丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二） 2015.5
数学（理科）
第一部分 （选择题共40分）
选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知A?{xx?1}，B?{xx2?2x?0}，则A?B? (A){xx?0或x?1} (B) {x1?x?2} (C){xx?0或x?1}(D) {xx?0}
2．“a=0”是“复数z?a?bi(a，b∈R)为纯虚数”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
3．直线y?x?4与曲线y?x2?x?1所围成的封闭图形的面积为 (A) 22 3(B) 28 3(C) 32 3(D) 34 3
1,x?0,f(x)?4．
函数的所有零点的和等于 2cosx?1,?2??x?0??
(A) 1??? (C) 1?? 3? 2?(D) 1? 2(B) 1?正视图5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为
(A) 6 (C) 3 ????????????????俯视图?6．平面向量a与b的夹角是，且a?1，b?2，如果AB?a?b，AC?a?3b，3????D 是BC的中点，那么AD?
(A) 9 23(D)2(B)
(B) (C) 3 (D) 6 7．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A，B，C三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨
则每周最高产值是(A) 30 (C) 47.5 (B) 40 (D) 52.5
8．抛物线y2?4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x
轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l
于K，如果|AF|?|BF|，那么△AKF的面积是
(A) 4
(B) (C) (D) 8
第二部分 （非选择题 共110分）
一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知正实数x，y满足xy?3，则2x?y的最小值是．
?x?2?2cos?,l10．直线的斜率是?1，且过曲线
?（?为参数）的对称中心，则直线l的
?y?3?2sin?
方程是 ．
11．已知函数f(x)?1sin2x?2x，则f(x)的最小正周期是 ；如果f(x)的导函2
?数是f?(x)，则f?()? ． 6
12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是
13．如图所示，△ABC内接于⊙O，PA是⊙O的切线，PB?PA，BE?PE?2PD?4，则PA?_____，AC? ．
14. 已知非空集合A，B满足以下四个条件：
①A?B?{1,2,3,4,5,6,7}；②A?B??；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．
（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么A?______；
（ⅱ）有序集合对（A，B）的个数是______．
二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
在△ABC中，A?30，BC?2，点D在AB边上，且?BCD为锐角，CD?2，△BCD的面积为4．
（Ⅰ）求cos?BCD的值； （Ⅱ）求边AC的长．
16.（本小题共13分）
长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．
A班 B班 （Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时
长的平均值；
9 0
（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据
3 1 1 1 2 为“过度用网”的概率；
（Ⅲ）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为?，写出?的分布列和数学期望E?．
17.（本小题共14分）
如图所示，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?底面ABCD，BD?AC于O,且AA1?OC?2OA?4，点M是棱CC1上一点．
（Ⅰ）如果过A1，B1，O的平面与底面ABCD交于直线l，求证：l//AB； （Ⅱ）当M是棱CC1中点时，求证：AO ?DM；1
A1
B1
D1
?
4
0 7
2 3
1 6
5 7
?
，当（Ⅲ）设二面角A1?BD?M的平面角为
cos??时，求CM的长．
25
C1
A
B
M
D
C
18.（本小题共13分）
?2an?1,n?2k,已知数列{an}满足a1?10，an??(k?N*)，其前n项和为
??1?log2an?1,n?2k?1
Sn．
（Ⅰ）写出a3，a4；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）求Sn的最大值．
19.（本小题共14分）
x2y2
已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正ab
三角形的三个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）动点P在椭圆C上，直线l：x?4与x轴交于点N，PM?l于点M（M，N不重合），试问在x轴上是否存在定点T，使得?PTN的平分线过PM中点，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由．
20.（本小题共13分） 已知函数f(x)?lnax?1 (a?0). x
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；
（Ⅱ）如果关于x的方程lnx?1?bx有两解，写出b的取值范围（只需写出结论）；
*（Ⅲ）证明：当k?N且k?2时，lnk1111?????????lnk． 2234k
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（二）
数 学（理科）参考答案
一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． 10．x?y?5?0 11．?；?1
12．
21 13．4； 14．{6}；32 22
注：第11，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
二、解答题：
15.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）因为S?BCD?1BC?CD?sin
?BCD?4，2
所以sin?BCD?25． 5
以
． ????????o6分
222因为?BCD为锐角， 所c?BCD??55（Ⅱ）在?BCD中，因为DB?CD?BC?2CD?BC?cos?BCD，
所以DB?4．
因为DB?CD?BC，
所以?CDB?90?． 222
所以?ACD为直角三角形．
?因为A?30，所以AC?2CD?4，即AC?4． ????????
13分
16.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）A班样本数据的平均值为1(9?11?13?20?24?37)?19， 6
由此估计A班学生每周平均上网时间19小时；
B班样本数据的平均值为1(11?12?21?25?27?36)?22， 6
22小由此估计B班学生每周平均上网时间
时． ????????2分
（Ⅱ）因为从A班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是1， 3
所以从A班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为
1P?C2(1?3?． ) ( ???????2
349)
?5分
（Ⅲ）?的可能取值为0，1，2，3，4．
22112211C4C32C4C2C3?C4C3C326， P(??0)?22?， P(??1)??22C6C625C6C675
22221111C2C3?C4C3?C4C2C3C331， P(??2)??22C6C675
21111222C2C3C2C3C3?C4C2C3111， ． P(??4)??P(??3)??2222C6C675C6C675
?的分布列是：
E??0?
??13分 226311115?1??2??3??4??． ??????25757575753
17.（本小题共14分）
证明：（Ⅰ）因为ABCD?A1B1C1D1是棱柱，所以A1B1BA是平行四边形．
所以A1B1//AB．
因为A1B1?平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以A1B1//平面ABCD．
因为平面A1B1O?平面ABCD?l，
B所以l//A1B1． 所以l//AB．??????4分
（Ⅱ）因为DB?AC于O，如图建立空间直角坐标系．
因为AA1?4，且OC?2AO?4，
所以O(0,0,0)，C(4,0,0)，A(?2,0,0)，
A1(?2,0,4)．
因为M是棱CC1中点，所以M(4,0,2)． ?????????设D(0,b,0)，所以DM?(4,?b,2)，OA1?(?2,0,4)．
所以?1??8?0?8?0．
所以AO?DM． ????????8分 1
（Ⅲ）设D(0,b,0)，B(0,c,0)，平面A1BD的法向量为?(x,y,z)，
?????????又因为AD?(2,b,?4)，AB11?(2,c,?4)，
?????????m?A1D?0?2x?by?4z?0??所以???????．
??m?A1B?0?2x?cy?4z?0
??因为b?c，所以y?0，令z?1，则x?2，所以m?(2,0,1)．
?????????设M(4,0,h)，所以MD?(?4,b,?h)，MB?(?4,c,?h)．
?设平面MBD的法向量为n?(x1,y1,z1)，
????????n?MD?0??4x1?by1?hz1?0??所以 ??????． ?4x?cy?hz?0111??n?MB?0?
?hh因为b?c，所以y1?0，令z1?1，则x1??，所以n?(?,0,1)． 44
又因为cos??
，
???
???
m?n
所以cos?m,n????
nm
解得h?3或h?
7
． 6
7
所以点M(4,0,3)或M(4,0,)．
6
CM?3所以
CM?
18.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）因为a1?10，
所以a2?2a1?210，
或
7
． ????????14分 6
a3??1?log2a2??1?log2210?9，
a4?29?512． ??????
??3分
（Ⅱ）当n为奇数时，an??1?log2an?1??1?log22
即an?an?2??1．
所以{an}的奇数项成首项为a1?10，公差为?1的等差数列． 所以当n为奇数时，an?a1?(
an?2
?an?2?1，
n?121?n
)?(?1)?． 22
a当n为偶数时，an?2n?1?2
所以
21?(n?1)2
?2
11?
n2
，
?11?n
2
?2,n?2k,an??(k?N*) ????????10分
21?n?,n?2k?1.?2
（Ⅲ）因为偶数项an?2
11?
n2
?0，奇数项an?
21?n
为递减数列， 2
所以Sn取最大值时n为偶数．令a2k?a2k?1?0(k?N)， 即2所以2
11?k
*11?k
?
21?2k?1
?0． 2
?k?11．
得k?11．
所以Sn的最大值为S22?(2?2???2?2)?(10?9???0)?2102．
???????10910
?13分
19.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为椭圆C的焦距2c?2，
所以c?1． 因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，
所以b?
a2．
所以椭圆C的标准方程x2
4?y2
3?1． ????????4分
（Ⅱ）假设存在点T，使得?PTN的平分线过PM中点．
设P(x0,y0)，T(t,0)，PM的中点为S．
因为PM?l于点M（M，N不重合），且?PTN的平分线过S， 所以?PTS??STN??PST． 又因为S为PM的中点， 所以PT?PS?1
2PM．
1
?2x0?4．
2
因为点P在椭圆C上，所以y2
0?3(1?x4)，
代入上式可得 2x2
0(1?t)?(t?1)?0．
因为对于任意的动点P，?PTN的平分线都过S，
所以此式对任意x0?(?2,2)都成立．
所以??1?t?0
2， ?t?1?0
解得t?1． 所以存在定点T，使得?PTN的平分线过PM中点，
此时定点T的坐标(． 1 ????????14分
20.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）函数的定义域为{xx?0}． 为为
因为f(x)?lnax?1
x， 所以f?(x)??lnax
x2．
因为a?0，所以当f?(x)?0时，x?1
a．当x?(0,1
a)时，f?(x)?0，f(x)在(0,1
a)上单调递增；
当 x?(1
a,??)时，f?(x)?0，f(x)在(1
a,??)上单调递减．
所以当x?1
a时f(1
最大值?a?． f (????????)a6分
（Ⅱ）当0?b?1时，方程lx?n?b1有x解．????????8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得lnx?1
x?1，变形得1?x?ln1
x，当x?1等号成立．所以
1?1
2?ln2，
1?2
3?ln3
2，
??
1?k?1
k?lnk
k?1，
所以得到 当k?N*且k?2时1
2?3?1
4???????1?k?lnk． 1????????10分
由（Ⅰ）得 lnx?1
x?1，变形得 lnx?x?1，当x?1等号成立．所以
ln33
2?2?1，
ln4
3?4
3?1，
ln55
4?4?1，
??
lnk?1k
k??1
k?1，
所以得到 当k?N*且k?2时，lnk?111
2?2?3?1
4????????1
k． 又因为lnkk?
2?ln1
2， ，两，
所以当k?N*且k?2时，lk1?n2
2?1k3?11k． ?????????l?n13?分 4?????
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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