2.1.2 指数函数及其性质
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·必修1》（人教A版）第二章
第一节的第三课时《指数函数及其性质》.
一、教学背景分析
1.教学内容分析
指数函数是高中生在学习了函数的概念及性质后学习的第一个具体的函数.指数函数的学习，一方面可以进一步深化对函数概念的理解，另一方面也为研究对数函数、幂函数、三角函数等基本初等函数打下基础.
本节课的教学内容是指数函数及其性质.通过实际情境的设置，学生体验从实际问题中抽象概括出指数函数的概念；学生经历自主探究，从中感悟指数函数的图象与性质，这是本节课的一条明线；在探索指数函数性质的过程中，学生体验研究函数的基本方法，是本节课的一条暗线，也是今后研究函数的主线.
2.学生学情分析
在初中，学生研究过一次函数、二次函数、反比例函数等具体的函数，能借助列表、描点的方法作图，通过观察图象，获得对函数基本性质的直观认识.
到高中，学生学习了用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系——函数的概念，在此基础上讨论了研究函数性质的一般方法.到了第二章的学习中，学生完成了指数取值范围的扩充，具备了进行指数运算的能力.为本节课的学习奠定了基础.
二、教学目标设置
基于以上分析，根据本节课的教学内容、课程标准的要求和学生的实际情况，确定本节课的教学目标为：
（1）知识与技能
①了解指数函数的实际背景，体会建立一个函数的基本过程和方法； ②体会研究一个函数的基本方法；
③理解指数函数的概念、图象与性质.
（2）过程与方法
①在实际问题中，抽象出指数函数的概念，认识数学与现实生活及其它学科的联系.
②能借助计算器画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会研究具体函数的过程和方法，如从具体到抽象的研究过程，数形结合的方法.
（3）情感态度与价值观
在探究活动中，通过独立思考与合作交流，发展思维，养成良好的思维习 惯，提升自主学习能力.
教学重点：指数函数的概念和性质.
教学难点：建立指数函数的概念，探究指数函数的性质.
三、教学策略分析
为了更好的突出教学重点，一方面，我引导学生讨论底数的取值范围，关键在于帮助学生认识底数取值范围的合理性.这样指数函数概念的形成经历了由特殊到一般，由具体到抽象的渐进过程，更加符合学生的认知规律.另一方面，引导学生先明确研究函数的内容与方法，从整体上把握研究函数的方向，在此基础上，给予学生充分的时间，让学生经历独立思考、同学讨论的探究过程，归纳出指数函数的性质.
为了突破难点，我采取了以下措施：首先，我让学生在一个自己认为可以的范围内任取底数a 的值，然后作出图象，用形的直观引导学生主动的分析a的范围，再结合上节课指数的运算来帮助学生分析a的范围，这不仅为概念的形成做好准备，其分析过程中形数互助的方法也为接下来探究指数函数的性质做好了铺垫.而对于指数函数性质的探究，借助图形计算器的作图和游标，及其对函数图象能进行直接操作的优越性，例如函数图象变化的动态演示，重复引起变化的关键因素等等，可以使学生方便地观察函数的整体变化情况，为归纳、概况指数函数的性质及不同函数之间的联系做好准备，进而突破难点.
另外，整个教学过程中，教师都可以通过“截取班级”及时看到学生在图形计算器上的操作，有利于及时了解学生的想法和困难.
四、教学过程的设计与实施
（一）建立指数函数概念
问题1 请你想一想，这两个函数的结构有什么共同特征？
①设x年后我国的GDP为2000年的y倍，那么：
y
?1.073x (x?N*,x?20)
②生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系 ：
t15730P?()2 (t?0)
追问 如果用字母来代替数，那么这样的函数可以更一般地表示为什么？
【设计意图】考虑到知识间的联系，以本章开篇的两个例子为出发点，找出两个函数表达形式上的共同特征——底数是常数而指数是自变量，进而提炼出指数函数模型y?ax.
对于这类函数来说，自变量是x且自变量出现在指数位置上，底数是a.为了使y?ax更具有代表性，应用更广泛，自变量x可以取全体实数.这时，以上两个例子的不同之处就在于底数不同，那么你认为底数a可以取哪些值呢？画几个图象看看！
活动1 通过画几个具体函数图象，看a的取值情况.
【设计意图】结合上一节课指数与指数幂的运算，引导学生分析y?ax的底数a的范围.底数不能为负数对于学生自己发现是困难的，因此借助图形计算器，让学生画出几个图象，通过形的直观来引领学生思考，再用数的运算来帮助分析原因.
引入课题：这就是我们今天要研究的2.1.2 指数函数及其性质. 引出课题并板书指数函数的概念：
一般地，函数y?ax（a?0且a?1）叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.
（二）探究指数函数性质
建立了一个函数，接下来就要来探究这个函数的性质.
问题2 你打算怎样研究指数函数的性质呢？
问题3 我们一般要研究哪些性质呢？
下面大家开始探究指数函数的性质.
活动2 探究指数函数的性质.
【设计意图】
1.引导学生讨论研究指数函数性质的方法，思考需要研究函数的哪些性质，强调形数互助.进而突出函数图象在研究性质中所起到的直观的作用.
2.指数函数的图象是讨论它的性质的重要载体.借助图形计算器的画图功能，可以非常直观的观察、归纳指数函数的性质.
问题4 几个具体函数所具有的特征能代表这类函数的共同特征吗？
（视学生情况，教师提示：为了探究这类函数的共同特征，借助计算器的游标功能让a取遍大于0且不等于1的所有实数.）
活动3 借助计算器的游标功能，画出以a为底指数函数图象，进一步探究指数函数的性质.
【设计意图】
1.经历从具体到一般地研究函数性质的方法，通过独立思考和交流讨论，概括出指数函数的性质，培养学生的表达能力.
2.借助图形计算器的作图和游标，及其对函数图象能进行直接操作的优越性，例如函数图象变化的动态演示，重复引起变化的关键因素等等，可以使学生方便地观察函数的整体变化情况.这对于学生归纳、概括函数的性质及不同函数之间的联系与区别非常有利.
利用图形计算器便于探究指数函数的性质，如果不用图形计算器等多媒体工具怎么办？
活动4 动笔画出两个指数函数的图象，在画图中进一步体会指数函数的性质.
【设计意图】会用描点法画指数函数的图象，在画图中进一步体会指数函数的性质.
（三）应用指数函数知识
例1 已知指数函数f(x)?ax（a?0且a?1）的图象经过点(3,?)，求f(0)，f(1)，f(?3). OyyO【设计意图】利用待定系数法求指数函数的解析式，通过求函数值，再次体会指数函数中的对应关系.
例2 比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5，1.73；
（2）0.8?0.1，0.8?0.2；
（3）1.70.3，0.93.1.
【设计意图】例2通过构造指数函数回到指数函数的性质中，体会利用指数函数的单调性可以判断相应函数值的大小关系，加深对指数函数性质的理解.
（四）课堂小结与布置作业
1.课堂小结（视时间对以下三个问题，请学生自由发言进行总结或教师总结） ①本节课你学习了哪些知识？
②回顾一节课的研究过程，我们是怎么研究的？
③你还有什么问题吗？
2.布置作业
【设计意图】从以上两个方面让学生回顾这堂课的探究过程，总结提升.
“指数函数”点评
1.总体评价
众所周知，指数函数是高一学生学习了函数的概念、图象与性质后学习的第一个新的初等函数，它是用来刻画呈指数增长或衰减变化规律的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，同时，对我们研究函数的一般方法、建构数学概念的“基本套路” 提供了又一次的教学实践.本节课按照“情景引入，归纳共同特征，得出定义→探究指数函数性质→指数函数简单应用”，通过图形计算器的加入，学生在问题的引导下开展自主探究，学生的参与度很广，学习的积极性很高，本节课无论是概念的得出，还是函数性质的探究、以及知识的应用，每一个环节都显得大气而平实，连贯而自然.
2.图形计算器的加入，使得概念的教学生动翔实
概念的教学最突出的特点是先讨论如何构建研究思路，然后放手让学生自主探索并归纳概括，在学生充分交流的基础上教师再适时介入.本节课，谷老师正是按照这个理念进行的，教学过程中，始终围绕概念的核心展开，尤其是图形计算器的加入，让学生作出一些图象，通过形的直观来引领学生思考，再用数的运算来帮助分析原因，学生有了充分的活动空间和时间，对以往缠绕在我们心中是否对底数的限制进行探讨的问题，就可以迎刃而解了.
3. 图形计算器的加入，更加放手让学生去探究指数函数的性质
借助图形计算器的作图和游标功能，及其对函数图象能进行直接操作的优越性，例如函数图象变化的动态演示，重复引起变化的关键因素等等，可以使学生更加方便地观察函数的整体变化情况.这对于学生归纳、概括函数的性质及不同函数之间的联系与区别非常有利.教师先提出两个问题，即“问题2你打算怎样研究指数函数的性质呢？”和“问题3我们一般要研究哪些性质呢？”在问题的引领下，学生利用图形计算器就开始了对指数函数性质的研究.整个课堂紧张而有序，活泼而不乱，经历了从具体到一般地研究函数性质的方法，通过学生独立思考和交流讨论，概括出指数函数的性质，培养了学生的表达能力.
当然，本节课如果再放开一些让学生去探究，可能会让学生觉得更有成就感.
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