2015年呼伦贝尔市高考模拟统一考试(二)
数 学 (理工类)
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号，填写在答题卡内的相关空格上．
3.第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
4.第Ⅱ卷每题的答案填写在答题卡相应题号下的空格内．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1
．已知P??,Q??yy?sin?,??R?，则?P?Q（ ）
A.? B. ?0? C.??
1,0?D.?
2．已知复数z???3?i，则的虚部为（） 3i
A.?3B.3C.3iD.?3i
3．已知倾斜角为?的直线l与直线x－2y+2=0平行，则tan 2?的值为（ ）
A．4 5
6B．3 4C．2 3 D．4
3
x?xe?eA．f(x)?cosx B
．f(x)?lgxD．f(x)? 2
正视侧视
俯视
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．12 B． 24 C．40 D．72
7．如图所示，点A(1,0)，B是曲线y?3x2?1上一点，向矩形OABC内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（ ） A.1121 B. C. D. 3245
8．已知矩形ABCD,E、F分别是BC、AD的中点，且BC?2AB?2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，则三棱锥A?FEC的外接球的体积为（ ）
B
D. ?x?2y?1≥0,?9．已知不等式组?x≤2,表示的平面区域为D，若函数y?x?1?m的图像上存在区域D上的
?x?y?1≥0?
点，则实数m的取值范围是（ ） A.[0,] B.[?2,] C.[?1,] D.[?2,1] 222
10.函数f?x??sin??x???????0,?113??
2??若其图象向右平移?的最小正周期是?，?个单位后得到的3
函数为奇函数，则函数f?x?的图象（ ）
???对称 D．关于?A．关于点(,0)对称 B．关于x??对称 C．关于点?,0?x?对称 ?6612?12?
11. 已知双曲线c：，以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卷相应位置上）
(?0)m?13．若随机变量X~N（1，4），Px，则P(0?x?2)_____.
14. 过抛物线y2?4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点．若AB中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为_____.
??15．已知向量a?(1,2n)，b?(m?n,m)(m?0,n?0)，若a?b?1，则m?n的最小值为_____ ??
2216.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a?c?2b且tanA?3tanC，则b=_____.
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列?an?，满足a1?a3?a5?12.，且a1，a5，a17成等比数列.
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
111 1 （Ⅱ）设bn＝，证明：≤bn＜1． anan＋1a2n－12
18.(本小题满分12分)
如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱长均相等，E是BC的中点，
点F在侧棱CC1上，且CC1?4CF
（Ⅰ）求证：EF⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角C?AF?E的余弦值．
19．(本小题满分12分)
“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.
（Ⅰ）若某人接受挑战后，对其他3个人发出邀请，记这3个人中接受挑战的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；
（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某机构进行了随机抽样调查，得到如下2?2列联表：
2
0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？ 附：??
2
n?ad?bc?
a?bc?da?cb?d
20．（本小题满分12分）
如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y?4x的焦点重合，过F2且于x轴垂直的直线 与椭圆交于S,T，与抛物线交于C，D两点，且CD?.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设P为椭圆上一点，若过点M(2,0)的直线l与椭圆相交于不同两点A和B，
2
y
D
S
2
x
T
C
????????????
且满足OA?OB?tOP（O为坐标原点），求实数t的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)?ln(x?a)?x?x,g(x)?x?e?x?1(x?0),且f(x)点x?1处取得极值． （Ⅰ）若关于x的方程f(x)??（Ⅱ）证明：g(x)?f(x)．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号。
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知PA与圆O相切于点A
，经过点O的割线PBC交圆O于 点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E （Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED； PC
（Ⅱ）若AC=AP，求的值。
PA
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
2
x
2
5
x?b在区间[1,3]上有解，求b的取值范围； 2
P
xAB?y??C??xM,|t
|??x????y??? 已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建
（是参数）. 立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:
（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且
（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求,试求实数m值. 的取值范围.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．
（Ⅰ）若f（x）≤a恒成立，求a的取值范围；
2（Ⅱ）解不等式f（x）≥x﹣2x．
2015年呼伦贝尔市高考模拟统一考试(二)答案
数 学 (理工类)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.1?2m 14.12 15.3?1 16.4 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列?an?，满足a1?a3?a5?12.，且a1，a5，a17成等比数列. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
111 1 （Ⅱ）设bn＝，证明：≤bn＜1．
anan＋1a2n－12
解：（Ⅰ）?a1?a3?a5?12,?3a3?12，?a3?4. ----------2分
?a1,a5,a17成等比数列，?a5?a1a17,
2
?(4?2d)?(4?2d)(4?14d),?d?0，解得d?1 ----------4分
2
?an?a3?(n?3)d?4?(n?3)?n?1；
所以数列{an}的通项公式为：an?n?1,n?N*----------5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知
111111bn＝＋＋?＋，bn＋1＝＋?＋
n＋1n＋22nn＋2n＋32n＋2
11111
因为bn＋1－bn＝＝＞0，
2n＋12n＋2n＋12n＋12n＋
2
1
所以数列{bn}单调递增． bn≥b1．
2
111111n
又bn＝＋?＋＋1，
n＋1n＋22nn＋1n＋1n＋1n＋1 1
因此bn＜1．
218.(本小题满分12分)
如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱长均相等，E是BC的中点， 点F在侧棱CC1上，且CC1?4CF
----------9分
----------??12分
（Ⅰ）求证：EF⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角C?AF?E的余弦值．
解：（I）方法(一)如图，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，
底面ABC?侧面A1C,所以EN?侧面A1C所以NF? A1C，
在Rt?CNE中，CN?CEcos60?=1，得NF//AC1，
又AC1?A1C故NF?AC1, A1C?平面NEF 所以 EF?A1C ----------5分 方法(二):
以点A为原点,AC为y轴,AA1为z轴建立空间直角坐标系A-xyz，则由已知可
得A(0,0,0),BC(0,4,0),A1(0,0,4),EF(0,4,1),
????????
????????CA?(0,?4,4),EF?(,1).则CA1?EF?(0,?4,4)?(,1)?0?4?4?0, 于是1
故EF?A1C ----------5分
（II）设平面AEF的一个法向量为m?(x,y,z)，
则由（I）得?(3,3,0)?(0,4,1) 于是由?,?可得
???0?3x?3y?0 即 ? 取m?(,?1,4) ??4y?z?0???0
又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为?(1,0,0)，
cos??3 ----------12分 ?21019．(本小题满分12分)
“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.
（Ⅰ）若某人接受挑战后，对其他3个人发出邀请，记这3个人中接受挑战的人数为ξ，求ξ的分
布列和期望；
（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某机构进行了随机抽样调查，得到如下2?2列
2根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？
附：?2?n?ad?bc?
a?bc?d
a?cb?d 解：（Ⅰ）随即变量?的所有可能值为0,1,2,3
01C3C313P(??0)?3? P(??1)?3? 8822
3C323C31P(?
?2)?3? P(??3)?3?∴随即变量?的分布列是 8822
E(?)?0?+1?+2?+3?= ---------- 6分 88882
n?ad?bc?2（Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关， 根据2?2列联表，得到?2的观测值为：
k?a?bc?da?cb?d?100??45?15?25?15?
60?40?70?302?25?1.79
． 10分 14
（说明：k表示成K2不扣分）．
因为1.79?2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”． ------------12分
20．（本题满分12分） y如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y?4x的焦点重合，过F2且于x轴垂直的直线与 椭圆交于S,T，与抛物线交于C，D两点，且CD?. 2DS2xT
C
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设P为椭圆上一点，若过点M(2,0)的直线l与椭圆相交于不同两点A和B，
????????????且满足OA?OB?tOP（O为坐标原点），求实数t的取值范围.
2x2y2y?4x的焦点为解：（Ⅰ）设椭圆标准方程 2?2?1,(a?b?0)由题意，抛物线ab
F2(1,0),CD?4.
因为CD?,
所以ST? ----------2分
2b2b2b2
又S(1,)，T(1,?
)，ST??又c2?1?
a2?b2,?a?b?1. aaa
x2
所以椭圆的标准方程?y2?1. ----------4分 2
（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?k(x?2).
22?x?2y?2削去y，得(1?2k2)x2?8k2x?8k2?2?0设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，则由??y?k(x?2)
x1,x2是方程(?)的两根，所以
??(8k2)2?4(1?2k2)(8k2?2)?0即2k2?1，① 8k2?x1?x2?tx0 且x1?x2?，由，得OA?OB?tOP?1?2k2
?y1?y2?ty0
若t=0，则P点与原点重合,与题意不符，故t≠0
?118k2
x0?(x1?x2)???2? ----------9分 tt1?2k??y0?1(y1?y2)?1??k(x1?x2)?4k??1??4k
?ttt1?2k2?
因为点P(x0,y0)在椭圆上，所以
12?x0?2y0?2t22?8k2
232k2? ??()?? 21?2k(1?2k2)2??
124k?2k1t??1?8(1?2k2)21?2k2
再由①得 42
11又t≠0, 0?t2?82
?t?(?2,0)?(0,2)
21.（本题满分12分） ----------12分
已知函数f(x)?ln(x?a)?x2?x,g(x)?x?ex?x2?1(x?0),且f(x)点x?1处取得极值． （Ⅰ）若关于x的方程f(x)??5
2x?b在区间[1,3]上有解，求b的取值范围；
（Ⅱ）证明：g(x)?f(x)．
解：（Ⅰ）∵f(x)?ln(x?a)?x2?x， ∴f'(x)?1
x?a?2x?1
∵函数f(x)?ln(x?a)?x2?x在点x?1处取得极值，
∴f'(1)?0，即当x?1时1
x?a?2x?1?0， ∴1
1?a?1?0，则得a?0.经检验符合题意 -------- 2分 ∵f(x)??5
2x?b,∴lnx?x2?x??5
2x?b, ∴lnx?x2?7
2x?b.
令h(x)?lnx?x2?717(4x?1)(x?2)
2x(x?0), 则h'(x)?x?2x?2??2x.
∴当x??1,3?时，h'(x),h(x)随x的变化情况表：
计算得：h(1)?5
2，h(3)?ln3?3
2?52，h(2)?ln2?3，?h(x)???5
?2,ln2?3???
所以b的取值范围为??5,ln2?3??
?2?。 -------- 6分
（Ⅱ）证明：令F?x??g(x)?f(x)?x?ex?lnx?x?1?x?0?，
则F??x???x?1??ex?1?x?1?
x?1?x??x?ex?1?，
令G(x)?x?ex?1，则 ?G?(x)??x?1??ex?0(x?0)，
?函数G(x)在?0,???递增，G(x)在?0,???上的零点最多一个
又?G(0)??1?0，G(1)?e?1?0，?存在唯一的c??0,1?使得G(c)?0， -------- 9分
2
?yx??l
C?Mx|t2d??,?x?2??y???且当x??0,c?时，G?x??0；当x??c,???时，G?x??0.
即当x??0,c?时，F??x??0；当x??c,???时，F??x??0.
?F(x)在?0,c?递减，在?c,???递增，从而F?x??F?c??c?ec?lnc?c?1. 由G(c)?0得c?ec?1?0即c?ec?1，两边取对数得：lnc?c?0，?F?c??0，
?F?x??F?c??0，从而证得g(x)?f(x). ------------12分
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲
如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC
的平分线分别交AB、AC于点D、E，
PC（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值。 PA
22．解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE. ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE.∴∠ADE=∠AED --------5分
PCAC（Ⅱ）由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴?APC∽?BPA,=, PAAB
∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC,由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180o,
∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90o,∴∠C+∠APC+∠BAP=90o,
ACPC∴∠C=∠APC=∠BAP=30o,在Rt?ABC中3,∴3 -----------10分 ABPA23.（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:（是参数）. P （Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且
（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求,试求实数m值. 的取值范围.
化为直角坐标方程为:
圆心(2,0)到直线的距离为 ： 23.解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是 直线的直角坐标方程为: 圆心到直线l的距离（弦心距）
?x?1m?3C?xy?|?y|2M?0?,m2?22?|m?2|?1
? 或 ----------5分 （Ⅱ）曲线的方程可化为（x?2)2?y2?4，其参数方程为
?x?2?2cos?(?为参数） ??y?2sin?
为曲线
上任意一点，x?y?2????
4)
的取值范围是[2?? -----------10分
24.（本题满分10分）选修4—5；不等式选讲
24.已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．
（Ⅰ）若f（x）≤a恒成立，求a的取值范围；
2
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