江苏南通中学2017届高三上学期数学文科期中测试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．已知集合A=?2,3,4?，B=?a?2,a?，若A?B=B，则eAB?．
2．命题“?x?R,x2?x
?1≤0”的否定是．
3.函数y?的定义域为．
4．已知一个圆锥的底面积为2?，侧面积为4?，则该圆锥的体积为．
5.设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若a3?2a6?0，则S3的值是． S6
ìx31,???226.已知点P(x,y)的坐标满足条件íy3x,则(x-2)+(y-1)的最小值为． ?????x-2y+3?0,
????ABCDDCBC7.如图，在正方形中，点E是的中点，点F是的一个三等分点，那么＝．(用AB和
????AD表示)
8．已知命题p：|x－a|<4，命题q：(x－1)(2－x)>0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
9．已知直线x?y?1?0与曲线y?lnx?a相切，则a的值为．
－x＋2x，x＞0，??10．已知函数f(x)＝?0，x＝0，是奇函数且函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取??x2＋mx，x＜0
值范围为．
π?11．函数y＝2sin2x－6与y轴最近的对称轴方程是． 2??
????????12．如图，点O为△ABC的重心，且OA?
OB，AB?4，则AC?BC的值为．
A （第12题） B
2213．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1?1，2Sn?(n?1)an，若关于正整数n的不等式an
?tan≤2t的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为． ??a?x+1, x≤1,14．已知函数f(x)??函数g(x)?2?f(x)，若函数y?f(x)?
g(x)恰有4个零点，则实数2(x?a), x?1,??
a的取值范围是．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
?????????已知向量a?(sin(x??),1)，b?(1,cos(x??))(??0,0???)，记函数f(x)?(a?b)?(a?b)．若224
1函数y?f(x)的周期为4，且经过点M(1,)． 2
（1）求?的值；
（2）当?1?x?1时，求函数f(x)的最值．
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD?底面ABCD，且PA?PD?AD，若E、F分别为PC、BD的中点. 2
（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF?平面PDC.
17.(本小题满分14分)
已知集合A?xx?8x?7?0，B?xx?2x?a?2a?0
(1)当a?4时，求A?B；
(2)若A?B，求实数a的取值范围．
?2??22?
18．（本小题满分16分）
如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2．设∠AOC＝xrad．
（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；
（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．
19. (本小题满分16分)
（第18题） （Ⅰ）当a?1时，求函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅲ）若f(x)≥2lnx在[1,??)上恒成立，求a的取值范围.
20.（本题满分16分）
已知数列{an}的前n项和为Sn
，且Sn?an?4，n?N*
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知cn?2n?3（n?N*），记dn?cn?logCan(C?0且C?1)，是否存在这样的常数C，使得
数列{dn}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由.
（3）若数列{bn}，对于任意的正整数n，均有
?1?n?2b1an?b2an?1?b3an?2???bna1????成立，求证：数列{bn}是等差数列。 22??
n
参考答案
本试卷分为数学I(必做题)和数学II(附加题)两部分．共200分，考试用时150分钟．
数学I(必做题共160分)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
?2????11???5.26．7.AB?AD 1．?3?2．?x?R,x?x?1?03.(0,1]4
3222
8．[－2,5]9．?210．(1，3]．11．x?
??
612．3213．(1,)14．2?a≤3 3
2
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
?????2?2??15．解：（1）f(x)?(a?b)?(a?b)?a?b?sin2(x??)?cos2(x??)??cos(?x?2?) 22
………………4分
由题意得：周期T?2?
??4，故???
2………………6分
1?1（2）∵图象过点M(1,)，??cos(?2?)? 222
即sin2??1????，而0???，故2??，则f(x)??cos(x?)．………………10分 24626
当?1?x?1时，??
3??
2x??
6?2?1?????cos(x?)?1 3226
11?当x??时，f(x)min??1，当x?1时，f(x)max?．………………14分 32
16．证明：（1）连结AC，因为正方形ABCD中F是BD的中点，则F是AC的中点，又E是PC的中点，在△CPA中，EF∥PA……………………3分 且PA?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD…………………………6分
（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD， …………………………………8分
又PA?平面PAD，∴CD⊥PA ，因为EF//PA，∴CD⊥EF……………………10分
又
?AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且?APD?，即PA⊥PD 2又EF//PA，∴PD⊥EF ……………………13分
而CD∩PD=D，∴ PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC…………14分
17.解：(1)A??x|1?x?7?，
2当a?4时，B?x|x?2x?24?0?x?4?x?6， ????
∴A?B??1,6?…………… 6分
(2)B?x(x?a)(x?a?2)?0
①当a??1时，B??,?A?B不成立；
②当a?2??a,即a??1时，B?(?a,a?2), ??
??a?1，解得a?5; ?A?B,???a?2?7
③当a?2??a,即a??1时，B?(a?2,?a),
?a?2?1解得a??7; ?A?B,???a?7?
综上，当A?B，实数a的取值范围是(??,?7]?[5,??)． …………… 14分
注：第(2)小题也可以用恒成立处理，即x?2x?a?2a?0在?1,7?上恒成立 22
18．解：（1）因为扇形 AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，
x·OA2
所以 扇形AOC的面积S扇形AOC＝2＝800x，0＜x＜π． …………… 2分
在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，
1所以△COD的面积
S△COD＝2OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．
………………… 5分 （第18题）
从而S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π． …………………7分
（2）由（1）知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．
1 S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋2)． ……………… 9分
2π由 S′(x)＝0，解得x＝． 3
2π2π从而当0＜x＜S′(x)＞0；当＜x＜π时， S′(x)＜0 ． 33
2π2π因此 S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减． …………… 14分 33
2π所以 当x＝3S(x)取得最大值．
2π答：当∠AOC为3时，改建后的绿化区域面积S最大．……………… 16分
19.解：（1）当
a?1
2分
…………3分 所以，函数f(x)在点(2,f(2))即：5x?4y?4?0
…………4分
(Ⅱ)函数的定义域为：{x|x?0}
…………6分 '当0?a?2时，f(x)?0恒成立，所以，f(x)在(??,0)和(0,??)上单调递增
'当a?2时，令f(x)?0，即：
ax2?2?a?0f'(x)?0,x?x2或x?x1;f'(x)?0,x1?x?0或0?x?x2,
所以，f(x)单调递增区间为，单调减区间为
…………10分 （Ⅲ）因为f(x)?2lnx在
[1,??)在[1,??)上恒成立。
a?1时，g'(x)?0，函数g(x)在[1,??)上单调递增，又g(1)?0 所以，f(x)?2lnx在[1,??)上恒成立；
a?1g'(x)?0,g(x)单调递增；
g'(x)?0，g(x)单调递减 所以，g(x)在
[1,??)因为
g(1)?0,.
a?1g'(x)?0,g(x)单调递增，
g'(x)?0,g(x)单调递减， 所以，g(x)在[1,??)上的最小值为g(1) 又因为g(1)?0，所以f(x)?2lnx恒成立 综上知，a的取值范围是[1,??). …………16分
20.解：（1）a1?4?a1，所以a1?2 ………………1分
由Sn?an?4得n?2时，Sn?1?an?1?4
an1?两式相减得，2an?an?1， …………2分 an?12
1数列{an}是以2为首项，公比为的等比数列， 2
所以an?22?n（n?N） ……………4分 *
（2）由于数列{dn}是常数列
dn=cn?logCan?2n?3?(2?n)logC2 ……………6分
?2n?3?2logC2?nlogC2?(2?logC2)n?3?2logC2为常数,只有2?logC2?0；解得C?2,此时dn?7 ………8分
(3)b1an?b2an?1?b3an?2n?2?1?……① ???bna1????2?2?nn?1，b1a1?
当n?2时， 131???1，其中a1?2，所以b1?? …10分 222
b1an?1?b2an?2?1??b3an?3???bn?1a1???n?1
?n?1②…12分 ?2?2
②式两边同时乘以1
2得，
n
b1an?b2an?1?b???b?1?n?1
3an?2n?1a2???2???4③
①式减去③得，b?n?3
na1?4，所以bn3
n??8?8
且bn?1?bn??1
8
所以数列{b1n}是以?2为首项，公差为?1
8的等差数列。
…14分 …16分
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