第十九届（1977年）
南斯拉夫 贝尔格莱德（Belgrade，Yugoslavia）
1. 等边三角形ABK、BCL、CDM、DAN在正方形ABCD内。证明KL、LM、MN、NK四条线段的中点和AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN这八条线段的中点是一个正十二边形的十二个顶点。（荷兰）
2. 在一个实数的无限数列中，任意七个连续项的和是负数，任意十一个连续项的和是正数。判断这个数列里最大的数。（越南）
3. 给定n为大于2的一个整数，设Vn是整数1+kn（k=1,2，…）的集合。一个属于Vn的数m，如果不存在p、q∈Vn使得pq=m的话就称作m在Vn中不可分解。证明存在一个数r∈Vn可以有多种方式表示成在Vn中不可分解的数的积（乘积中若仅仅是因数的顺序不同视为同一种分解）。（荷兰）
4. 已知四个实常量a、b、A、B，以及f(?)?1?acos??bsin??Acos2??Bsin2?。求证：如果f(θ)≥0对所有的实数θ都成立，那么有a2+b2≤2和A2+B2≤1。（英国）
5. 已知a、b为正整数。当a2+b2除以a+b后，商为q，余数为r。找到所有的使得q2+r=1977的正整数对(a,b)。（民主德国）
6. 已知f(n)是一个定义域和值域都为正整数集的函数。证明如果对于每个正整数n都有f(n+1)>f(f (n))，那么对于每个n都有f(n)=n。（保加利亚）
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