抽象函数
一考点.热点回顾
一、求表达式：
1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知
2.凑合法：在已知f(x)?2x?1,求f(x). x?1f(g(x))?h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
例4.已知
例5．一已知11f(x?)?x3?3xx，求f(x) f(x)二次实函数，且f(x?1)?f(x?1)?x2+2x+4,求f(x). y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?lg(x?1),求f(x) f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)?1， 求f(x),g(x). x?1
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5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出
例6：设
二、利用函数性质，解f(x)的表达式 f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x?1)?f(x)?f(y)?xy,及f(1)=1,求f(x) f(x)的有关问题
1.判断函数的奇偶性：
例7 已知
数。
2.确定参数的取值范围
例8：奇函数
3.解不定式的有关题目
例9：如果f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)?0,求证f(x)为偶函f(x)在定义域（-1，1）内递减，求满足f(1?m)?f(1?m2)?0的实数m的取值范围。 f(x)=ax2?bx?c对任意的t有f(2?t)?f2?t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小
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二 典型例题+拓展
1. 若函数f(2x?1)的定义域为??1,?,则函数f(log2x)的定义域为( ) A. ?1,2? B. ?1,2?
C. ?1
D.?1 ??????2?2??2???22. 若f(n?1)?f(n)?1(n?N*),且f(1)=2,则f(100)的值是( )
A．102 B．99 C．101 D．100
3. 定义R上的函数f(x
)满足：f(xy)?f(x)?f(y),且f(9)?8,则f?（ ）
A
B．2 C．4 D．
4. 定义在区间（-1，1）上的减函数f(x)满足：f(?x)??f(x)。若f(1?a)?f(1?a2)?0恒成
立，则实数a的取值范围是___________________.
5. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数x,y,都有:f(xy)?f(x)?f(y)成立.则不
等式f(log2x)?0的解集是_____________________.
6. 已知函数f(x)是定义在（-∞，3]上的减函数，已知f(a2?sinx)?f(a?1?cos2x)对x?R恒
成立，求实数a的取值范围。
7. 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b?R,都满足: ??3?2?
f(a?b)?af(b)?bf(a).
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(1)求f(0),f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
f(2?n)(n?N*),求数列{un}的前n项和sn. (3)若f(2)?2,un?n
8. 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，
（1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x)>1，求x的取值范围。
9. 已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m?n)?f(m)?f(n)?211,且f()?0,当22
x?1时, f(x)>0. 2
* (1)求f(1); (2)求和f(1)?f(2)?f(3)?...?f(n)(n?N);
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(3)判断函数f(x)的单调性,并证明.
10. 为R,并满足以下条件:①对任意x?R,有f(x)>0;②对任意x,y?R,有f(xy)?[f(x)]y;③
1f()?1. 3
(1)求f(0)的值;
(2)求证: f(x)在R上是单调减函数;
11. 已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m?n)?f(m)?f(n),且当x?0
时,0?f(x)?1.
(1)证明:f(0)?1,且x?0时,f(x)>1;(2)证明: f(x)在R上单调递减;
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22 (3)设A={(x,y)f(x)?f(y)?f(1)},B={(x,y)f(ax?y?2)?1,a?R},若 A?B=?,试确
定a的取值范围.
12. 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x?1对称.
(1)求f(0)的值 (2)证明: 函数f(x)是周期函数;
(3)若f(x)?x(0?x?1),求当x?R时,函数f(x)的解析式
13. 函数f(x)对于x>0有意义，且满足条件f(2)?1,f(xy)?f(x)?f(y),f(x)是减函数。
（1）证明：f(1)?0； （2）若f(x)?f(x?3)?2成立，求x的取值范围。
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14. 设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］
上，只有f(1)?f(3)?0．
（1）试判断函数y?f(x)的奇偶性；
（2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数， 并证明你的结论
1. 已知f（x）对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y)且f（1）=1求f（x）的解
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三 总结
四 课后练习
1：已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)＝1.
(1) 求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)解不等式 f(2x－1)<2.
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