2016年江苏省镇江市高考数学一模试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程．
1．若全集为U=R，A={x|x2﹣x＞0}，则?UA=．
2．i为虚数单位，计算=
3．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为．
4．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是．
5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是
6．已知向量=（﹣2，1），=（1，0），则|2+|=
7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=1﹣log2x，则不等式f（x）＜0的解集是．
8．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：
①若b?α，c∥α，则b∥c；
②若b?α，b∥c，则c∥α；
③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；
④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．
其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）
9． 以抛物线y2=4x的焦点为焦点，以直线y=±x为渐近线的双曲线标准方程为．10．一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为cm，则圆锥的体积是 cm3．
11．函数y=asin（ax+θ）（a＞0，θ≠0）图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为．
12．Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=
1
13．函数，若方程f（x）=kx﹣k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 ．
14．已知sin36°=cos54°，可求得cos2016°的值为 ．
二、解题题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图：四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．
（1）求证：AM∥平面PBC；
（2）求证：CD⊥PA．
16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量=（a﹣c，b+c），=（b﹣c，a），且∥．
（1）求B；
（2）若b=，cos（A+）=，求a．
17．如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，距离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域． （1）设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值； （2）为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．
18．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，左顶点为A（﹣3，0），圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切．
（1）求椭圆方程；
（2）求圆O方程；
（3）B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系．
2
19．已知数列{an}的各项都为自然数，前n项和为Sn，且存在整数λ，使得对任意正整数n都有Sn=（1+λ）an﹣λ恒成立．
（1）求λ值，使得数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}为等比数列，此时存在正整数k，当1≤k＜j时，有
20．已知函数f（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2a+1]ex．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设x＞0，2a∈[3，m+1]，f（x）≥b2a﹣1恒成立，求正数b的范围． ai=2016，求k．
[选修4-1：几何证明选讲]
21．在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P．求证：
AP?AN+BP?BM=AB2．
[选修4-2：矩阵与变换]
22．求矩阵的特征值及对应的特征向量．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设x，y均为正数，且x＞y，求证：x+≥y+3．
25．如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．
（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；
（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．
3
26．证明：对一切正整数n，5n+2?3n﹣1+1能被8整除．
4
2016年江苏省镇江市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程．
1．若全集为U=R，A={x|x2﹣x＞0}，则?UA=．
【考点】补集及其运算．
【分析】求解一元一次不等式化简集合A，然后直接利用补集运算求解．
【解答】解：由集合A={x|x2﹣x＞0}=（﹣∞，0）∪（1，+∞），
又U=R，所以?UA=[0，1]．，
故答案为：[0，1]．
2．i为虚数单位，计算=
﹣
i
． 【考点】
复数代数形式的乘除运算．
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解： =．
故答案为：﹣i．
3．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为 ．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数和摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出摸到的2球颜色不同的概率．
【解答】解：箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球， 基本事件总数n==10，
=6， 摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数m=
∴摸到的2球颜色不同的概率p=
故答案为：．
．
4．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是1
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．
5
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线的截距最小，
此时z最小，
由，解得，
即C（1，﹣1），此时z=1×2﹣1=1，
故答案为：1．
5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是240．
【考点】程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=0时，满足条件n＜2，退出循环，输出S的值，利用等差数列的求和公式即可计算得解．
【解答】解：执行程序框图，有
n=30
S=0
不满足条件n＜2，S=30，n=28
不满足条件n＜2，S=30+28，
n=26
6
不满足条件n＜2，S=30+28+26，n=24
…
不满足条件n＜2，S=30+28+26+…+4，n=2
不满足条件n＜2，S=30+28+26+…+4+2，n=0
满足条件n＜2，退出循环，输出S=30+28+26+…+4+2=
故答案为：240．
6．已知向量=（﹣2，1），=（1，0），则|2+|=
【考点】
平面向量数量积的运算．
【分析】可进行向量坐标的加法和数乘运算求出向量
的值．
【解答】解：
∴． ； =240．
．
的坐标，从而便可得出
故答案为：．
7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=1﹣log2x，则不等式f（x）＜0的解集是 （﹣2，0）∪（2，+∞） ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】求出当x＞0时，f（x）＞0和f（x）＜0的解集，利用奇函数的对称性得出当x＜0时，f（x）＜0的解集，从而得出f（x）＜0的解集．
【解答】解：当x＞0，令f（x）＜0，即1﹣log2x＜0，解得x＞2．
令f（x）＞0即1﹣log2x＞0，解得0＜x＜2．
∵f（x）是奇函数，
∴当x＜0时，f（x）＜0的解为﹣2＜x＜0．
故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
8．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：
①若b?α，c∥α，则b∥c；
②若b?α，b∥c，则c∥α；
③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；
④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．
其中正确的命题是 ④ ．（写出所有正确命题的序号）
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】由题设条件，对四个选项逐一判断即可，①选项用线线平行的条件进行判断；②选项用线面平行的条件判断；③选项用线面垂直的条件进行判断；④选项用面面垂直的条件进行判断，
【解答】解：①选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面； ②选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行； ③选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；
④选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．
7
其中正确的命题是④．
故答案为：④．
9．以抛物线y2=4x的焦点为焦点，以直线y=±x为渐近线的双曲线标准方程为
=1
【考点】
抛物线的简单性质．
【分析】设以直线y=±
x为渐近线的双曲线的方程，再由双曲线经过抛物线y2=4x焦点F（1，0），能求出双曲线方程．
【解答】解：设以直线y=±x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），
∵双曲线经过抛物线y2=4x焦点F（1，0），
∴λ+λ=1，
∴λ=
∴双曲线方程为： =1．
故答案为： =1．
10．一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为
cm3．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． cm，则圆锥的体积是
【分析】根据面积比计算圆锥的母线长，得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则S侧面积=πrl=，S底面积=πr2=3π．
=2×3π，解得l=2． ∴
∴圆锥的高h=
∴圆锥的体积V==3． ==3π．
故答案为：3π．
11．函数y=asin（ax+θ）（a＞0，θ≠0）图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用勾股定理即可求出图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值．
8
【解答】解：如图所示， 函数y=asin（ax+θ）（a＞0，θ≠0）图象上的一个最高点M 和其相邻最低点N的距离的最小值为：
|MN|==≥=2， 当且仅当4a2=
故答案为：2
，即a=． 时取“=”．
12．Sn是等差数列{an}的前n项和，若
【考点】
等差数列的前
n项和．
，则=
【分析】
利用等差数列的通项公式及前n项和公式推导出
a1=d，由此能求出的值．
【解答】解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，， ∴===，
∴3a1=2a1+d，
∴a1=d，
∴===．
故答案为：．
9
13．函数，若方程f（x）=kx﹣k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为
．
【考点】
根的存在性及根的个数判断． 【分析】作出
f
（x
）的图象，利用数形结合建立条件关系进行求解即可．
【解答】
解：作出函数
f
（x
）的图象如图：
y=kx﹣k=k（x﹣1），过定点A（1，0），
当x=﹣时，f（﹣）=，即B（﹣，），
当直线经过点B（﹣，）时，f（x）与y=kx﹣k有两个不相同的交点，
此时=k（﹣﹣1）=﹣k，
即k=﹣，
当x＞0时，由f（x）=kx﹣k得x2﹣x=kx﹣k，
即x2﹣（1+k）x+k=0，
若此时f（x）=kx﹣k有两个不相等的实数根，
则
即k＞1，
综上k＞1或k=﹣，
故答案为： ，
14．已知sin36°=cos54°，可求得cos2016°的值为【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】利用诱导公式即可化简求值． ．
10
【解答】解：∵sin36°=cos54°
?2sin18°cos18°=cos（18°+18°+18°）
?2sin18°cos18°=cos（18°+18°）cos18°﹣sin（18°+18°）sin18°
?2sin18°cos18°=（2cos218°﹣1）cos18°﹣2sin218°cos18°
?2sin18°cos18°=2cos318°﹣cos18°﹣2sin218°cos18°
?2sin18°=2cos218°﹣1﹣2sin218°
?4sin218°+2sin18°﹣1=0
?sin18°==，
∴cos2016°=cos=﹣cos36°=2sin218°﹣1=﹣
故答案为：﹣． ．
二、解题题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图：四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．
（1）求证：AM∥平面PBC；
（2）求证：CD⊥PA．
【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）推导出四边形ABCM是平行四边形，从而AM∥BC，由此能证明AM∥平面PBC．
（2）由PD=PC，点M是CD的中点，得PM⊥CD，由AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，得CD⊥AM，从而CD⊥平面PAM，由此能证明CD⊥PA．
【解答】证明：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点，
∴ABCM，∴四边形ABCM是平行四边形，
∴AM∥BC，
∵AM?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AM∥平面PBC．
（2）∵PD=PC，点M是CD的中点，
∴PM⊥CD，
∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，
∴CD⊥AM，
∵PM∩AM=M，
11
∴CD⊥平面PAM，
∵PA?平面PAM，
∴CD⊥PA．
16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量=（a﹣c，b+c），=（b﹣c，a），且∥．
（1）求B；
（2）若b=，cos（A+）=，求a．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理．
【分析】（1）根据向量的平行和余弦定理即可求出B；
（2）根据同角的三角函数的关系以及两角和差的正弦公式和正弦定理即可求出．
【解答】解：（1）因为∥，所以a2+c2﹣b2=ac，
因为cosB=
因为B∈（0，π）
所以B=．
∈（，），
）=
，
=， ， ==， （2）因为A+cos（A+）=，所以sin（A+）﹣]=所以sinA=sin[（A+在△ABC中，由正弦定理可得：
解得a=1．
17．如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，距离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域． （1）设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值； （2）为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．
12
【考点】解三角形．
【分析】（1）连结OA，OB，利用余弦定理求出AB，根据圆的性质求出AB的最值，列出不等式求出α的范围；使用作差法求出弓形的面积；
CD的垂线段OE，OF，（2）过O分别作AB，设AB=x，根据勾股定理和垂径定理求出CD，
AB+CD是关于x的函数，利用导数求出该函数的最小值．
【解答】解：（1）连结OA，OB，则∠AOB=α，OA=OB=10，在△AOB中，由余弦定理得AB==．
=10，当AB过圆心O时，AB∵OP=5，∴当OP⊥AB时，AB取得最小值2
取得最大值20，
∴10≤≤20，解得﹣1≤cosα≤﹣．∴
﹣≤α≤π．∴α的最小值为 ．=S扇形OAB﹣S△AOB=较小区域面积S（α）
（α）=50﹣50cosα＞0，
∴S（α）在[，π]上是增函数，∴Smin（α）=S（=50α﹣50sinα．∴S′）=﹣25（km2）．
，DF=，（2）过O分别作AB，CD的垂线段OE，OF，则四边形OEPF是矩形，AE=
设AB=x，则OE==，
∴OF=PE==，∴DF==，
∴CD=2DF=2=．
∴AB+CD=x+．∴（AB+CD）2=700+2x=700+2．
或x=令f（x）=700x2﹣x4，则f′（x）=1400x﹣4x3，令f′（x）=0得x=0（舍）或x=
﹣（舍）．
当10≤x＜时，f′（x）＞0，当＜x≤20时，f′（x）＜0．
∴f（x）在[10，]上是增函数，在[，20]上是减函数．
∵f（10）=120000，f（20）=120000，∴f（x）的最小值为120000．
∴（AB+CD）2的最小值是700+2
值是10+20（km）．
=700+400=（10+20）2，∴AB+CD的最小
13
18．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，左顶点为A（﹣3，0），圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切．
（1）求椭圆方程；
（2）求圆O方程；
（3）B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到椭圆的方程； （2）设圆O的方程为x2+y2=r2，由圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切，可设直线EF：x=r，代入椭圆方程，求得E的坐标，再由直线AE和圆相切的条件：d=r，解方程即可得到圆O的方程；
（3）设切线的方程为y=kx+，由直线和圆相切的条件：d=r，求得k，代入椭圆方程，解方程可得M的坐标，N的坐标，求得直线MN的方程，求得O到直线MN的距离，即可判断MN和圆O的为位置关系．
【解答】解：（1）由题意可得a=3，e==
解得c=
可得b=， =， ，
即有椭圆的方程为+=1；
（2）设圆O的方程为x2+y2=r2，
由圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切，
可设直线EF：x=r，代入椭圆方程，解得E（r，），
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