A处安装一个喷头向外喷水，连喷头在内，柱高为0.8m，如图建立直角坐标系，水流喷出的

高度y（m）与水面距离x（m）之间的函菁优网数关系式为y＝﹣x2＋2x＋

(1) 喷出的水流距水平面的最大高度是多少

(2) 如果不计其它因素，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内

(3) 若水流喷出的抛物线形状与(2)相同，喷头距水面0.35米，水池的面积为12.25π平方米，要

使水流最远落点恰好落到水池边缘，此时水流最大高度达到多少米 45

22．（本题10分）某店因经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金，“中国梦想秀”节目组决定借给该店30000元美金，约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务），该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系y＝－2x＋140

(1) 若该店暂不考虑偿还债务，当模特的销售价比进价上浮20% 时，当天正好收支平衡（收入等于支出），求该店员工的人数

(2) 在(1)的员工人数不变的条件下，当售价为多少时，日销售利润为98元，并求此时的利润率

(3) 若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时的售价是多少

22．（本题10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6 m，BC＝8 m，动点P以2 m/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时点Q以1 m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动．设P、Q两点移动时间t（0＜t＜5）s后，△PCQ和四边形ABQP的面积分别为S1m2、S2m2

(1) 求面积S1与时间t的函数关系式

(2) 若S1∶S2＝1∶9，求t的值

(3) 点P运动到何处时S2到达最小？并求出最小值

22. （本题10分）如图矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E在AD上，AE=5，F在CD上，

CF=a，（0＜a＜6）G为线段EF上一动点，﹙不与端点重合﹚过G点做HN

⊥AB于

H，GQ⊥BC于Q，﹙N在DC上﹚设GN=x，矩形HBQG的面积为S。

(1) 求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围