2014年北大数学金秋营
1、三角形?ABC满足：AB?AC?2R,R是外接圆半径，?A是钝角. A与三角形外接圆圆心的连线交BC于点D. 三角形ABD的内切圆半径为1，求三角形ADC的内切圆半径.
2、证明：a,b是正整数，则((a?2)2?3b2)((a?2)2?3b2)不是完全平方数.
3、ai,bi,ci(i?1,2,3,4)是实数，已知
444?i?1ai2?1,?i?1bi2?1,?i?1ci2?1. 444?i?1aibi?0,?i?1bici?0,?i?1ciai?0. 求证：a12?b12?c12?1.
4、令f(n)?n
5、对正整数n，称数组(?1,?2,?,?s)为n的一个（无序的）分拆，如果?1??2????s?n，
称每个?i为分拆的项. 记Po(n)为项全为奇数的n的分拆的集合，P?1??2????s，d(n)
为项两两不等的n的分拆的集合. 试在Po(n)与Pd(n)之间建立一个双射.
6、d是一个大于100的整数，M是所有在10进制下数码和为d的倍数的正整数的集合，nnn?nn?nn?1. 求所有的正整数n，使得f(n)是素数. nan是将M中的数从小到大排列的第n个数. 求证：存在无穷个n，使an?nd?n.
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