高二数学
一，选择题
1. 已知e1,e2是夹角为60?的两个单位向量，则a?2e1?e2与??3e1?2e2的夹角的正弦值是（）
1A
? 2C. 1
D. ?22. 如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（ ）A．
10 B．
10
C
．6? D
．6????f(x)?sin(?2x)?5cosx?3的值3.在区间?-? 内随机取一个数，则函数x?2?2?
小于0的概率为（）
5421A．B.C．D． 12954
?x?y?k?0,?4.已知不等式组?3x?y?6?0,表示的平面区域恰好被圆C：?x?y?6?0,?
?x?3?2??y?3??r2所覆盖，则实数k的值是（） 2
A. 3B.4C.5 D.6
5. 已知x，y均为正数且x+2y=xy，则（）.
A．xy+
C．x+2y+有最小值4 有最小值11 B．
xy+D．xy﹣7+有最小值3有最小值11
6.某餐厅的原料费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y?8.5x?7.5，则表中m的值为（）
A.45B.50C.55 D.60
7．如图，在直角梯形ABCD中，AB?2AD?2DC， E为BC边上一点，?3，F为AE的中点，=()
1221A．AB?AD B．AB?AD
3333
C．?1221AB?ADD．?AB?AD 3333
8．函数f(x)?(m?m?1)x24m9?m5?1是幂函数，对任意x1,x2?(0,??)，且x1?x2，的值 （ ） 满足f(x1)?f(x2)若a，b?R，且a+则fab?0,ab0?，()?fb()?0，x1?x2
A. 恒大于0
B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断
9．右图是由容量为100的样本得到的频率分布直方
图．其中前4组的频率成等比数列，后6组的频数成
等差数列，设最大频率为a，在4.6到5.0之间的数据
个数为b，则a，b的值分别为( ).
A．0.27，78 B．0.27，83 C．2.7 784 D．2.7，83
10．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直
线AC1与平面BED的距离为( )
A．2 3 C.2 D．1
11. 在平面直角坐标系xOy中．已知向量a,b
??1，a?b?0，点Q满足?22(?)，曲线C?P|?cos??sin?,0???2?，区域Ω={P|0＜r≤|
?2x?1(x?0)12. 函数f(x)??若方程f(x)??x?a有且只有两个不等的实数
?f(x?1)(x?0)
根，则实数a的取值范围为（ ） ??|≤R，r＜R}．若C??为两段分离的曲线，则（ ） A．3＜r＜5＜R C.0＜r≤3＜R＜5 B．3＜r＜5≤R D.3＜r＜R＜5
A．(-∞,0)
B．[0,1) C．(-∞,1) D．[0,+∞)
二．填空题
13．直线x?ysin??1?0（??R）的倾斜角范围是
14．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b
.
则事件“点(a,b)满足a2?(b?5)2?9”的概率为15.已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB?AC?5，BC?8，AD?底面ABC，G为?ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为1，则球O的表面积为____________. 2
16.已知圆C1 :(x?cos?)2?(y?sin?)2?4,
圆C2:(x?5sin?)2?(y?5cos?)2?1,?,???0,2??,过圆C1上任意一点M作圆C2的一条切线MN,切点为N，则MN的取值范围是．
三．解答题
1???17．已知函数f?x??sin2?x?sin2??x??（x?R,?为常数且???1），函26??
数f?x?的图象关于直线x??对称. （1）求函数f?x?的最小正周期；
?3?1（2）在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a?1,f?A??，求?ABC?5?4
面积的最大值.
?x?4?18. 设不等式组?y?0所表示的平面区域Dn，记Dn内整点的个数为an?y?nx(n?N?)?
（横纵坐标均为整数的点称为整点）。
（1）n?2式，先在平面直角坐标系中做出平面区域Dn，在求a2的值；
（2）求数列?an?的通项公式；
（3）记数列?an?的前n项和为Sn，试证明：对任意n?N?，恒有S1S2??? 22S132S2 ?Sn5成立。 ?2(n?1)Sn?112
19．某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如上（右），已知分数在100-110的学生数有21人．
（1）求总人数N和分数在110-115分的人数n；
（2）现准备从分数在110-115的n名学生（女生占1）中任选3人，求其中恰好3
含有一名女生的概率；
（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x（满分150分），物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩．
已知该生的物理成绩y与数学成绩x是
线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？
A
第20题
20. 如图，已知长方形ABCD中，AB?2,AD?1，M为DC的中点． 将?ADM沿AM折起，使得平面ADM?平面ABCM．
（Ⅰ）求证：AD?BM；
?（Ⅱ）若DE??DB(0???1)，当二面角E?AM?D大小为时，求?的值． 3
21．已知圆x2?y2?25，△ABC内接于此圆，A点的坐标(3,4)，O为坐标原点．
5(Ⅰ)若△ABC的重心是G(,2),求BC中点D的坐标及直线BC的方程； 3
(Ⅱ)若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证直线BC的斜率为定值.
22. 对于函数f1(x),.f2(x),h(x)，如果存在实数a,b使得h(x)?a?f1(x)?b?f2(x)，那么称h(x)为f1(x),f2(x)的生成函数．
（1）下面给出两组函数，h(x)是分别否为f1(x),f2(x)的生成函数？并说明理由； 第一组：f1(x)?lgx,f2(x)?lg(10x),h(x)?x2?x?1
10
第二组：f1(x)?x2?x,f2(x)?x2?x?1,h(x)?x2?x?1
（2）设f1(x)?log2x;f2(x)?log1x
2，a?2,b?1生成函数h(x)，若不等式
3?h2(x)?2?h(x)?t?0在x??2,4?上有解，求实数t的取值范围；
（3）设f1(x)?x(x?0),f2(x)?1(x?0)，取a?0,b?0，生成函数h(x)图象的x最低点为(2,8)，若对于任意的正实数x1,x2,且x1?x2?1，试问是否存在最大的常数m，使h1(x)?h2(x)?m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．
ACBDC DDAAD DC 13.?7634???3?? 16. ,? 14. 15.,37 249?44??
17.
18. 1)25(2) 10n+5 (3) 略 解析：解：（1）D2如图中阴影部分所示， ∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，
∴a2==25．（3分）
（另解：a2=1+3+5+7+9=25）
（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），
据题意有an==10n+5．（6分）
（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）
（3）Sn=5n（n+2）． （8分） ∵==?
＜
， ∴++…+＜++…+
=（﹣+…+﹣）
=（+﹣
﹣）＜
补：数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1，等差数列{bn}满足b3=3，b5=9，
（1）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N*， (S1
n?2)?k?bn恒成立，求实数k的取值范围
解：（1）由an+1=2Sn+1①得an=2Sn﹣1+1②，
①﹣②得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1），∴an+1=3an（n≥2）又a2=3，a1=1也满足上式，∴an﹣1
n=3；b5﹣b3=2d=6∴d=3bn=3+（n﹣3）×3=3n﹣6；
（2
）
∴对n∈N*恒成立，
∴对n∈N*恒成立，
令
，
当n≤3时，cn＞cn﹣1，当n≥4时，cn＜cn﹣1，
，所以实数k
的取值范围是
19. （1）??60，n?6；（2）P?8
15；（3）115．
20. （Ⅰ）由于AB?2,AM?BM?2，则BM?AM， ，，
又平面ADM?平面ABCM，平面ADM?平面ABCM＝AM，
BM?平面ABCM，故BM?平面ADM．
又AD?平面ADM，从而有AD?BM． …………………..5
（Ⅱ）（方法一）过点E作MB的平行线交DM于F，
由BM?平面ADM得EF?平面ADM;
在平面ADM中过点F作AM的垂线，垂足为H，连接HE，
则?EHF即为二面角E?AM?D的平面角，大小为
设FM?x，则DF?1?x,FH??． 32x,在Rt?FHM中， 2
6由?EFH?90?,?EHF?60?，则EF?FH?x． 2
6x
EFDF1?x2EF//MB,MB?2,则?,即?,解得x??4?2． MBDM122?DE??2?3，即??2?3．
故当二面角E?AM?D大小为时，DB3
22. 解：（1）第一组：∵f1（x）=lg
∴alg，f2（x）=lg（10x），h（x）=x﹣x+1， 22+blg（10x）=algx﹣a+b+blgx=（a+b）lgx+b﹣a≠x﹣x+1， ∴第一组函数h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．
第二组：设a（x2+x）+b（x2+x+1）=x2﹣x+1，
即（a+b）x2+（a+b）x+b=x2﹣x+1， 则，该方程组无解．∴h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．
（2）∵f1（x）=log2x；
∴h（x）=a?f1（x）+b?f2（x）=2log2x+log
4]上有解，∴
∵x∈[2，4]，∴log2x+
∴∈[x，a=2，b=1生成函数h（x）， x=log2x，∵3h（x）+2h（x）+t≤0在x∈[2，2）+t﹣2+2log2x+t=3（log2x+，]∴t=﹣3（log2x+≤0在x∈[2，4]上有解，在[2，4]上单调递减， ）2+=﹣5
，
=﹣．
∴实数t的取值范围是[﹣
（3）由题意得，h（x）=ax+，﹣5]． ，x＞0，则h（x）
=ax+， 故，解得，∴h（x）=2x+，x＞0， 假设存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立．
于是设μ=h（x1）h（x2）==4x1x2++16?
=+16（）=4+16? =
=，
设t=x1x2，则t=x1x2≤=，即t∈（0，]， 设﹣32，t∈（0，]， ∵＜0，t∈（0，]，∴32在（0，]上单调递减，从而μ≥μ（）=289． 故存在最大的常数m=289．
﹣
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