抓好向量学习对学生能力的培养
抓好向量学习对学生能力的培养
在现实世界中存在着许许多多既有大小又有方向的量，如位移、速度、力和动量等，这些量必须用一种数学方法来表示，也就是向量。向量在数学、物理学以及许多生产实践中有着广泛的应用。在《新编高中数学教材》中增加平面和空间向量的学习，通过向量的学习，将使学生对量的数学表达的认识进入一个新的领域，同时学生对平面几何乃至立体几何的定理及有关性质的推导和证明，对解析几何有关问题的理解及应用，三角函数公式及其性质的来源、证明和运用等又达到了“质”的飞跃。20世纪初，人们把空间的性质与向量运算的联系使学生进一步领会数形结合和分类讨论等数学方法，成为一种优良的数学体系，并通过向量的实际应用培养学生空间想象力，思维能力，把实际问题转化为数学模型的能力。以下谈谈我在新教材的教学过程中的几点做法和体会：
一、 培养学生观察能力及建立数学模型的能力。
观察能力是学生获得数学知识的必要条件，只有培养学生敏锐细致的观察能力才能使他们及时发现问题，只有发现问题才能产生疑惑，才能提出问题，只有提出问题才能激发释疑的欲望，促使寻找分析与解决问题的决心和毅力。爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”。善于观察的人可以将常人熟视无睹的问题提出来，并加以研究解决。例如牛顿的“万有引力定律”是受观察苹果落地启发的。在平面几何中常用的定理在初中教学过程中都以“默认”的形式存在，学生是知其然而不知其所以然，因而数学意识并不强烈，让很多有意义的问题擦肩而过。在引入向量的知识后，因为“向量”具有几何形式和代数形式的“双重身份”，它可作为联系代数与几何的纽带，是中学数学知识的一个交汇点，以前学过的平面几何、三角函数等知识均能得到较充分的应用，可借助它解决部分定理的证明。因此在教学中我有意识在这里充分发挥，设计了一批例题，并加以实施，以其达到培养学生观察、分析、解决问题的能力，乃至提高建立数学模型的能力。
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（1）、运用向量方法解决平面几何问题，向量方法是借助向量的几何意义，把问题转化为向量的计算，通过向量计算达到求解目的，用向量方法解决几何问题，一方面体现向量的应用性，另一方面能在应用中达到对向量知识的理解与掌握。为此，我选择学生在初三熟知的一个定理，用通过向量的运算及其几何意义来解决：
例1、 求证：直径所对的圆周角为直角。
由于本例只须通过向量的运算便可得出结论，使学生得到很大的启发，既巩固了向量运算的方法，又明白了向量对于解决数学问题的作用。因尝到了甜头而提高了学习的兴趣。
（2）、运用向量运算解决平面几何中较难解决的证明题，进一步提高学生运用向量解决问题的潜意识。为此，我设计了另一个问题进行说教：
例2、 用向量证明三角形的三条中线共点。
分析：本题的意图是为了提高学生用向量证明平面几何命题的能力，在教学时启发学生，要证明三线共点，可转化为先证明三线中两线分别共点于G1，G2，然后再证明点G1与点G2重合。这样便可达到证明三线共点的目的。
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如图2所示，可设AD与BE相交于点G1，AD与CF相交于点G2，然后证明G1与G2点重合。
例3、 求证△ABC的三条高相交于一点。
证法1、设△ABC的AB、AC边高分别为CF、BE，它们交于点H，连接AH（如图3）
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为了培养多向思维，本题还可有如下证法。
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二、
1、 数学教学是数学活动的教学，因此，不要仅仅呈现数学的结论，也要关注知识产生的过程。数学知识产生的其中一种是归纳和类比的推理，因此在教学中，我注意启发学生运用归纳或类比推理的方法，从特殊前提想象猜测出一般结论，其中归纳想象是从个别的有限的事物推广到一般的无限的事物。类比想象是从个别事情想象到类似事情的认识，在数学中用这种归纳、类比的方法获得的猜想是最常用的方法。
例4、“正弦定理”的证明既是重点又是难点。因此我利用教材先从直角三角形（因为初三已有锐角三角函数的基础）的特殊情况推导出正弦定理的结论，具体的步骤是：利用向量知识证明正弦定理。
培养学生归纳和类比推理的能力。
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下面我再将在锐角三角形的正弦定理证明的教学过程再阐述一下：怎样引导学生运用向量的数量积与三角形的边长与三角函数联系起来呢？
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2、利用向量证明余弦定理
例5、如图5，在△ABC中，AB，BC，CA的长分别为c，a，b。
三、 培养学生数形结合的能力
由于建立直角坐标系，给出了向量的坐标表示式，由此导出了向量的加法、减法及实数与向量积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题架起了桥梁。通过这样的教学过程，使学生体验到成功的乐趣，建立学好数学的信心，又学到思考问题的方法，从而逐步提高推理的能力。引导学生大胆设想，借助辅助工具或辅助量将问题中的隐蔽条件明朗化，复杂条件简单化，化难为易，最终能解决问题。
例6、利用向量求证Cos(α-β)=Cosα·Cosβ+Sinα·Sinβ
分析：（1）、建立直角坐标系，利用数形结合方法把三角函数内容转化为直角坐标系中的向量计算问题；
（2）、利用单位圆的特殊性质，巧妙地简化解题的步骤。
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数学的概念、定理、公式、法则等方面的知识的教授无疑是数学教学中所必须的，教授教程中应加强学生思维能力的训练，把感知上升为理解和应用，引导学生自己去发现和掌握知识间内在联系的规律和逻辑关系，使其形成良好的数学认知结构。
学生学习数学知识是在原有的数学认知结构基础上将新知识纳入原有的认知结构中去，重新组织与发展认知结构的过程，在新教材中《向量》一章的引进，无疑是对学生的数学思维能力，创造能力培养有促进的作用。通过本章的教学，结合布置学生完成《实习作业》和《向量在物理中的应用》的研究性课题，使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，结合介绍“向量”在几何、机械、航海、测量等方面的应用，提高了数学建模的能力，使学生学会提出、分析、解决带有实际意义的或与相关学科（物理）、生产和日常生活中的数学问题，学会使用数学语言、数学概念表达问题，进行课堂中师生、生生之间的交流、互动，形成用数学的意识，进而达到全面提高学生数学素质的目的。
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