2015-2016学年江苏省扬州市江都区大桥高中高一（下）第一次
月考数学试卷
一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．求值sin17°cos47°﹣sin73°cos43°=
2．在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，则A=．
3．在△ABC中，a=3，b=2，cosC=，则S△ABC=．
=． 4．若sin（α+β）=p，sin（α﹣β）=q，则
5．设sin（+θ）=，则sin2θ=．
6．Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1+a2=4，a9+a10=36，则S10=．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d等于．
8．在等比数列{an}中，an＞0，且a3a5+a2a10+2a4a6=100，则a4+a6的值为．
9．若数列{an}满a1=1， =，a8=
10．已知sinα=，α∈（，π），则=
11．已知等比数列{an}中，公比q＞1，且a1+a4=9，a2a3=8，则=． 12．如果满足∠ABC=60°，AB=8，AC=k的△ABC只有两个，那么k的取值范围是． 13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：
①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；
②若==，△ABC为等边三角形；
③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；
④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．
其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）．
14．已知等比数列{an}中a1=1，a4=8，在an与an+1两项之间依次插入2n﹣1个正整数，得到数列{bn}，即：a1，1，a2，2，3，a3，4，5，6，7，a4，8，9，10，11，12，13，14，15，a5，…则数列{bn}的前2016项之和S2016=（用数字作答）．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．计算
（1）
1
（2）
16．设函数f（x）=． （1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=2，a=
求b，c的长．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若cos（A+）=sinA，求A的值； ，b+c=3，b＞c，
（2）若cosA=，4b=c，求sinB的值．
18．如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°．若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险？
19．已知{an}是递增的等差数列，满足a2?a4=3，a1+a5=4．
（1） 求数列{an}的通项公式和前n项和公式；
（2） 设数列{bn}对n∈N*均有成立，求数列{bn}的通项公式． 20．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a2=1，bn=nSn+（n+2）an，数列{bn}是公差为d的等差数列，n∈N*．
（1）求d的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）求证：
．
2
2015-2016学年江苏省扬州市江都区大桥高中高一（下）
第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．求值sin17°cos47°﹣sin73°cos43°=
【考点】
三角函数的化简求值．
【分析】
根据诱导公式将sin17
°
化为cos73
°，cos47°化为sin43°再由两角差的正弦公式化简求值．
【解答】解：sin17°cos47°﹣sin73°cos43°，
=cos73°sin43°﹣sin73°cos43°，
=sin（43°﹣73°），
=sin（﹣30°），
=﹣．
故答案是：．
2．在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，则A=60°．
【考点】余弦定理．
【分析】利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc，
∴根据余弦定理得：cosA=
又A为三角形的内角，
则A=60°．
故答案为：60°
3．在△ABC中，a=3，b=2，cosC=，则S△ABC=4． ==，
【考点】同角三角函数间的基本关系；三角形的面积公式．
【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出sinC的值，进而由三角形的面积公式得出答案．
【解答】解：∵cosC=，C∈（0，π）
∴sinC==
3
∴S△ABC=absinC=×
故答案为：4
=4
4．若sin（α+β）=p，sin（α﹣β）=q，则=
．
【考点】
两角和与差的正弦函数．
【分析】分别展开两角和与差的三角函数，联立方程组求解sin
α
cos
β、
cos
αsin
β
，然后作比
得答案． 【解答】解：由sin（
α
+
β
）=p，得sinαcosβ+cosαsinβ=p ①，
由sin（α﹣β）=q，得sinαcosβ﹣cosαsinβ=q ②，
联立①②解得：，两式作比可得： =．
故答案为：
5．设sin（． +θ）=，则sin2θ=．
【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．
【分析】利用两角和的正弦公式可得
由此解得 sin2θ的值．
【解答】解：∵sin（
解得 sin2θ=﹣，
故答案为﹣．
6．Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1+a2=4，a9+a10=36，则S10=．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】先根据a1+a2=4，a9+a10=36可得到a1+a20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案．
【解答】解：∵a1+a2=4，a9+a10=36，
∴a1+a2+a9+a10=2（a1+a10）=4+36=40
∴a1+a10=20，
∴S10===100， +θ）=，即 +=，平方可得 +sin2θ=，+=，平方可得 +sin2θ=，
故答案为：100
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d等于2．
【考点】等差数列的前n项和．
4
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=6，S3=12，
∴，
解得a1=2，d=2．
故答案为：2．
8．在等比数列{an}中，an＞0，且a3a5+a2a10+2a4a6=100，则a4+a6的值为 10 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由已知得=（a4+a6）2=100，由此能求出a4+a6的值．
【解答】解：∵在等比数列{an}中，an＞0，且a3a5+a2a10+2a4a6=100，
∴
∴a4+a6=10．
故答案为：10．
9．若数列{an}满a1=1， =，a8=
．
=（a4+a6）2=100，
【考点】
数列递推式；数列的函数特性．
【分析】
利用累乘法可得
a
8=
，代入数值即可得到答案．
【解答】
解：
a
8
=
故答案为：．
10．已知sinα=，α∈（，π），则==， =．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】根据角的范围，求出cosα的值，再利用二倍角的公式求出cos2α．利用两角和的正弦函数化简，即可求出结果．
【解答】解：∵sinα=，α∈（
∴cosα=﹣=﹣，
=， ，π）， ∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×
5
sin（α+）=sinα+cosα=﹣=，
∴==，
故答案为：．
11．已知等比数列{an}中，公比q＞1，且a1+a4=9，a2a3=8，则= 4 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由等比数列{an}的性质可得：a2a3=8=a1a4，又公比q＞1，且a1+a4=9，联立解出q，即可得出．
【解答】解：由等比数列{an}的性质可得：a2a3=8=a1a4，又公比q＞1，且a1+a4=9， 解得a1=1，a4=8，
∴q3=8，解得q=2．
则=q2=4，
故答案为：4．
12．AB=8，AC=k的△ABC只有两个，如果满足∠ABC=60°，那么k的取值范围是
4
．
【考点】
解三角形．
【分析】根据正弦定理用k表示出sinC，由∠ABC推出C的范围，然后根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinC的范围，进而求出k的取值范围．
【解答】解：由正弦定理得： =，即 =，
变形得：sinC=，
由题意得：如图，满足条件的△ABC有两个，
必须BC两点关于BC上的高对称，
即当C∈（60°，90°）∪（90°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，
所以＜＜1，解得：4＜k＜8，
则a的取值范围是（ 4，8）．
故答案为：（ 4，8）．
6
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：
①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；
②若==，△ABC为等边三角形；
③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；
④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．
其中，结论正确的编号为 ①④ （写出所有正确结论的编号）．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①由正弦定理，将角转化为边的关系，进而判断，角的正弦值之间的关系．②由正弦定理，得出角的正弦值与余弦值之间的关系，从而求出角，A，B，C的大小． ③利用两角和的正切公式，将不等式进行化简，然后进行判断．④根据边角关系，判断三角形解的个数．
【解答】解：①在三角形中，A＞B＞C，得a＞b＞c．，由正弦定理
知sinA＞sinB＞sinC，所以①正确．
②由正弦定理条件知，，即sinBcosC=cosBsinC，所以可sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，
解得B=C． 所以△ABC为等腰三角形，所以②错误．
③若A、B、C有一个为直角时不成立，
若A、B、C都不为直角
因为A+B=π﹣C，
所以tan（A+B）=tan（π﹣C）
即=﹣tanC，
则tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC
所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
即③错误．
④因为
有两解．所以④正确．
故答案为：①④．
，即asinB＜b＜a，所以，△ABC必
7
14．已知等比数列{an}中a1=1，a4=8，在an与an+1两项之间依次插入2n﹣1个正整数，得到数列{bn}，即：a1，1，a2，2，3，a3，4，5，6，7，a4，8，9，10，11，12，13，14，15，a5，…则数列{bn}的前2016项之和S2016=2035183．
【考点】数列的求和．
【分析】在数列{bn}中，到an项共有=n+（1+2+…+2n﹣2）=n+=2n﹣1+n﹣1
项，即为f（n）（n≥2）．则f（11）=210+11﹣1=1034，f（12）=211+12﹣1=2059．即可得出．
【解答】解：在数列{bn}中，到an项共有n+（1+2+…+2n﹣2）=n+
﹣1项，即为f（n）（n≥2）．
则f（11）=210+11﹣1=1034，f（12）=211+12﹣1=2059．
设等比数{an}的公比为q，由a1=1，a4=8，得1×q3=8，解得q=2，
因此S2016=a1+a2+…+a10+a11+1+2+3+…+2016=+=2035183． =2n﹣1+n故答案为：2035183．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．计算
（1）
（2）
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）由tan（70°﹣10°）==，可得tan70°﹣tan10°= ． （1+tan70°tan10°），代入所求代数式即可得出．
（2）利用同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．
【解答】解：（1）由tan（70°﹣10°）=
∴tan70°﹣tan10°==， （1+tan70°tan10°），代入所求代数式得：
=
=
（2）原式=
=
==． +﹣2cos40° ﹣2cos40°
﹣2cos40°
8
=﹣2cos40°
=
16．设函数f（x）===2． （1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=2，a=
求b，c的长．
【考点】解三角形；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（1）==，b+c=3，b＞c，，故周期T=π．
（2）由f （A）=2，求得A的值，由余弦定理可得b2+c2﹣bc=3，再由b2+c2+2bc=9，可得bc=2，根据题中条件求出b，c的长．
【解答】解：（1）
∴周期T=π．
（2）f （A）=2，即
∵a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，
∴b2+c2﹣bc=3，
又b2+c2+2bc=9，∴bc=2，b+c=3，b＞c，解得． ， ==，
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若cos（A+）=sinA，求A的值；
（2）若cosA=，4b=c，求sinB的值．
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）在△ABC中，由cos（A+）=sinA，求得 tanA=，从而得到 A的值．
4b=c，（2）若cosA=，由余弦定理可得 a=
的值，再由正弦定理求得sinB的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，若cos（A+
化简可得b，利用同角三角函数的基本关系求得sinA）=sinA，则有 cosAcos，所以A=﹣sinAsin．
b．
=sinA， cosA=sinA，显然，cosA≠0，故 tanA=（2）若cosA=，4b=c，由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc?cosA，解得 a=
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由于sinA==，再由正弦定理可得，解得sinB=．
18．如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°．若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险？
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】由条件求得∠ACB=150°，BC=8，过B作AC的垂线垂足为D，在△BCD中，求得BD=4＞3.8，从而得出结论．
【解答】解：在△ABC中，∵∠BAC=15°，∠ACB=150°，AC=8，可得：∠ABC=15°． ∴BC=8，过B作AC的垂线垂足为D，在△BCD中，求得BD=BC?sin30°=4．
∵4＞3.8，∴没有危险．
19．已知{an}是递增的等差数列，满足a2?a4=3，a1+a5=4．
（1） 求数列{an}的通项公式和前n项和公式；
（2） 设数列{bn}对n∈N*均有成立，求数列{bn}的通项公式．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（1）先由a2?a4=3，a1+a5=4．求出a2和a4进而求得公差以及其通项公式，再代入等差数列的求和公式即可求前n项和公式；
（2）先由，得n≥2时，作差可得bn的通项（n≥2），再检验b1即可求数列{bn}的通项公式．
【解答】解：（1）∵a1+a5=a2+a4=4，再由a2?a4=3，
可解得a2=1，a4=3或a2=3，a4=1（舍去）
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∵，
∴an=1+1?（n﹣2）=n﹣1，
（2）由，
当n≥2时，
两式相减得
∴bn=3n（n≥2）①
当n=1时，，
∵a2=1，∴b1=3，适合①
∴bn=3n．
20．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a2=1，bn=nSn+（n+2）an，数列{bn}是公差为d的等差数列，n∈N*．
（1）求d的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）求证：．
【考点】数列与不等式的综合；基本不等式；等差数列的通项公式．
【分析】（1）根据a1=a2=1，bn=nSn+（n+2）an，求出数列{bn}的前两项，即可求得数列的公差；
（2）先求数列{bn}的通项公式，进而再利用条件，两式相减，即可求得数列{an}的通项公式；
（3）先利用基本不等式，得出
【解答】解：（1）∵a1=a2=1，bn=nSn+（n+2）an，
∴b1=S1+3a1，b2=2S2+4a2，
∴d=b2﹣b1=4
（2）∵数列{bn}是公差为4的等差数列，b1=4
∴bn=4n
∵bn=nSn+（n+2）an，
∴4n=nSn+（n+2）an，
∴①
，进而相乘，即可证明．
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当n≥2时，①﹣②：∴ ② ∴ ∴= ∵a1=1，∴（3）∵ ∴ ∴
∴
∵n=1，
∴等号不成立 ∴
③
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