求数列前N项和的方法

求数列前N项和的方法

1. 公式法

等差数列前n项和：

Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22

特别的，当前n项的个数为奇数时，S2k?1?(2k?1)?ak?1，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前n项和：

q=1时，Sn?na1

q?1，Sa1?1?qn?n?1?q，特别要注意对公比的讨论。 其他公式：

n

1、S1n

(n?1) 2、S1n??k?nn??k2?n(n?1)(2n?1) k?12k?16n

3、Sn??k3?[1n(n?1)]2

k?12

[例1] 已知log?1

3x?log3，求x?x2?x3?????xn????的前n项和. 2

解：由log?1

3x?log?log?log1

3x?32?x? 232

由等比数列求和公式得Sn?x?x2?x3?????xn用常用公式）

1n(11

＝x(1?x)?n)

1?x＝＝1－1

1?12n

2

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)?Sn

(n?32)S的最大值.

n?1

解：由等差数列求和公式得 S1

n?2n(n?1)， S1

n?1?2(n?1)(n?2)

用常用公式）

∴ f(n)?Snn

(n?32)S＝2

n?1n?34n?64（利（利

＝

1n?34?

64n

＝

(n?

18n

?

)2?50

1 50

∴ 当

n?

81，即n＝8时，f(n)max?

502. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………①

解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{x通项之积

设

n?1

}的

xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn

………………………. ②

（设制错位）

①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn

（错位相减）

1?xn?1

?(2n?1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?

1?x

(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)

∴ Sn? 2

(1?x)

[例4] 求数列

2462n

,2,3,???,n,???前n项的和. 2222

2n1

解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积

222462n

设Sn??2?3?????n…………………………………①

2222

12462nSn?2?3?4?????n?1………………………………② 22222

（设制错位）

①

－

②

得

1222222n

(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1

22222221?2n 2n?1

（错位相减）

?2?

2n?1

∴ Sn?4?

练习： n?2 2n?1

求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1

解：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 ①

①两边同乘以x，得

x Sn=x+5 x2+9x3+······+(4n-3)xn ②

①-②得，（1-x）Sn=1+4（x+ x2+x3+······+ xn）-（4n-3）xn

n 当x=1时，Sn=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-n 当x≠1时，Sn4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）x]

3. 反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），

再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).

[例5] 求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值

解：设S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?…………. ①

将①式右边反序得

2?2?2?3?sin2?sin1 S?sin289??sin288??????sin…………..②

（反序）

又因为 sinx?cos(90?x),sinx?cosx?1

①+②?22得 （反序相加）

2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89

∴ S＝44.5

4. 分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个

等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例6] 求数列的前n项和：1?1,111?4,2?7,???,n?1?3n?2，… aaa

111解：设Sn?(1?1)?(?4)?(2?7)?????(n?1?3n?2) aaa

将其每一项拆开再重新组合得

Sn?(1?

（分组） 111?2?????n?1)?(1?4?7?????3n?2)aaa

(3n?1)n(3n?1)n＝ （ 分22 Sn?n?当a＝1时，

组求和）

1

n(3n?1)na?a1?n(3n?1)n?当a?1时，Sn?＝ ?a?1221?a1?

[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设ak?k(k?1)(2k?1)?2k3?3k2?k

∴ Sn??k(k?1)(2k?1)＝?(2k

k?1k?1nn3?3k2?k)

将其每一项拆开再重新组合得

n

Sn＝2?k?3?k??k 32

k?1k?1k?1nn

（分组）

＝2(1?2?????n)?3(1?2?????n)?(1?2?????n) 333222

＝n2(n?1)2n(n?1)(2n?1)n(n?1)?? 222

（分组求和）

n(n?1)2(n?2) ＝ 2

练习：求数列12,24,38,???,(n?2n),???的前n项和。

1111解：Sn?1?2?3?????(n?n)2482

1111?(1?2?3?????n)?(?2?3?????n)2222 11?n(n?1)?1?n221111

5. 裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

sin1?

（1）an?f(n?1)?f(n)（2）?tan(n?1)??tann? ??cosncos(n?1)

111(2n)2111??（3）an? （4）an??1?(?) n(n?1)nn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1

（5）an?1111?[?] n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)

n?212(n?1)?n1111 ?n??n??,则S?1?nn(n?1)2n(n?1)2n?2n?1(n?1)2n(n?1)2n(6) an?

[例9] 求数列1

1?2,1

2?：,???,1n??1设,???的前n项和. 1

n?n?1解an??n?1?n

（裂项）

则 Sn?1

1?2?1

2?3?????1

n?n?1

（裂项求和）

＝(2?)?(?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

[例10] 在数列{an}中，an?

n项的和.

解： ∵ an?

12n2??????，又bn?，求数列{bn}的前n?1n?1n?1an?an?112nn??????? n?1n?1n?12 ∴ bn?211?8(?) nn?1?22

（裂项）

∴ 数列{bn}的前n项和

Sn?8[(1?)?(?)?(?)?????(1

21213131411?)] nn?1

（裂项求和）

＝8(1?18n) ＝ n?1n?1

111cos1?

???????[例11] 求证： cos0?cos1?cos1?cos2?cos88?cos89?sin21?

解：设S?111?????? cos0?cos1?cos1?cos2?cos88?cos89?

∵sin1?

?tan(n?1)??tann? ??cosncos(n?1)

（裂项）

∴S?111?????? cos0?cos1?cos1?cos2?cos88?cos89?

（裂项求和）

＝

1????????{(tan1?tan0)?(tan2?tan1)?(tan3?tan2)?[tan89?tan88]} ?sin1

cos1?11???(tan89?tan0)＝?cot1＝2? ＝??sin1sin1sin1

∴ 原等式成立

练习：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。

11111111??????31535631?33?55?77?9

11111111111?(1?)?(?)?(?)?(?)23235257279

1?1111111???(1?)?(?)?(?)?(?)?2?3355779?

114?(1?)?299解：?

6. 合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的

和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ cosn???cos(180??n?) （找特殊性质项）

∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合

并求和）

＝ 0

[例13] 数列{an}：a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an，求S2002. 解：设S2002＝a1?a2?a3?????a2002

由a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an可得

a4??1,a5??3,a6??2,

a7?1,a8?3,a9?2,a10??1,a11??3,a12??2,

……

a6k?1?1,a6k?2?3,a6k?3?2,a6k?4??1,a6k?5??3,a6k?6??2 ∵ a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4?a6k?5?a6k?6?0 （找特殊性质项）

∴ S2002＝a1?a2?a3?????a2002 （合并求和）

＝

(a1?a2?a3????a6)?(a7?a8????a12)?????(a6k?1?a6k?2?????a6k?6)

?????(a1993?a1994?????a1998)?a1999?a2000?a2001?a2002 ＝a1999?a2000?a2001?a2002

＝a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4

＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.

解：设Sn?log3a1?log3a2?????log3a10

由等比数列的性质 m?n?p?q?aman?apaq （找特

殊性质项）

和对数的运算性质 logaM?logaN?logaM?N 得

Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6)

＝log39?log39?????log39

＝10

7. 利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项

揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求1?11?111?????111????1之和. ??

n个1

解：由于111???1????

k个111k?999???9?(10?1) （找通?????99k个1

项及特征）

∴ 1?11?111?????111????1 ??

n个1

＝11111(10?1)?(102?1)?(103?1)?????(10n?1) 9999

（分组求和） ＝111(10?102?103?????10n)?(1?1??1??????1) ???99??

n个1

110(10n?1)n? ＝?910?19

＝

1(10n?1?10?9n) 81

?8[例16] 已知数列{an}：an?,求?(n?1)(an?an?1)的值. (n?1)(n?3)n?1

解：∵ (n?1)(an?an?1)?8(n?1)[11?] （找通(n?1)(n?3)(n?2)(n?4)

项及特征）

＝8?[11?] (n?2)(n?4)(n?3)(n?4)

（设制分组）

＝4?(1111?)?8(?) n?2n?4n?3n?4

（裂项）

?1111∴ ?(n?1)(an?an?1)?4?(?)?8?(?) （分组、n?4n?4n?1n?1n?2n?1n?3??

裂项求和）

＝4?(?)?8?

＝13141 413 3

练习：求5，55，555，…，的前n项和。

解：∵an=(10-1) n

∴Sn = =5 95 9(10… + 5 9(10-1) 3n23n[（10+10+10+……+10）-n]

（10n＋1-9n-10） = 5 81

以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结

构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基

本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

求数列通项公式的八种方法

一、公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项

二、累加、累乘法

1、累加法 适用于：an?1?an?f(n)

a2?a1?f(1)

若an?1?an?f(n)(n?2)，则 a3?a2?f(2)

? ?

an?1?an?f(n)

两边分别相加得 an?1?a1??f(n)

k?1n

例1 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1

(n?1)n?2?(n?1)?12

?(n?1)(n?1)?1

?n2

所以数列{an}的通项公式为an?n2。

例2 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解法一：由an?1?an?2?3n?1得an?1?an?2?3n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???32?31)?(n?1)?3

3(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3

?3n?3?n?1?3

?3n?n?1

所以an?3n?n?1.

解法二：an?1?3an?2?3n?1两边除以3n?1，得

则an?1an21???， 3n?13n33n?1an?1an21???，故 n?1nn?13333

ananan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?(?)?(?)?(?)???(?1)?nnn?2n?2n?3233an?1an?1333333

212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)???(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2???2)?1333333 1n?1(1?3)an2(n?1)n2n11因此n?， ??1???n331?3322?3

则an?211?n?3n??3n?. 322

2、累乘法 适用于： an?1?f(n)an 若an?1aaa?f(n)，则2?f(1)3?f(2)，??n?1?f(n) ana1a2an

nan?1两边分别相乘得，?a1??f(k) a1k?1

例3 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：因为an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，所以an?0，则an?1?2(n?1)5n，故an

an?anan?1aa????3?2?a1an?1an?2a2a1

?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]???[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3 ?2n?1[n(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3

?3?2n?1n(n?1)2?5?n!

n?1所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)

2?n!.

三、待定系数法 适用于an?1?qan?f(n) 分析：通过凑配可转化为an?1??1f(n)??2[an??1f(n)]; 解题基本步骤：

1、确定f(n)

2、设等比数列?an??1f(n)?，公比为?2

3、列出关系式an?1??1f(n)??2[an??1f(n)]

4、比较系数求?1，?2

5、解得数列?an??1f(n)?的通项公式

6、解得数列?an?的通项公式 例4 已知数列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式。 解法一：?an?2an?1?1(n?2), ?an?1?2(an?1?1) 又?a1?1?2,??an?1?是首项为2，公比为2的等比数列 ?an?1?2n，即an?2n?1 解法二：?an?2an?1?1(n?2), ?an?1?2an?1 两式相减得an?1?an?2(an?an?1)(n?2)，故数列?an?1?an?是首项为2，公比

为2的等比数列，再用累加法的…… 例5 已知数列{an}满足an?1?2an?4?3n?1，a1?1，求数列?an?的通项公式。

解法一：设an?1??13n??2(an???3n?1)，比较系数得?1??4,?2?2，

则数列an?4?3n?1是首项为a1?4?31?1??5，公比为2的等比数列， 所以an?4?3n?1??5?2n?1，即an?4?3n?1?5?2n?1

解法二： 两边同时除以3n?1得：??an?12an4??n?2，下面解法略 n?13333

注意：例6 已知数列{an}满足an?1?2an?3n2?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z) 比较系数得x?3,y?10,z?18，

所以an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18) 由a1?3?12?10?1?18?1?31?32?0，得an?3n2?10n?18?0 an?1?3(n?1)2?10(n?1)?182则，故数列?2{a?3n?10n?18}为以n2an?3n?10n?18

a1?3?12?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比的等比数列，因此an?3n2?10n?18?32?2n?1，则an?2n?4?3n2?10n?18。 注意：形如an?2?pan?1?qan 时将an作为f(n)求解

分析：原递推式可化为an?2??an?1?(p??)(an?1??an) 的形式，比较系数可求得?，数列?an?1??an?为等比数列。

例7 已知数列{an}满足an?2?5an?1?6an,a1??1,a2?2，求数列{an}的通项公式。 解：设an?2??an?1?(5??)(an?1??an)

比较系数得???3或???2，不妨取???2，

则an?2?2an?1?3(an?1?2an)，则?an?1?2an?是首项为4，公比为3的等比数列 ?an?1?2an?4?3n?1，所以an?4?3n?1?5?2n?1

四、迭代法

例8 已知数列{a3(n?1)2n

n}满足an?1?an，a1?5，求数列{an}的通项公式。

解：因为a3(n?1)2n

n?1?an，所以

a3n?2n?1

n?an??[a3(n?1)?2n?23n?2n?1?a32(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)

1n?2]n?2

?[a3(n?2)?2n?332(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)

n?3]

?a33(n?2)(n?1)n?2(n?3)?(n?2)?(n?1)

n?3

??

?a3n?1?2?3??(n?2)?(n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)

1

n(n?1)

?a3n?1?n!?22

1

n(n?1)

又a1?5，所以数列{an}的通项公式为a?1?n!?22

n?53n。

注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

五、变性转化法

1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式

例9 已知数列{a?3n?a5

n}满足an?1?2n，a1?7，求数列{an}的通项公式。

解：因为a2?3n?a5

n?1?n，a1?7，所以an?0，an?1?0。

两边取常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y) （同类型四） 比较系数得， x?lg3

4,y?lg3lg2

16?4 由lgalg3

4?1?lg3lg2lg3lg3lg2

1?16?4?lg7?4?1?16?4?0，得

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