2014-2015学年度高二理科数学训练题（20） 第 1 页 共 10 页
高二理科数学第九周――中段考模拟（一）
一、选择题：
1．设f(x)?lnx2?1，则f'(2)?（）． A．
45 B．213
5C．D．55
1.
解：‘f(x)?
2x
x2?1
故f'(2)?5
2.S1＝
?
2
1
x2dx＝121173x31＝3×23－3＝3，
S2121x1S2x22＝?dx＝lnx＝ln2，3＝?1ex
dx＝e1
＝e2－e＝e(e－1)，ln2＜lne＝1，且
73＜2.5＜e(e－1)，所以ln2＜7
3＜e(e－1)，即S2＜S1＜S3. 2．若S221＝?1x2dx，S212＝?1xdx，S3＝?x
1
edx，则S1，S2，S3的大小关系为()
A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1 3．过点A（2,1）作曲线f(x)=x3
-x的切线的条数最多是（ ） A .3B.2 C. 1D.0
3.【解析】解：由题意得：f′（x）=3x2
-3，设切点为（x0，y0），那么切线的斜率为k=3x20?3,那么利用点斜式方程
可知切线方程为y-y0=3x20?3(x-x0),将点(2,1)代入可知得到关于x0的一元三次方程，利用导数的思想可知方程有三个解，故过点A（2,1）作曲线f(x)=x3
-x的切线的条数最多是3个选A
4.试题分析：由f?x?＝f?2－x?可知f（x）的图象以x＝1为对称轴，又x＜1时，?x－1?f'?x??0，即f'?x?＞0，即x＜1时f（x）为增函数，根据对称性，x＞1时f（x）为减函数，所以自变量越靠近1，函数值越大，又a?f?0??f?2?，
c?f?log28??（f3）于是f?3?＜f?
2?＜f
，所以c?a?b，故选C.
4．函数f?x?在定义域R上的导函数是f??x?，若f?x??f?2?x?，且当x????,1?时，?x?1?f??x??0，设
a?
f?0?、b?f
、c?f?log2
8?，则（）
A．a?b?cB．a?b?c C．c?a?bD．a?c?b 5．已知f?x?为定义在（-?,??）上的可导函数，f?x??f/
?x?对于x∈R恒成立，且e为自然对数的底数,则（ ）
（A）e2013
.f?2014
?＜e2014.f?2013? (B)e2013.f?2014?=e2014.f?2013? (C)e
2013
.f?2014
?＞e2014.f?2013?(D)e2013.f?2014?与e2014.f?2013?大小不确定 试题分析：令g?x??f?x?f??x?ex?f?x?ex5.f??x??f?x?
ex，则g??x???ex?
2?ex 因为f?x??f/
?x?对于x∈R恒成立，所以g??x??
f??x??f?x?ex?0在上R恒成立，因此函数g?x??f?x?
e
x在
?-?，
+??上为减函数，于是有，g?2014??g?2013?，所以f?2014?f?2013?
e2014?e
2013
所以，e2013.f?2014
?＜e2014.f?2013?，故选A. ?
?
?
6.试题分析：因为线性回归直线方程过样本中心点，所以点（4，5）在回归直线y?bx?a（其中a?
估计值为0．2）
?
上,即5?4b?0.2，解之得b
??1.2，故答案为B．考点：线性回归直线方程过样本中心点． ????
6．已知回归直线y?bx?a的a估计值为0．2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（） A、y?1.2x?0.2B、y?1.2x?0.2C、y?0.2x?1.2D、y?0.2x?0.2
7．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的
选法共有（ ）
A．30种B．35种 C．42种 D．48种
7.【解析】解：可分以下2种情况： ①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C1
2
3C4种不同的选法；
②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C2
13C4种不同的选法．
∴根据分类计数原理知不同的选法共有C1
2
2
1
3C4+C3C4=18+12=30种．故选A．
8．有5名毕业生站成一排照相,若甲乙两人之间至多有2人,且甲乙不相邻,则不同的站法有（） A．36种B．12种C．48种D．60种
8.【解析】甲乙之间有一个人：C1A2322232A3=36；甲乙之间有2人：A3
A2A2?24，因此不同的站法共60种。 a0?a2?a4
9．设
?2?x?
5
?a0?a1x?a2x2?a5x5，那么
a1?a3的值为（ ）
12261244
A： －121 B：－60 C：－241D：-1
?25
9.【解析】解：因为
?x??a0?a1x?a2x2?a5x5
，分别对x=1和x=-1令值得到系数和作和，或者作差，得到分子
a0?a2?a4
和分母，最后求解得到
a1?a3=-1，选D
10．已知随机变量?服从正态分布N(3,?2),且P(??2)?0.3,则P(2???4)的值等于
A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4
11．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因绿灯而通行的概率分别为13，12
2，3
，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为（） A、
19B、117
6 C、3D、18
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12．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球 (有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则P(B|A)?（ ） A．
16 B．12
3C．3
D．1 12.
P(AB)1P(BA)=P(A)=3 二、填空题
13．函数y?lnx
x
的最大值为______
14．7个排成一排，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序共有种排法______
14.【解析】先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A4
7，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右
的顺序自动入列，不能乱排的，即A4
7
?840
limf(x0?3?x)?f(x0)?1
15．若?x?0?x，则
f?(x0)?______ 16．函数f(x)?x3
?3ax?a在（0,1）内有最小值，则a的取值范围为______
16.试题分析：首先对函数f(x)进行求导，即f'
(x)?3x2
?3a?3(x2
?a)，然后根据函数f(x)?x3
?3ax?a在
（0,1）内有最小值，讨论参数a与0的大小关系，进而找到符合条件的a的取值范围，即（1）若a?0，此时f'
(x)?0，这表明f(x)在（0,1）上单调递增的，所以f(x)在x?0处取得最小值，显然不可能；（2）若a?0，令f'(x)?0，
解得x??a，当x?a时，f(x)为增函数，0?x?a为减函数，所以f(x)在x?a处取得最小值，也是最小值，故极小值点在（0,1）内，符合条件要求.
1—5：BBACA 6—10：BADDD 11-12:DB
1
13.e?1
14．840 15．3 16．0?a?1
13、__________14、__________15、_______16、_______
三、解答题
17．（本小题满分12分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别
记录了3月1
（Ⅰ）从3月1.
（Ⅱ）若选取的是3月1日与3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程?y?bx
??a?； （Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠
的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠?
n
（参考公式：回归直线的方程是y
??bx??a?，其中ii
?n??b???xyi?1
，a?，）
?n
??x
2
i
?2
i?1
17.解:（Ⅰ）m,n的所有取值情况有：(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，即基本事件总数为10.设“m ，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26). 所以P(A)?
310，故事件A的概率为3
10
. ………… （Ⅱ）由数据，求得
x?13
3(11?13?12)?12y?1
3(25?30?26)?273xy?972.?XiYi?11?25?13?30?12?26?977，
i?1
n
?3
X2
?112
?132
?122
?434，3x2
?432.由公式，求得?iyi
?n??b
??x977?972i
i?1
，
i?1
?n
?
x
2
i
?2
434?432?
5
2
i?1
a
????27?52
?12??3．所以y关于x的线性回归方程为y??52x?3． ……（Ⅲ）当x=10时，y??52?10?3?22，|22－23|＜2；同样，当x=8时，y??5
2
?8?3?17，|17－16|＜2．所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． 18．（本题满分12分）已知函数f(x)?x?lnx. （1）求函数f(x)的单调区间；
（2）求函数f(x)在区间[
1
e2
,e]上的最大值.（其中e是自然对数的底数） 18.解：（1）由f(x)?x?lnx可知其定义域为?0,???， 且f?(x)?1?1x?x?1x. 令f?(x)?1?1x?1
x?
x
?0得x?1；f?(x)?1?1?x?1
?0得0?x?1，所以当x?1时f'xx
(x)?0，当0?x?1时f'(x)?0， 所以f(x)在
区间(0,1)上单调递减，在区间(1,??)上单调递增， 即 f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1,??).
（2） 因为e?1,0?
1e2?1，所以由（1）知，f(x)在区间(1
e
2,1)上单调递减，在区间(1,e)上单调递增. ? 而 f(11111
e2)?e2?lne2?e2?2， f(e)?e?lne?e?1，??且e
2?2?2?e?1，?11分
所以函数f(x)在区间[11
e2,e]上的最大值为e
2?2.
19．黄山旅游公司为了体现尊师重教，在每年暑假期间对来黄山旅游的全国各地教师和学生，凭教师证和学生证实行购买门票优惠．某旅游公司组织有22名游客的旅游团到黄山旅游，其中有14名教师和8名学生．但是只有10名教师带了教师证，6名学生带了学生证．
(1)在该旅游团中随机采访3名游客，求恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率；
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(2)在该团中随机采访3名学生，设其中持有学生证的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列．
19.【答案】（1）51
154
（2）ξ的分布列为
【解析】(1)记事件A为“采访3名游客中，恰有1人持有教师证且 持有学生证者最多1人”，则该事件分为两个事件A1和A2，A1为“1名 教师有教师证，1名学生有学生证”；A2为“1名教师有教师证，0名学
生有学生证”．P(A)＝P(AC1111?C21)＋P(A2)＝10?C6?C6C106181551
C3＋3
＝＋154＝154
，∴在随机采访3人，恰有1人持有教22C2277师证且持有学生证者最多1人的概率为
51
154
. (2)由于8名学生中有6名学生有学生证，∴ξ的可能取值为1，2，3，则P(ξ＝1)＝C126?C23C21
6?C2
C3
＝，P(ξ＝2)＝3828C8＝153
，P(ξ＝3)＝C6528C3＝， 814
∴ξ的分布列为
20．已知f(x)是二次函数，不等式f(x)?0的解集是(0,5),且f(x)在区间??1,4?上的最大值是12。 （I）求f(x)的解析式；
（II）是否存在实数m,使得方程f(x)?
37
x
?0在区间(m,m?1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
20. 【解析】（I）?f(x)是二次函数，且f(x)?0的
解集是(0,5),?可设f(x)?ax(x?5)(a?0).?f(x)在区间??1,4?上的最大值是f(?1)?6a.，由已知，得6a?12,
?a?2,
?f(x)?2x(x?5)?2x2
?10x(x?R).
（II）方程f(x)?
37
x
?0等价于方程2x3?10x2?37?0.设h(x)?2x3?10x2?37,h'(x)?6x2?20x?2x(3x?10). 当x?(0,103)时，h'(x)?0,h(x)是减函数； 当x?(10
3
,??)时，h'(x)?0,h(x)是增函数。
?h(3)?1?0,h(103)??1
27
?0,h(4)?5?0,
?方程h(x)?0在区间(3,1010
3),(3
,4)内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,??)内没有实数根，
所以存在惟一的自然数m?3,使得方程f(x)?37
x
?0在区间(m,m?1)内有且只有两个不同的实数根。 21．（本题12分）已知f(x)?ln(x?1)。
（1）若g(x)?14
x2?x?f(x)，求g(x)在?0,2?上的最大值与最小值；
（2）当x?0时，求证
11?x?f(1x)?1
x
； （3）当n?N11111?且n?2时，求证：2?3?4?...?
n?1?f(n)?1?2?13?...?1
n
21.【解析】(1）g(x)?111x24x2?x?f(x)?14x2?x?ln(x?1) g'
(x)?2x?1?x?1??x2(x?1)
x??0,2?
令g(x)?0,x?0或x?1 0?x?1,g'(x)?0,g(x)?1?x?2,g'(x)?0,g(x)?
?g(x)3
min?g(1)?ln2?
4
又g(0)?0?g(2)?ln3?1 ?g(x)?ln3?1 （2）f(111max
x)?ln(x?1)，即证
1?x?ln(1x?1)?1x(x?0) 令1
x
?t?0 即证
t1?t?ln(t?1)?t 令?(t)?ln(t?1)?t11t
t?1 ?'(t)?t?1?(t?1)2?(t?1)
2
?0 ??(t)?,即?(t)??(0)?0
?ln(t?1)?
t
t?1 令?(t)?ln(t?1)?t(t?0) ?'(t)?1t
t?1?1??t?1
?0
??(t)?,即?(t)??(0)?0 ?ln(t?1)?t1 故
1?x?ln(11
x?1)?x
22．已知函数f(x)?
2
x
?alnx?2 (a?0). （Ⅰ）若曲线y?f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y?x?2垂直，求函数y?f(x)的单调区间； （Ⅱ）若对于?x?(0,??)都有f(x)?2(a?1)成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g(x)?f(x)?x?b (b?R).当a?1时，函数g(x)在区间[e?1
, e]上有两个零点，求实数b的取值范围.
22.【答案】（I）f(x)的单调增区间是(2,??),单调减区间是(0,2)．（II）a的范围是(0, 2
e
) （III）b的取值范围是(1,
2
e
?e?1]． 【解析】本题考查导数的几何意义；切点处的导数为切线斜率；用导数求单调区间：导数大于0对应区间为单调递增区间；导数小于0对应区间为单调递减区间；用导数求最值及恒成立问题． （I） 直线y?x?2的斜率为1.函数f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??2x2?ax，
所以f?(1)??2a
12?1
??1，所以a?1．所以f(x)?
2x?lnx?2．f?(x)?x?2
x
2.由f?(x)?0解得x?2；由f?(x)?0解得0?x?2. 所以f(x)的单调增区间是(2,??),单调减区间是(0,2)． ????????4分
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（II）f?(x)??
2x2?ax?ax?2x2
，由f?(x)?0解得x?2a；由f?(x)?0解得0?x?2
a
. 所以f(x)在区间(2a
, ??)上单调递增，在区间(0, 2a)上单调递减所以当x?2
a时，函数f(x)取得最小值，
y2min?f(a).因为对于?x?(0,??都)有f(x)
?2?a(成1立，所以f(2
a
)?a2?(即1可).则222?aln2
a?2?2(a?1)．由alna?a解得0?a?2e． 所以a的范围是(0, e).8分 a
（III）依题得g(x)?2
x?lnx?x?2?b，则g?(x)?x2?x?2x
2
.由g?(x)?0解得x?1；由g?(x)?0解得0?x?1所以函数g(x)在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, ??)为增函数．又因为函数g(x)在区间[e?1, e]上有两个零点，所
?以?
g(e?1)≥0,
?g(e)≥0,解得1?b≤2?e?1.所以b的取值范围是(1, 2?e?1]．
?ee?
g(1)?0.
高二理科数学第九周――中段考模拟（二）
一、选择题：1—5：BCABD 6—10：CCDCD 11-12:BC
1．设函数f?x?的导函数为f??x?，且f?x??x2?2x?f??1?，则f??0?等于（） A．0 B．?4 C．?2 D．2 1.因为f?x??x2?2x?f??1?'
，所以f
?x??2x?2f??1?，f'?1??2?2f??1?,f??1???2，f'?0???4，故选B。
2.【解析】本题考查长方体的表面积和体积,函数的最值和基本不等式的应用. 设长方体的底面另一边长为x，高为y,体积为V?2xy;则2xy?2x?4y?32,即
xy?x?2y?
16；所以16?xy?x?2y?
2?16?0所以
?
0?
0xy?8;V?2xy?16.故选C
2．用32m2的材料制作一个长方体形的无盖盒子, 如果底面的宽规定为2m, 那么这个盒子的最大容积可以是 (A) 36m3 (B) 18m3 (C) 16m3 (D) 14m3 3．函数y＝f（x）在定义域（－?
?
，3）内的图像如图所示．记y＝f（x）的导函数为y＝f?（x），则不等式f?（x）≤0的解集为（ ）
A．[－
??，1]∪[2，3）B．[－1，??]∪[???，?] C．[－??，??]∪[1，2） D．（－??????，－ ?]∪[?，?]∪[?
，3）
4．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．??0,1???2?
C．(0,1) D．(0，＋∞)
4.【解析】由已知得f′(x)＝0有两个正实数根x1，x2(x1<x2)，即f′(x)的图象与x轴有两个交点，从而得a的取值范围．f′(x)＝ln x＋1－2ax，依题意ln x＋1－2ax＝0有两个正实数根x1，x2(x1<x2)．设g(x)＝ln x＋1－2ax，函数g(x)＝ln x＋1－2ax有两个零点，显然当a≤0时不合题意，必有a>0；g′(x)＝
1x－2a，令g′(x)＝0，得x＝12a
，于是g(x)在??
0,
1?2a??上单调递增，在??1?2a,???
??
上单调递减，所以g(x)在x＝1?2a处取得极大值， 即f′?
?1?
111?2a??
＝ln 2a>0，2a>1，所以0<a<2. 5
．定积分?
1
?2
[x的值为（ ）
A. ?
9??3 B.
9?39?39?222?2 C. 4?2 D. ?4?32
5.【解析】作出直线y=x,和上半圆(x?1)2
?y2
?9,可
知
?
1
9??2
[x]?
2?3
2
.（圆面积的四分之一减去一个小三角形的面积） 6.
?0，∴当x?2时，f'(x)?0，则函数f(x)在???,2?上单调递减，当x?2时，f'(x)?0，则函数f(x)在?2,???上单调递增，即函数f(x)在x?2处取最小值f(2)，∴f(1)?f(2)，f(3)?f(2)，则将两式相加得f(1)?f(3)?2f(2)．故选Ｃ．
6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足
2?x
f'(x)
?0，则必有（ ） A.f(1)?f(3)?2f(2) B.f(1)?f(3)?2f(2) C.f(1)?f(3)?2f(2)D.f(1)?f(3)?2f(2) 7．已知随机变量X~N(3,1)，且P(2?X?4)?0.6826，则P(X?4)等于 A．0.1585 B．0.1586 C．0.1587 D．0.1588
7.试题分析：根据题意，由于随机变量X~N(3,1)，且P(2?X?4)?0.6826，那么可知P(X?4)=
1
2
（1-0.6826）=0.1587，故可知答案为C
8．从4名男生和3名女生中任选4人参加座谈会，若这4人必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）种 A、140B、120 C、35D、34 9．(1-x)3
(1-1x
)3
展开式中常数项是( ) A.－20 B.18 C.20 D.0
9.试题分析：(1?x)3
(1?13?(1?x)6
x)?x
3
,要求原式的常数项即求?(1?x)6中x3的系数，
2014-2015
TCr?r?3,?C3
r?1??6(?x)r,6?20.
10．已知x，y之间的一组数据：
则y与x的线性回归方程y
??bx?a必过点 A．(20,16)
B．(16,20)
C．(4,5)
D．(5,4)
11．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝5
9，则P(η≥2)的值为-------（ ）
A. 3281 B. 1165162781 81
12．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶也是蓝色的概率（）设A??其中一瓶是蓝色?
，B=?另一瓶也是蓝色?，则P?BA?
?
1
4
. A．
110 B．111
7 C．4 D．5
二、填空题13．4和4 14.91?
16 15.2014 16．???
??,3??
13．将8分为两个数，使其和为8且立方之和最小，则这两个数为_______ 。
14．把4个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为1、2、3、4的四个盒子里 ．则恰好有一个盒子空的概率是（结果用最简分数表示）_______
13.【解析】设这两个数为x和8?x，则f(x)?x3??8?x?3
，∴f'
(x)?48?x?4??0得x?4，∴当x?4时有最
小值。故这两个数是4和4。
14.试题分析：这是古典概型，我们只要计算出两个数，一个是把4个不同的球随机放入四个不同的盒子的所有放法总数为44
，而恰好有一个盒子是空的方法为C1C2C1233
4C4A39
44A
3，从而所求概率为
44?16
． 15．若(1?2x)2014?a20140?a1x?a22x???a2014x，则(a0?a1)?(a0?a2)???(a0?a2014)?_______ ； 16．设函数f(x)?kx3?3(k?1)x2?k2
?1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是_______
15.试题分析：首先令x?0可得a0?1；然后令x?1得a0?a1?a2???a2014?1，即a1?a2???a2014?0，代入式子(a0?a1)?(a0?a2)???(a0?a2014)即可求得结果.
16.【解析】因为设函数f(x)?kx3?3(k?1)x2?k2
?1在区间（0，4）上是减函数，则导函数在给定区间恒小于等于零，那么求解导数得到 f'(x)?3kx2
?6(k?1)x?0恒成立那么可知道开口向下，判别式小于等于零得到参数的范围选D
三、解答题
17．已知学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，某班6名学生的数学和物理成绩如表：
（1）求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；
（2）当某位学生的数学成绩为70分时，预测他的物理成绩．
n
xiyi
?n??参考公式：用最小二乘法求线性回归方程y
??bx??a??的系数公式：b??i?1
?n
,a
???参考数据：x
2
i
?2
i?1
832?782?732?682?632?732?32224， 83?75
?7?86?57?37?5?
?68?65?63?60?73? 80
^
1）y?
35x?131
5
；（2）估计他的物理成绩为68.2. 试题分析：（1）回归分析是针对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有散点图大致呈线性时，求出的回归?
?
方程才能有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义；（2）正确理解计算
b和a的公式和准确的计算是求线性
回归方程的关键；（3）根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值，只有具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.
试题解析：解：（1）由题意，x?
83?7?8
7?3?68?636?7373，y?75?65?75?65?60?80
6
?70. 8
xiy
i
?nxy
b
???i?1
38?2
?
5
，a??y?bx?1315， ∴?y?3131?x2
5x?5.11分 i?nx
i?1
（2）由（1）知，当x?70时，?y?68.2 ∴当某位学生的数学成绩为70分时，估计他的物理成绩为68.2. 18．已知函数f(x)?
13
x3
?ax2?4，且x?2是函数f(x)的一个极小值点. （1）求实数a的值；
（2）求f(x)在区间[?1,3]上的最大值和最小值.
解：（1）f'(x)?x2
?2ax. 2分?x?2是函数f(x)的一个极小值点?f'(2)?0.即4?4a?0，解得a?1.
经检验，当a?1时，x?2是函数f(x)的一个极小值点.? 实数a的值为1 （2）由（1）知，f(x)?
13
x3
?x2?4.f'(x)?x2?2x?x(x?2).令f'(x)?0，得x?0或x?2.7分
2014-2015学年度高二理科数学训练题（20） 第 6 页 共 10 页
当x在[?1,3]上变化时，f'(x),f?x?的变化情况如下： 当x??1或x?24cx2?cx?4
（2）f(x)的定义域为(0,??).f(x)?1?2??，令g(x)?x2?cx?4，其判别式??c2?16 2
xxx
'
①当?4?c?4时，??c?16?0，故f(x)在(0,??)上单调递增
② 当c?4时，??c?16?0，g(x)?0的两根都小于0，在(0,??(0,??)上单调递增．)上，f'(x)?0，故f(x)在
2
2
时，f(x)有最小值
8
3
；当x?0或x?3时，f(x)有最大值4 19．（本小题满分12分）某校为宣传县教育局提出的“教育发展，我的责任”教育实践活动，要举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的的演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是
23,13,1
4，且各阶段通过与否相互独立. （I）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
（II）设该选手在比赛中比赛的次数为?，求?的分布列、数学期望和方差.
解：（I）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过
决赛”为事件C，则P(A)?23,P(B)?11
3,P(C)?4.那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是：
p?p(AB)?P(A)P(B)?214
3?(1?3)?9
. （II）?可能取值为1，2，3.
P(??1)?P(A)?1?
213?3
,P(??2)?P(AB)?P(A)P(B)?214
3?(1?3)?9,
P(??3)?P(AB)?P(A)P(B)?23?13?2
9
.
?的分布列为：
?的数学期望
E??1?13?2?49?3?21717117417244
9?9. ?的方差D??(1?9)2?3?(2?9)2?9?(3?9)2?9?81
.
20．已知函数f(x)?x?4
x
?clnx，其中c?R，
（1）当c?0时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （2）讨论f(x)的单调性； 解：（1）当c?0时，f(x)?x?
4x，所以f(1)?1?41??3 f'
(x)?1
?4x，f'(1)?1?421
?5， 又因为切线过(1,?3)，所以切线方程为5x?y?8?0
③当c??4时，??c2
?16?0，设g(x)?0的两根为，x1?(0,2)x2??2
当0?x?x1时，f'(x)?0；当x1?x?x2时，f'(x)?0；当x?x2时，f'(x)?0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,??)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减． 21．（本小题满分12分）设函数f(x)?lnx?12
ax2
?bx． （1）当a?b?
1
2
时，求函数f(x)的最大值； （2）令F(x)?f(x)?12ax2?bx?a
1x
(0?x?3)其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k?2，恒成立,求实数a的
取值范围；
（3）＊当a?0,b??1，方程2mf(x)?x2
有唯一实数解，求正数m的值． 解：（1）依题意，知f(x)的定义域为(0,??)，当a?b?
1
2
时，f(x)?lnx?11111?(x?2)(x?4x2?2x,f?(x)?x?2x?1)
2?
2x
，令f?(x)?0，解得x?1， ∴当0?x?1时,f?(x)?0，此时f(x)单调递增； 当x?1时,f?(x)?0,此时f(x)单调递减， ∴f(x)的极大值为f(1)??3
4
,此即为最大值； （2）F(x)?lnx?
a
x,x?(0,3],则有k?F?(xx?a10)?0x2?，在x0?(0,3]上恒成立， 02
∴a?(?
12x2x3]，当x121
10?0)max,x0?(0,0?1时,?2x0?x0取得最大值2
,∴a?2；
（3）∵方程2mf(x)?x2
有唯一实数解,∴x2?2mlnx?2mx?0有唯一实数解,设g(x)?x2
?2mlnx?2mx,则
g?(x)?2x2?2mx?2mx，令g?(x)?0,x2
?mx?m?0，∵m?0,x?0，∴x1?
?0（舍去）,x2?当x?(0,x2)时,g?(x)?0,g(x)在(0,x2)上单调递减,当x?(x2,??)时,g?(x)?0,g(x)
在(x2,??)上单调递增, 当x?x2时,g?(x?g(x2)?0
2)?0,g(x)取最小值g(x2)，则??g?(x 即
2
)?0
2014-2015学年度高二理科数学训练题（20） 第 7 页 共 10 页
???x22?2mlnx2?2mx2?0
??x2
m?0
， 2?mx2?∴2mlnx2?mx2?m?0，∵m?0，∴2lnx2?x2?1?0(?)，
设函数h(x)?2lnx?x?1,∵当x?0时,h(x)是增函数,∴h(x)?0至多有一解，
∵h(1)?0,∴方程（*）的解为x2?1,
?1,解得m?1
2
． 22．求函数f(x)?lnx?
1
4
(x?1)2在[1，3]上的最大值和最小值． 22．解：f?(x)?1x?12(x?1)由f?(x)?0得1x?1
2
(x?1)?0化简得x2－x－2=0 解得x1=－1（舍）或x2=2……
当x∈（1，2）时，f?(x)>0，f（x）在x∈（1，2）上单调递增， 当x∈（2，3）时，f?(x)<0，f（x）在x∈（2，3）上单调递减…
又f（x）在[1，3]上连续，所以f（2）=ln2－
1
4
为函数f（x）的极大值……又∵f（1）=0，f（3）=ln3－1>0 ∴f（3）>f（1）所以f（1）=0是函数f（x）在[1，3]上的最小值，f（2）=ln2－1
4
为f（x）在[1，3]的最大值…
高二理科数学第九周――中段考模拟（三）
一、选择题：1—5：ABBAC 6—10：CBDBD 11-12:BA
1．函数y?2x3?3x2?12x?5在区间[0，3]上的最大值与最小值分别是（ ） A．5，– 15 B．5，–4 C．– 4，– 15D．5，– 16 2．下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（）
①y=x3 ②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2x
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
根据函数极值的定义，①y'?3x2
?0,在x?0处无极值；④y'?2x
ln2?0，在x?0处无极值．
3．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )．
4．已知函数f(x)的导函数f?(x)满足f?(x)＞x（x?R），则（ ） A．f(2)?f(1)＞
32 B．f(2)?f(1)＜355
2 C．f(2)?f(1)＞2D．f(2)?f(1)＜2
构造函数g(x)?f(x)?12
2
x，则g?(x)?f?(x)?x∵f?(x)＞x ， ∴g?(x)＞0， ∴g(x)在R上递增， ∴
g(2)＞g(1)即f(2)?2＞f(1)?12
,∴f(2)?f(1)＞3
2,故选A.
5．已知
，则
= ( )
A. 3B.4C.3.5 D. 4.5
6．将标号为1,2,3,4,5的5张卡片放入3个不同的信封中,每个信封中至少放1张卡片,，其中标号为1,2的卡片不能放入同一信封中,则不同的放法有 ( )
A.72种 B.108种 C.114种 D.144种
第一步：先放标号为1,2的卡片，放法A2
3=6有种；第二步：放标号为3,4,5的卡片，放入3个不同的信封中有33
种放法，其中有一个空信封放法有22
种，所以第二步的放法共有33?23
?19种。故所求不同的放法有6?19?144种。 7．从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有( ). A．120个 B．480个 C．720个 D．840个
8．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（ ） A．
1310 B．310 C．5 D．9
10
（直接法）至少1个白球含恰有1个白球、恰有2个白球两种情况，概率为C2112
3C2C3C29
C3?C3
?； 5510（间接法）对立事件是3个都是红球的概率为C3
31
1C3?10
，则至少1个白球的概率为1?
?9，答案选D. 510101010
9
．1?x??的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（
）1?x?
?的展开式中第r?1项为
C
r
10
r
3r
x?
10?r
????1?x??
???1?rCr
5?3r10x2，当5?2为正整数时，r=0，2，∴项数为2.
（A）0 （B）2 （C）4 （D）6
10．某人练习射击，每次击中目标的概率为0．6，则他在五次射击中恰有四次击中目标的概率为（ ）
A．0.64
B．C4C55
4
5?0.64?(1?0.6)?5?0.65C．1?0.6 D．C5?0.64?(1?0.6)
11．甲、乙两名棋手比赛正在进行中，甲必须再胜2盘才最后获胜，乙必须再胜3盘才最后获胜，若甲、乙两人每盘取
胜的概率都是
1
2
，则甲最后获胜的概率是（ ）甲乙再打2局甲胜的概率1112?2?4；甲乙再打3局甲胜的概率
2?12?12?12?14；甲乙再打4局甲胜的概率3?(1311311
2)4?16 ，所以甲最后获胜的概率为4?4?16?16
，选B.
A．34 B．1116C．5D．9
8 16
2014-2015学年度高二理科数学训练题（20） 第 8 页 共 10 页
12．如果函数f(x)?
13
x3
?a2x满足：对于任意的x1,x2??0,1?，都有f(x1)?f(x2)?1恒成立，则a的取值范围（ ） A
．??B
．???????? ??C
．?????????? D
．(??????
当a?0时，f(x)?
13x3，函数f(x)为增函数，∴f(x)在[0,1]上f(x)1
max?3
，f(x)min?0， ∴|1?0|?1恒成立，符合题意，
当a?
f(x)?13x3?43x，f'(x)?x2
?43，函数f(x)在[0,1]上f'(x)?0，
∴函数f(x)在[0,1]上为减函数，∴f(1)min??1，f(0)max?0，∴|?1?0|?1恒成立，符合题意，所以综合上述情况，选A.
二、填空题13.e2 14.0.30 15．[?,] 16．???,2ln2?2?
13．函数f(x)?x2
?e
x?1
,x???2,1?的最大值为___________．
f'(x)?(2x?x2)ex?1?x(x?2)ex?1，当x??2时，f'(x)?0，此时f(x)单调递增；当?2?x?0时，f'(x)?0，
此时f(x)单调递减；当x?0时，f'(x)?0，此时f(x)单调递增。由此可知，f(x)在[?2,0]内单调递减，在[0,1]内
单调递增。因为f(?2)?4e
?e2
?f(1)，所以fmax(x)?f(1)?e2，故选C。
14．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则恰含1件二等品的概率是.（结果精确到0.01）___________．
这是一道古典概型问题，从100件产品中取4件的取法共有C4件二等品的取法数为C13
100种不同方法，恰有110C90
，因此所求概率为C1310C90
C4
?0.30. 100
15．若函数f(x)??x3?ax2
?x?1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是___________． 16．已知函数f?x??ex
?2x?a有零点，则a的取值范围是___________．
班级_______ 学号________ 姓名_______ 成绩_______
13、__________14、__________15、_______16、_______
三、解答题
17．（本小题满分12分）某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有A、B两个题目，该学生答对A、B两题的概率分别为
12、1
3
，两题全部答对方可进入面试．面试要回答甲、乙两个问题，该学生答对这两个问题的概率均为
1
2
，至少答对一题即可被聘用（假设每个环节的每个问题回答正确与否是相互独立的）． （I）求该学生被公司聘用的概率；
（II）设该学生答对题目的个数为?，求?的分布列和数学期望．
解：设答对A、B、甲、乙各题分别为事件A，B，C，D，则P(A)?12,P(B)?13,P(C)?P(D)?1
2
. （I）所求事件的概率为P(A?B)?[1?P(C?D)] ?11111
2?3?(1?2?2)?8
. ?
（II）?的取值为0，1，2，3，4，
P(??0)?P(A?B)?
12?23?13, P(??1)?P(A?B?A?B)?1?1?1?2?1
,
23232P(??2)?P(A?B)?P(C?D)?12?13?12?12?124, P
(??3)?P(A?B)?P(C?D?C?D)?111121
2?3?C2(2)?12,P(??4)?P(A?B)?P(C?D)?1111
2?3?(2)2?24
, ?
??的分布列为
?E??0??1??2??3??4
322412?24?1. ???
18．已知函数f(x)?x?a
x
?b(x?0)，其中a,b?R.
（1）若曲线y?f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y?3x?1，求函数f(x)的解析式； （2）讨论函数f(x)的单调性；
解：（1）f?(
x)?1?
a
x
2，由导数的几何意义得f?(2)?3，于是a??8由切点P(2，f(2))在直线y?3x?1上可得?2?b?7，解得b?9所以函数f(x)的解析式为f(x)?x?8
x
?9
（2）因为f?(x)?1?a
x
2当a?0时，显然f?(x)?0(x?0)，这时f(x)在(?∞，
0)，(0，∞?)内是增函数 当a?0时，令f?(x)?0，解得x? 当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)在?∞，?，?∞内是增函数，在(，(0内是减函数.......7分
19．在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1～4号的四名射箭运动员参加射箭比赛.
2014-2015学年度高二理科数学训练题（20） 第 9 页 共 10 页
（Ⅰ）通过抽签将他们安排到1～4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率； （Ⅱ）记1号、2号射箭运动员射箭的环数为?（?所有取值为0，1，2，3．．．，10）的概率分别为P1、P2.根据教
①1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中9环的概率；
②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由． （Ⅰ）
1
4
（Ⅱ）0.524，2号射箭运动员的射箭水平高.理由见解析。解：（Ⅰ）从4名运动员中任取两名，其靶位号与参赛号相同，有
种方法，另2名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有1种，所以恰有一名运动员所抽靶位号
与参赛号相同的概率为
（Ⅱ）①由表可知，两人各射击一次，都未击中9环的概率为P?
（1?0.3）（1?0.32）?0.476， ∴至少有一人命中9环的概率为p?1?0.476?0.524； ②
所以2号射箭运动员的射箭水平高. 20．已知函数f(x)?lnx?
12
ax2
?2x． （1）若函数f(x)在x?2处取得极值，求实数a的值； （2）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
（3）当a??
12时，关于x的方程f(x)??1
2x?b在?1,4?上有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围． 1）a??34；（2）a??1；（3）ln2?2?b??5
4
．
试题分析：（1）求出函数的导数f（'x）
，根据题意解关于a的等式f（'2）?0，即可得到实数a的值； 等价命题，建立关于b的不等式组并解之，即可得到实数b的取值范围． 试题解析：（1）由f?(2)?0可得a??
3
4
； （2）函数f(x)的定义域是(0,??)?函数f(x)在定义域内单调递增?f?(x)?
1
x
?ax?2?0在(0,??)上恒成立 即a?12xx0,??)上恒成立 ?1212
2?在(x
2?x?(x?1)?1 ?a??1
（3）可得b?lnx?1234x?2x，x??1,4?记g(x)?lnx?1234x?2x，x??1,4?
则g?(x)?1x3x2?3x?2
x?2?2?
2x
?0 ?x?1或x?2 ?x?(1,2)时，g?(x)?0；
x?(2,4)时，
g?(x)?0g(1)??5
4
，g(2)?ln2?2，
g(4)?2ln2?2?g(4)?g(1)??2ln2?2?(?535
4)?2ln2?4?0 ?ln2?2?b??4
21．已知函数f(x)?2x3
?3ax2
，g(x)?3x2
?6x，又函数f(x)在(0,1)单调递减，而在(1,??)单调递增． （１）求a的值；
（2）求M的最小值，使对?x1、x2???2,2?，有f(x1)?g(x2)?M成立；
（３）是否存在正实数m，使得h(x)?f(x)?mg(x)在(?2,2)上既有最大值又有最小值？若存在，求出m的取值范
围；若不存在，请说明理由.
解：（１）由题意知x?1是函数f(x)的一个极值点，即f'
(1)?0，∴6?6a?0，即a?1， 此时f(x)?2x3?3x2，f'(x)?6x2
?6x?6x(x?1)满足条件，∴a?1．???
（２）由f'
(x)?6x(x?1)?0得，x?0或x?1，列表可得， f(0)?0，f(1)??1，f(2)?4，f(?2)??28，∴当x?2,2?时，?28?f(x2?6x?3(x?1)2
1??1)?4；?又g(x)?3x?3，∴当x2???2,2?时，
?3?g(x2)?24；??因此，?52?f(x1)?g(x2)?7，∴f(x1)?g(x2)?52；
∴满足条件的M
的最小值为
52．（3）h(x)?f(x)?mg(x)?2x3
?3(m?1)x2
?6mx则
h'(x)?6x2?6(m?1)x?6m?6(x?1)(x?m)?0得x1?1,x2??m；?
?要使得存在正实数m，使得h(x)?f(x)?mg(x)在(?2,2)上既有最大值又有最小值，则必须?m??2，即
0?m?2，且满足??h(1)?h(?2)，得?m?1?
m?1?h(?m)?h(2)??m3?3m2?4?0，即??(m?1)(m?2)2
?0
∴m?1∴1?m?2即为所求
22．已知函数f(x)?2ax?a2?1
x2
?1
(x?R)，其中a?0． (1) 当a?1时，求曲线y?f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
2014-2015学年度高二理科数学训练题（20） 第 10 页 共 10 页
(2) 求函数f(x)的单调区间及在[?1，??)上的最大值．
解：（1）首先求得导函数f?(x)，然后求得切线斜率f?(1)，再利用点斜式求切线方程；（2）首先通过建立f?(x)，f(x)的变化情况如下表，然后确定出单调性，并确定出函数的极值，再与f(?1)的值进行比较，进而可求得最值．
（1）当a?1时，f(x)?2x，f(1)?1， 2x?1
2(x2?1)?4x22?2x2
又f?(x)?，则f?(1)?0． ?2222(x?1)(x?1)
所以曲线y?f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y?1?0． 2a(x2?1)?2x(2ax?a2?1)?2(x?a)(ax?1)(2) f?(x)?． ?2222(x?1)(x?1)
由于a?0，令f?(x)?0，得到x1??1，x2?a． a
当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
∴f(x)在区间?-?，??
?1??1?(a，+?),内为减函数，在区间?，a???内为增函数． a?a??
故函数f(x)在点x2?a处取得极大值f(a)，且f(a)?1．
?2a?a2?1?2a?a2?1?2a?a2?1?1＝∵f(?1)?，且f(?1)－f(a)＝＜0， 222
??)上的最大值为1． ∴f?x?在[?1，
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