2011年广州市高二数学竞赛试题

2011年广州市高二数学竞赛试题

2011．5．15

考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；

⒉不准使用计算器；

⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数f?x??x3?sinx?1?x?R?，若f(a)?2，则f(?a)的值为()．

A．?2 B．?1C．0D．1

2．已知数列{an}的通项公式an?log2nn?N*?,设其前n项和为Sn，则使Sn??4成立的自然数n有（ ）． ?n?1

A．最大值15B．最小值15 C．最大值16 D．最小值16

3．如图所示的程序框图，若输入n?5，则输出的n值为（）．

4．设a?sin(sin2011o),b?sin(cos2011o),c?cos(sin2011o)，则a,b,c的大小关系是 ( )．

A．a?b?cB．b?a?c

C．c?b?aD．c?a?b

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．

5．若过定点M??1,0?且斜率为k的直线与圆x?4x?y?5?0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围22 C．?1 A．3 B．1D．?3

是*．

P，则点P到点A的距离不大于1的概率为． 6．在棱长为1的正方体ABCD?A1BC11D1内任取一点

7．在?ABC中，M是BCAM?1，点P在AM上且满足AP?2PM，则PA?PB?PC等于 *．

8．在△ABC中，若tanAtanB?1，则sin?C?

9．在R上定义运算?:x?y?x(1?y).若不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x成

立，则a的取值范围是* ．

?????*． 12???

10．面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai?i?1,2,3,4?，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为

4a1a2a3a42S． hi(i?1,2,3,4)，若????k，则?(ihi)?1234ki?1

类比以上性质，体积为V三棱锥的第i个面的面积记为Si(i?1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离

4S1S2S3S4????K，则?(iHi)? * ． 记为Hi(i?1,2,3,4)，若1234i?1

三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

11．（本小题满分15分）

已知向量a??sinx,cosx?，b??6sinx?cosx,7sinx?2cosx?，设函数f?x??a?b?2．

（1）求函数f?x?的最大值，并求取得最大值时x的值；

（2）在A为锐角的?ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若f?A??4且?ABC的面积为3

，

b?c?2?a的值．

12．（本小题满分15分）

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD

AC＝AD＝CD＝DE＝2a，AB＝a，F为CE的中点． （1）求证BF⊥平面CDE；

（2）求多面体ABCDE的体积；

（3）求平面BCE和平面ACD所成的锐二面角的大小．

13．（本小题满分20分）

x2y2

已知椭圆2?2?1（a?b?0）的右焦点为F2(3,0)，离心率为e． ab

（1）若e?，求椭圆的方程； 2

（2）设直线y?kx与椭圆相交于A，B两点，M,N分别为线段AF2,BF2的中点． 若坐标原点O在以MN为

直径的圆上，且

，求k的取值范围． ?e?22

14．（本小题满分20分）

设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk3??Sk?成立．

15．（本小题满分20分）

定义在R上的函数f(x)?

（1）求a、b的值；

（2）设曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线l与y轴的交点为(0,t)，求实数t的取值范围．

3x?b(a,b?R且a?0） 是奇函数，当x?1时，f(x)取得最大值． 2ax?1

2011年广州市高二数学竞赛试题

参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生

的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，

可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：每小题6分，满分24分．

1．C 2．D 3．C 4．B

二、填空题：每小题6分，满分36分．

5．05 6．

简答与提示： ???43V?13? 7．? 8

9．??? 10． 9K6?22?

4．因为2011o?5?360o?180o?31o，

所以a?sin(?sin31o)??sin(sin31o)?0，b?sin(?cos31o)??sin(cos31o)?0，

c?cos(?sin31o)?cos(sin31o)?0，

又因为0?sin31o?cos31o?1，所以b?a?c，选（B）．

三、解答题：满分90分．

11．解：（1）f?x??a?b?2?sinx?6sinx?cosx??cosx?7sinx?2cosx??2

?6sinx?8sinxcosx?2cosx?2… 22

1?cos2x?4sin2x??1?cos2x? 2

?4sin2x?

4cos2x

?????2x??． 4??

??3?（k?Z）时， ?当2x??2k??，即x?k??428

f?x

?有最大值为 ?6

（2）?

f?A??4，??2A??

??????．可得：?4sin2A?????4?

4??

?????2A??A?，，解得． ?444? ?A??0,???3????，?2A????,?42?44??

?

S?ABC?1bcsinA??3，可得bc?．

24

?b?c?2?

a2?b2?c2?2bccosA

2??b?c??2bc?2bccosA

??

2?2?2?2?cos?

4?10，

?a?

12．（1）证明：取CD的中点G，连AG，FG， 则有FG∥AB∥1＝＝2DE．∴AG∥＝BF．

又△ACD为正三形，∴AG⊥CD．

又DE⊥平面ACD，

∴FG⊥平面ACD，

∴FG⊥AG．

∴AG⊥平面CDE．

∴BF⊥平面CED．

（2）解：VABCDE?VB?ACD?VB?CDE

?13CD2?AB?1

3?1

2?DE?CD?

BF

?13?2a?2?a?1

3?1

2??2a???

2a?

?33?33?3．

（3）解：由（1）知AB∥1＝2DE，

延长DA，EB交于点P，连PC，

则可证得A，B分别为PD，PE的中点，

∴PC∥BF∥AG，

∴PC⊥平面CDE．

∴∠DCE为平面BCE和平面ACD所成二面角的平面角．又∠DCE＝45°，

所以平面BCE和平面ACD所成的锐二面角为45°．

?

13．解：（1

）由题意得?c?3

?ca??

a?

?结合a2?b2?c2，解得a2?12，b2?3． 所以，椭圆的方程为x2y2

12?3?1．

?

（2）由?x2

?a2?y2b2?1, 得(b2?a2k2)x2?a2b2?0． ??y?kx,

设A(x1,y1),B(x2,y2)， 所以x?0,xa2b2

1?x21x2??b2?a2k2， 2xk2a2b2

进而y1y2?k1x2??b2?a2k2．

因为点M、N的坐标分别为M?

依题意OM?ON，

所以kOM?kON??1，即?3?x1y1??3?x2y2?,?、N?,?， 2?2??2?2y1y?2??1． 3?x13?x2

a2b2(1?k2)?9?0， 即y1y2?x1x2?9?0，即?22ak?b2

a2(a2?9)(1?k2)因为b?a?c?a?9，所以 ?22?9?0． 2ak?(a?9)2222

a4?18a2?818181??1???1?将其整理为k?． 242422?a?18aa?18a?a?9??812

因为232，所以?a?12?a?18． ?e

?22

2所以k?

??1???，即k????,． ???8????

14．解：设无穷等差数列{an}的公差为d， 则Sk?ka1?k(k?1)?dd???d?k?k??a1???， 22????2

?d3?d??k??a1???， 2????2所以Sk3?k?3

且?Sk?332332??dddddd?dd?????????3323 ?k?k??a1????k?k?3??a1??k?3??a1??k??a1???． 4?2?2?2?2??2?????8??2?

因为Sk3??Sk?对于一切正整数k都成立， 3

?d3d?8?2,

?2d?3d(a?)?0,??412所以??3d(a?d)2?0,?212??(a1?d)3?a1?d.??22①② ③④

由①，可得d?0或d??2．

当d?0时，由④得a1?0，或a1??1，且同时满足②③．

d?1，且同时满足③④． 2

d当d??2时，由②得a1???1，且同时满足③④． 2当d?2时，由②得a1?

综上所述，共有5个满足条件的无穷等差数列：

①{an}：0,0,0,???；

②{an}：1,1,1,???；

③{an}：?1,?1,?1,???；

④{an}：1,3,5,???；

⑤{an}：?1,?3,?5,???．

15．解：（1）∵函数y?f(x)是奇函数，

∴f(x)??f(?x)， 即x?b?x?b， ??22ax?1a(?x)?1

x?bx?b?对于任意x?R都成立． 22ax?1ax?1

x∴b?0．∴f(x)?2． ax?1

x若a?0， 则函数f(x)?2的定义域不可能是R， 故a?0． ax?1化简得

当x?0时，f?x??0；

当x?0时，f?x?

?x

ax2?1?1

ax?x?

?

当且仅当ax

?1即x?时，f?x?

x

?1， 即a?1． x……①， x2?1（2）依题意得f(x)?

1?x2

……② f'(x)?22(1?x)

又∵曲线f(x)?x在(x0,f(x0))处切线方程为 x2?1

y?f(x0)?f'(x0)(x?x0)，

切线与y轴交于点(0,t)，

∴t?f(x0)?f'(x0)(0?x0)，化简得t??x0f'(x0)?f(x0)，

32x0①②代入化简得t?,x0?R．

22(1?x0)

222326x0(1?x0)?2x0?2(1?x0)?2x0又∵t'? ?222[(1?x0)]0令t'

?0，解得x0?，列表如下

32x

?0．

当x0?0时，t?22(1?x0)

32x0∴x0?时，函数t?,x0?R取得唯一的极大值，也是最大值．

22(1?x0)

tmax

??1??????2?322?．、 8

32x0?0 当x0?0时，t?22(1?x0)

32x0∴x0?时，函数t?,x0?R取得唯一的极小值，也是最小值． 22(1?x0)

tmin???1???????2?322??． 8

∴t的取值范围是??

?． 8??8

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