泰勒展开式在高考题中的应用
河北正定中学（050800）温绍雄
高中数学中函数导数部分占据了重要的位置,高考试题中函数导数题往往也是以难题、压轴题形式出现.如何应对函数导数难题？高等数学中有一些知识、方法与中学数学相通,本文针对一类函数导数问题借助高等数学中的泰勒展开式解决该类初等数学问题. 如果函数f(x)在定义域I上有定义,且有n?1阶导数存在,x,x0?I,则
f?(x0)f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)?...?(x?x0)n?Rn?1, 1!2!n!
f(n?1)(?)其中Rn?1?(x?x0)n?1,其中?介于x和x0间.上式即为函数f(x)在x0点处的泰(n?1)!
勒展开式.[1]
nx2x3
n?1x??...?(?1)?Rn?1. 令f(x)?ln(x?1),x0?0,有ln(x?1)?x?23n
x2
上式可以进行放缩,比较ln(x?1)和x、x?的大小, 2
x2
?ln(x?1)?x,(x?0). （*） 可以得到不等式：x?2
下面证明该不等式.
x21?x2
?ln(x?1)??0,(x?0),则h(x)在证明：设h(x)?x?,h?(x)?1?x?2x?1x?1
x2
[0,??)单调递减,?h(x)?h(0)?0,即有x??ln(x?1),当x?0时取等号. 2
设f(x)?ln(x?1)?x,f?(x)?1?x?1??0,(x?0),则f(x)在[0,??)单调递减, x?1x?1
?f(x)?f(0)?0,即有ln(x?1)?x,当x?0时取等号.
x2
?ln(x?1)?x,(x?0),当x?0时取等号. 综上所述,有不等式：x?2
如图所示：
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