第1章 信号与系统的概述
1.1 学习要求
（1）了解信号与系统的基本概念与定义，会画信号的波形；
（2）了解常用基本信号的时域描述方法、特点与性质，并会灵活应用性质；
（3）深刻理解信号的时域分解、运算的方法，会求解；
（4）深刻理解线性是不变系统的定义与性质，会应用性质求解系统
1.2 本章重点
（1）基本的连续时间信号的时域描述和时域特性；
（2）单位冲激信号的定义、性质与应用；
（3）信号的时域运算及其综合应用；
（4）线性时不变系统的性质与应用。
1.3 本章的知识结构
1.4 本章的内容摘要
1.4.1信息、消息和信号的概念
所谓信息，是指存在于客观世界的一种事物形象，一般泛指消息、情报、指令、数据和信号等有关周围环境的知识。
消息是指用来表达信息的某种客观对象，如电报中的电文、电话中的声音、电视中的图像和雷达探测的目标距离等等都是消息。
所谓信号，是指消息的表现形式，是带有信息的某种物理量，如电信号、光信号和声信号等等。 信号代表着消息，消息中又含有信息，因此信号可以看作是信息的载体。
1.4.2信号的分类
以信号所具有的时间函数特性来加以分类，可以将信号分为确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号、实信号与复信号等等。
1.4.3 常用信号
（1）正弦型信号
f(t)?Acos(?t??) (1-3)
（2）指数信号
f(t)?Aest (1-8)
（3）矩形脉冲
f(t)????1t??/2
??0t??/2
（4）三角脉冲
?2
f(t)???1?tt??/2 (1-18)
???0t??/2
（5）抽样信号
Sa(t)?sint
t(1-19)
性质：
（1）Sa(?t)?Sa(t)，偶函数
（2）t?0,Sa(t)?1，即limt?0Sa(t)?1
（3）Sa(t)?0,t??nπ，n?1,2,3?
（4）??sinttdt?π
2，??sint
0??tdt?π
（5）tlim???Sa(t)?0
该函数的另一表示式是辛格函数，其表示式为sinc(t)?sin?t
?t (1-20)
(6) 斜变信号
f(t)???0t?0
?tt?0 (1-24)
（7）单位阶跃信号
?0t?0 u(t)???1t?0
或
?0t0?0 u(t?t0)??1t?00?
如果矩形脉冲对于纵坐标左右对称，则可用GT(t)
GT(t)?u(t?TT)?u(t?) 22
下标T表示其矩形脉冲宽度。利用阶跃信号还可以表示符号函数。符号函数定义如下：
?1t?0sgn(t)????1t?0
（8）单位冲激信号
??????(t?t0)dt?1??????(t?t0)?0 ?t?t0?
冲激函数的性质
a抽样特性（筛选特性）若普通信号在t?0点或t?t0处是连续的，则有
?
或 ????(t)f(t)dt???(t)f(0)dt?f(0)??(t)dt?f(0) ??????
??
???(t?t0)f(t)dt???(t)f(t0)dt?f(t0)??(t)dt?f(t0) ??????
它表明冲激函数通过与普通函数乘积的积分可将普通函数在冲激出现时刻的函数值抽取出来，故称其具有抽样性质。
b偶函数性质
?(t)??(?t)
c冲激函数的尺度特性 ?(at)?
冲激函数和阶跃函数的关系 1?(t)a
?t
???(?)d??u(t)
du(t)??(t) dt
（9）冲激偶函数
冲激函数的微分为具有正、负极性的一对冲激（其强度无穷大），称作冲激偶函数，并且以?(t)表示。 冲激偶函数的性质： '
?
?
??????'(t)f(t)dt??f'(0) ?'(t?t0)f(t)dt??f'(t0) ?'(t)dt?0 ???
??
f(t)?'(t)?f(0)?'(t)?f'(0)?(t)
1.4.4信号的基本运算
（1）相加s(t)?f1(t)?f2(t)
（2）相乘p(t)?f1(t)?f2(t)
（3）时移f(t)?f(t??)，其中?为常数。
（4）反褶f(t)?f(?t)， （5）尺度变换f(t)?f(at)
（6）微分y(t)?
（7）积分y(t)?df(t)?f'(t) dt?t
?f(?)d??f(?1)(t)
1.4.5信号的分解
(1) 直流分量和交流分量
设原信号为f(t)，分解为直流分量fD与交流分量fA(t)，则原信号可表示为
f(t)?fD?fA(t)
（2）偶分量和奇分量
fe(t)?fe(?t) fo(t)??fo(?t)fe(t)?1[f(t)?f(?t)] 2
1 fo(t)?[f(t)?f(?t)] 2
信号的平均功率=偶分量功率+奇分量功率
（3）脉冲分量
一个信号可以近似地分解成冲激脉冲分量之和的形式。常用的分解方式为：矩形脉冲分量和阶跃信号分量的叠加。
（4）实部分量和虚部分量 * fr(t)?[f(t)?f(t)]2
* jfi(t)?2[f(t)?f(t)]
（5）信号的正交分解
假设用正交函数集g1(t),g2(t),?gn(t)在区间(t1?t?t2)近似表示f(t)
f(t)??crgr(t)
r?1n
方均误差为
1?2?t2?t1
令n趋于无限大，有lim?n??2?t2t1n?2?f(t)?cK?rr?dt ?r?1??2?0，则称此函数集为完备正交函数集。
1.4.6 系统的概念
（1）系统的定义
所谓系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有稳定功能的整体。
（2）系统模型
（a）输入-输出描述法
输入-输出描述法着眼于系统激励与响应之间的关系，并不关心系统内部变量的情况。通常，连续时间系统通常是用微分方程来描述的，而离散时间系统是用差分方程描述的。
dny(t)dn?1y(t)dy(t)an?a?????a?a0y(t) n?11nn?1dtdtdt
dmx(t)dm?1x(t)?bm?bm?1?????b1x(t)?b0x(t) （1-92） dtdt
（b）状态变量描述法
描述系统状态随时间变化的一组独立变量称为系统的状态变量。如果系统具有n个状态变量x1(t),x2(t),???,xn(t)，则可将它们看成是矢量x(t)的各个分量，称x(t)为状态矢量，并记为
?x1(t)??x(t)?
x(t)??2??[x1(t),x2(t),?,xn(t)]T （1-94） ?????x(t)?n?
状态变量描述法不仅可以给出系统的响应，还可提供系统内部各变量的情况，便于多输入-多输出系统的分析。
（c）方框图表示系统模型
（3）系统的分类
连续时间系统与离散时间系统
系统的输入和输出是连续时间变量t的函数，叫做连续时间系统。
系统的输入、输出信号都是离散时间信号，就称为离散时间系统，简称离散系统。
由两者混合组成的系统称为混合系统。
连续时间系统的数学模型是微分方程，而离散时间系统则用差分方程来描述。
记忆系统与即时系统
如果系统在任意时刻的响应仅决定于该时刻的激励，而与它过去的历史无关，则称之为即时系统(或无记忆系统)。全部由无记忆元件(如电阻)组成的系统是即时系统。
如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史有关，则称之为记忆系统(或动态系统)。含有动态元件(如电容、电感)的系统是记忆系统。
集总参数系统与分布参数系统
集总参数系统仅由集总参数元件(如R、L、C等)所组成。
含有分布参数元件的系统是分布参数系统（如传输线、波导等）。
可逆系统和不可逆系统
如果一个系统对任何不同的输入都能产生不同的输出，即输入与输出是一一对应的系统称为可逆系统。
假如一个系统对两个或两个以上不同的输入输出能产生相同的输出，则系统是不可逆的，称为不可逆系统。
如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等系统,则称后者是前者的逆系统。
1.4.7系统的性质
(1) 线性
具有叠加性与均匀性（也称齐次性）的系统称为线性系统。
即，如果x1(t)?y1(t),x2(t)?y2(t)
那么{ax1(t)?bx2(t)}?ay1(t)?by2(t)
线性系统特性
（a）微分特性
?dx(t)?dy(t) ???dt?dt?
（2）积分特性
??t
0x(?)d???y(?)d?。 0?t
（3）频率保持性
信号通过线性系统后不会产生新的频率分量。
（2）时不变性
若x(t)?y(t)则对连续系统有x(t?td)?y(t?td)，
（3）因果性
一个系统，如果激励在t?t0时为零，相应的零状态响应在t?t0时也恒为零，就称该系统具有因果性，并且称这样的系统为因果系统；否则，为非因果系统。
（4）稳定性
如果一个系统对于每一个有界的输入，其输出都是有界的，则称该系统是稳定的。若其输出是无界的，则该系统是不稳定的。
1.4.8线性时不变系统的分析方法
时间域方法是直接分析时间变量的函数，研究系统的时间响应特性
变换域方法是将信号与系统模型的时间变量函数变换成相应变换域的某种变量函数。
综上所述，系统分析的过程是从实际物理问题抽象为数学模型，经数学解析后再回到物理实际的过程。
1.5典型考试试题解析
题1、下列各表示式正确的是（ ）。
(a) ?(2t)??(t) (b) ?(2t)?
答案：（b）
分析：可以采用验证法 11?(t) (c)?(2t)?2?(t) (d) 2?(t)??(2t) 22
?题2、????(2t)d(2t)?1，得????(2t)dt? ??12所以答案b符合 ???4sin??(??6)d???
6) 时?(??t答案：2u(t?分析：当???
6?)?0，所以?4sin??(??)d??0 ??66t?
???4sin??(??6)d?????4sin(6)?(??6)d??2????(??6)d??2 6
?所以，原式?2u(t?) 6当??时，
题3、计算?
解：
???t?t????????[e?t?(t)?t?(t?1)]dt ?????[e?(t)?t?(t?1)]dt??e?(t)dt??t?(t?1)dt?????t???t
???(t)dt???(t?1)dt?2????????
题4、计算
???????4?(t)sin(2t)dtt ????sin(2t)sin(2t)4?(t)??8?(t)dt??8?(t)dt?8???????t2t解： 题5、积分?t
??e?2?????d?等于（ ）
（a）?(t) (b)u(t)(c)2u(t) (d)?(t)?u(t) 答案：（b）
题6、f(5?2t)是（ ）运算的结果。
(a) f(?2t)右移5 (b)f(?2t)左移5 (c) f(?2t)右移答案：（c）
题7、画出下图7所示信号f（t）的偶分量fe(t)与奇分量fo(t)。
t 55 (d)f(?2t)左移 22
图7
解：
1.6本章习题全解
1.1已知信号波形，写出信号表达式。
(a) (b)
解：（a）f(t)?tu(t)?(t?1)u(t?1)
（b）f(t)???(t?1)??(t?2)??(t?3)
1.2已知信号的数学表达式，求信号波形。
(1) f(t)?e?tcos(2??t)[u(t?1)?u(t?2)] ?(2) f(t)??1?
?
?t????u(t?1)?u(t?1)? 2?
(3) f(t)??sin[?(t?n)]u(t?n)
n?0
(4) f(t)?tu(t)??u(t?n)
n?1?
??t)] (5) f(t)?sgn[sin(
(6) f(t)?[u(t)?u(t?T]sin(4?t) T
?t解：（1）信号区间在[1，2]之间，振荡频率为2?，周期为1，幅值按e趋势衰减，波形如图1-2-1；
（2）信号区间在[-1，1]之间，在[-1，0]区间呈上升趋势，在[0，1]区间呈下降趋势，波形如图1-2-2；
图1-2-1 图1-2-2
（3）信号为正弦信号经时移的叠加而成，由于每次时移间隔为半个周期，所以偶次时移与奇次时移的结果相抵消，结果如图1-2-3；
（4）结果如图1-2-4
图1-2-3 图1-2-4
（5）结果如图1-2-5
图1-2-5
（6）结果如图1-2-6
图1-2-6
1.3分别求下列各周期信号的周期
10t)?cos(20t) (1) cos(
(2) ej5t
(3)
n???n(?1)?u(t?nT)?u(t?nT?T)? (n为正整数，T为周期) ??
解：（1）cos(10(t?T))?cos(10t?10T)
当满足10T?2k?（k为整数）时，cos(10t?10T)?cos(10t) 即k=1时，T?5/?为cos(10t)的周期，
同理，cos(20t)的周期为10/?；
10t)?cos(20t)的周期为10/?。 所以cos(
（2）ej5(t?T)?ej(5t?5T)?ej5tej5T
j5T当满足5T?2k?（k为整数）时，e
即k=1时，T??1，即ej5(t?T)?ej5t， 5j5t为e的周期 2?
（3）根据表达式，可画出信号的波形为
n?
从图中可以看出周期为2T。
1.4求下列表示式的函数值
(1)
(2) ?????
?(t?t0)?(t)dt? 2?(t)sin(2t)dt? t??
(3) ??
???(t?t0)u(t?t0)dt? 3
(4)
(5)
(6) ????(t?sint)?(t??6)dt? ?????2?ej??t[?(t)??(t?t0)]dt? (1?t)?(cost)dt? ?2?
(7) 已知f(t)?2?(t?3) 求??
0f(5?2t)dt?
解：（1）
(2) ?????(t?t0)?(t)dt???t0?(t)dt??t0??(t)dt??t0 ????????sin(2t)sin(2t)dt?4?(t)dt?4?(t)dt?4 ?????????t2t
??tt2t?(3) ??(t?t0)u(t?0)dt???(t?t0)u(t0?0)dt?u(0)??(t?t0)dt?u(t0) ????333??2?(t)
(4)
???(t?sint)?(t?6)dt????(6?sin6)?(t?6)dt
????1?(?sin)??(t?)dt??66??662???????
(5)
(6) ????ej??t[?(t)??(t?t0)]dt??ej??t?(t)dt??ej??t?(t?t0)dt?1?ej??t0 ??????
?2??2?(1?t)?(cost)dt??2??2??(cost)dt??2??2?t?(cost)dt
2?
0?2??(cost)dt?2?02?3??(t?)??(t?)dt?422?
上式中?(cost)为偶函数，t?(cost)为奇函数 (7)
1.5已知信号f(t)的波形如下图1.5所示，试画出下列各信号的波形
(1)f(2t?3)
(2)f(?2?t)u(?t)
(3)f(2?
t)u(2?t) ??0f(5?2t)dt??2?(5?2(t?3))dt??2?(11?2t)dt??2?(2(t?000???11))dt?1 2
题图1-5
解：（1）先将f(t)在横坐标轴上向右平衡3，再进行压缩，得波形如图1-5-1；
图1-5-1
（2）过程及结果如图1-5-2
所示；
图1-5-2
（3
）过程及结果如图1-5-3所示；
图1-5-3
1.6已知f(5?2t)的波形如图1-6所示,试画出f(t)的波形。
题图1-6
解：本题有两种求解方式：
解法一：（1）将信号以纵坐标为轴翻褶，得f(2t?5)波形 （2）将f(2t?5)的波形在横坐标上扩伸2倍，得f(t?5)波形 （3）将f(t?5)的波形向右移动5，得f(t)的波形
图1-6-1
解法二：（1）将信号以波形向右移动5/2，得f(?2t)波形
（2）将f(?2t)波形的在横坐标上扩伸2倍，得f(?t)波形
（3）将f(?t)的波形以纵坐标为轴翻褶，得f(t)的波形；
图1-6-2
1.7求下列函数的微分和积分
（1）f1(t)??(t)cos3t
（2）f2(t)?u(t)sin2t
（3）f3(t)?e?2t?(t)
解：（1）
（2）
（3）?t??f1(?)d????(?)cos3?d????(?)d??u(t) ????tt?t??tt1f2(?)d???u(?)sin2?d???sin2?d?u(t)?(1?cos2t)u(t) ??02?t
??f3(?)d???e?2??(?)d????(?)d??u(t) ????tt
1.8试证明:
?(at)?
1?(t)a
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