高三数学（理科）测试题
注意事项：
1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间为120分钟，满分150分．
2.把选择题选出的答案标号涂在答题卡上．
3.第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题纸规定的位置作答，否则不予评分．
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将正确答案填写在答题卷相应位置．
1.已知i是虚数单位，则3?i=（ ） 1?i
A.1?2iB.2?iC.2?iD.1?2i
2.若集合A?{x|x?0},B?{x|x2?2x},则A?B?（ ） x?1
A.{x|0?x?1}B.{x|0?x?1}
C.{x|0?x?1}D.{x|0?x?1}
3．若α，β是第一象限的角，“α>β”是“sinα>sinβ”的 ()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4. 已知函数f(x?1)是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)?sinx?x，
设a＝f(?) ，b?f(3)，c?f(0)，则a、b、c的
大小关系为()
A．b<a<c B．c<a<b
C．b<c<a D．a<b<c
正视图
12 2 5．一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为（ ）
A.9?B.
侧视图 28?
3
俯视图
C.8?D.7?
6. 已知?an?是首项为1的等比数列，sn是?an?的前n项和，且9s3?s6，则数列?
为（ ） A. ?1??的前5项和a?n?15313115或5B. 或5 C. D. 816168
7. 执行右面的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8．从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位
置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是( )
A. 1142 B. C. D. 3293
x2y2
??1，随着a的增大该9．已知焦点在x轴上的椭圆方程为4aa2?1
椭圆的形状（ ）
A. 越扁B.越接近于圆
C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆
10．右图是某果园的平面图，实线部分DE、DF、EF游客观赏道路，
其中曲线部分EF是以AB为直径的半圆上的一段弧，点O为圆心，?ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB＝2千米，?EOA＝?FOB＝2x(0?x??
4),若游客在路线DE、DF上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”y是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映y与x的函数关系的是（ ）
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知9?3,
12．（algx?a, 则x?_________. 123?x2）的展开式中的常数项为a，则直线y?ax与曲线y?x围成图形的面积为_________. x
?x2,(x?0),13．已知f(x)??，若f[f(x0)]?3，则x0?________. ?2sinx,(0?x??)?
?2x?y?2?0,?14．设x,y满足约束条件?8x?y?4?0,若目标函数z?4ax?by(a?0,b?0)的最大值为8，则a
?x?0,y?0,?
=_________时，1a?取得最小值. 2ab
????15．在平面直角坐标系中，O为原点，A(?1,0),B(0,),C(3,0)，动点D满足 CD?1，则
????????????OA?OB?OD的最大值是__________.
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过
程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）在?ABC中，三个内角A，B，C的对边分别
BA
图6
为a，b，c，其中c?2，
且
(Ⅰ)求a，b，C.
cosAb. ??
cosBa︿
(Ⅱ)如图，设圆O过A,B,C三点，点P位于劣弧AC上，记?PAB??，求?PAC面积最大值. 17．（本小题满分12分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：
（2）购买基金：
（Ⅰ）当p=
时，求q的值； 4
4
，求p的取值范围； 5
（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于
（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p=
11
，q=，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期26
望较大？给出结果并说明理由．
18．(本小题满分12分) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足8Sn?an2?4an?3,且a2是a1和a7的等比中项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ) 符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记bn?[log2(19．(本小题满分12分)在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面
an?3
)]，求b1?b2?b3??b2n. 4
CC1
ABB1A1为矩形，AB?2，AA1?D是AA1的中
点，BD与AB1交于点O，且CO?平面ABB1A1.
1
1
(Ⅰ)证明：BC?AB1；
(Ⅱ)若OC?OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.
x2y2
??1上不关于坐标轴对称的两个点，20．(本小题满分13分) 设A,B是椭圆W: 直线AB交x43
轴于点M（与点A,B不重合），O为坐标原点.
（Ⅰ）如果点M是椭圆W的右焦点，线段MB的中点在y轴上，求直线AB的方程；
?????????（Ⅱ）设N为x轴上一点，且OM?ON?4，直线AN与椭圆W的另外一个交点为C，证明：点
B与点C关于x轴对称.
21．(本小题满分14分) 已知函数f(x)?1?ln(x?1)(x?0)． x
（1）函数f(x)在区间(0,??)上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）当x?0时，f(x)?k恒成立，求整数k的最大值； x?1
2n?3（3）试证明：(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)???(1?n(n?1))?e（n?N*）
高三数学（理科）测试题参考答案
一、选择：1-10：DADAB CDCBA
二、填空：11、； 12、
三、解答：
16、（1)由正弦定理得9?2?2； 13、或； 14、 15、4 2333cosAsinB， ?cosBsinA
整理为sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B
又因为0?2A,2B?2? ∴2A?2B或2A?2B??，即A?B或A?B??
2
∵b? ∴A?B舍去，故A?B? ?a2
由A?B??
2可知C??
2，∴?ABC是直角三角形
(2)由(1)及c?2，得a?
1，b?， ?7分
设?PAB??(?
6????
2)，则?PAC????
6，
在Rt?PAB中，PA?AB?cos??2cos? 所以
S?PAC?1?1?PA?AC?sin(??)??2?cos?
sin(??)???sin(??
?) 26266
??(sin?13
cos??)?cos?sin?
2? 2231?cos2?1?sin2?
?2??cos2?)
422?
?????5?因为???所以?2???， ??)662666
当2???
6??
2，即???
3时，S?
PAC17．（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且
三种投资结果相互独立，
所以p+115+q=1.又因为p=， 所以q= ． 3412
（Ⅱ）解：记事件A为 “甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事
件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，
则C=ABUABUAB，且A，B独立.
由上表可知， P(A)=1，P(B)=p. 2
所以P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB) =1?(12p)+1?p2111?p =+p. 222
3 因为P(C)=1+1p>4， 所以p>. 5225
1 又因为p++q=1，q≥0， 所以p≤2. 33
所以3<p≤2. 53
（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），
所以随机变量X的分布列为：
则EX?4?1135?0??(?2)??. 2884
假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），
所以随机变量Y的分布列为：
则EY?2?1115?0??(?1)??.2366
因为EX?EY，
所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
18、解：(Ⅰ) 由8Sn?an2?4an?3①
知8Sn?1?an?12?4an?1?3(n?2,n?N)②
由①-②得8an?(an?an?1)(an?an?1)?4an?4an?1
整理得(an?an?1?4)(an?an?1)?0(n?2,n?N)
∵{an}为正项数列∴an?an?1?0,，∴an?an?1?4(n?2,n?N)
所以{an}为公差为4的等差数列，由8a1?a1?4a1?3,得a1?3或a1?1
当a1?3时，a2?7,a7?27，不满足a2是a1和a7的等比中项.
当a1?1时，a2?5,a7?25，满足a2是a1和a7的等比中项.
所以an?1?(n?1)4?4n?3.
(Ⅱ) 由an?4n?3得bn?[log2(2an?3)]?[log2n]， 4
mm?1由符号[x]表示不超过实数x的最大整数知，当2?n?2时，[log2n]?m，
所以令
S?b1?b2?b3??b2n?[log21]?[log22]?[log23]??[log22n] ?0?1?1?2???3???4???n?1???n
∴S?1?21?2?22?3?23?4?24?(n?1)?2n?1?n① 2S?1?22?2?23?3?24?4?25?(n?1)?2n?2n② ①-②得
?S?2?22?23?24?...?2n?1?(n?1)2n?n
2(1?2n?1)nn??(n?1)2?n?(2?n)2?n?21?2
?S?(n?2)2n?n?2
即b1?b2?b3??b2n?(n?2)2n?n?2.
19、解：(1)
由题意tan?ABD?
又0??ABD，?AB1B?ADABtan?AB1B? ?
?AB2BB1?
2，??ABD??AB1B，??AB1B??BAB1??ABD??BAB1??
2，
??AOB??
2，?AB1?BD.又CO?平面ABB1A1，?AB1?CO，
?BD与CO交于点O，?AB1?平面CBD，又BC?平面CBD，?AB1?BC.?6分
(2)如图，分别以OD,OB1,OC所在直线为x,y,z轴，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O?
xyz，则A(0,?D
, B(?
，C(0,0,3333
????????????AB?(AC?CD?， 设平面ABC的法向量为n?(x,y,z)，
?????y?0???n?AB?0?则????，即?， ?
??y?x?0?n?AC?0
?3?3
令y?1，则z??
1，x?
n??1). 设直线CD与平面ABC所成角为?，则
??????1)????CD?nsin??cosCD,n?
?|CD|?|n|?0?(?(?1)??20．解：（Ⅰ）椭圆W的右焦点为M(1,0)， 因为线段MB的中点在y轴上，
所以点B的横坐标为?1， 因为点B在椭圆W上，
将x??1代入椭圆W的方程，得点B的坐标为(?1,?).
所以直线AB（即MB）的方程为3x?4y?3?0或3x?4y?3?0.
（Ⅱ）证明：
由题意，设直线AB的方程为y?kx?m(k?0),A(x1,y1),B(x2,y2)，则B1(x2,?y2). 32
?3x2?4y2?12,由 ?得 (3?4k2)x2?8kmx?4m2?12?0，
?y?kx?m,
所以 ??(8km)?4(3?4k)(4m?12)?0， 222
8km4m2?12 x1?x2??，x1x2?. 3?4k23?4k2
在y?kx?m中，令y?0，得点M的坐标为(?
?????????4k,0)， 由OM?ON?4，得点N的坐标为(?m
设直线NA，NB1的斜率分别为kNA，kNB1， m,0)， k
y1?y2??4k4kx1?x2?mm
4k4k??xy1?y?因为 x2y1?y1 2mm
4k4k?x1(kx2?m)?(kx2?m)? ?x2(kx1?m)?(kx1?m)? mm则 kNA?kNB1?
x2y1?y1?4k4k?x1y2?y2? ， 4k4k(x1?)(x2?)mm4k2
)(1x?x ?2kx k1x2?(m2)?8m
4m2?124k28km)?(m?)(?)?8k ?2k?(3?4k2m3?4k2
8m2k?24k?8m2k?32k3?24k?32k3
? 23?4k
?0， 所以 kNA?kNB1?0， 所以点A，N，B1三点共线，即点B与点C关于x轴对称.
1?ln(x?1)]
21． 解：（Ⅰ）由题x?0,f?(x)??2?0, x[
故f(x)在区间(0,??)上是减函数;
kx?1[1?ln(x?1)]在(0,??)上恒成立，取恒成立，即k?x?1x
x?1x?1?ln(x?1)h(x)?[1?ln(x?1)]，则h(x)?， x2x
1x??0, 再取g(x)?x?1?ln(x?1),则g?(x)?1?x?1x?1（Ⅱ）当x?0时，f(x)?
故g(x)在(0,??)上单调递增， 而g(1)??ln2?0,g(2)?1?ln3?0,g(3)?2?2ln2?0，
故g(x)?0在(0,??)上存在唯一实数根a?(2,3),a?1?ln(a?1)?0， 故x?(0,a)时，g(x)?0;x?(a,??)时，g(x)?0,
故h(x)min?
a?1?1?ln(a?1)??a?1?(3,4),k?3,故kmax?3 a
1?ln(x?1)33x33?(x?0)?ln(x?1)??1?2??2? xx?1x?1x?1x（3）由（2）知：
令x?n(n?1),ln[1?n(n?1)]?2?311?2?3(?)， n(n?1)nn?1又ln[(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)???(1?n(n?1))]
?ln(1?1?2)?ln(1?2?3)???ln(1?n?(n?1))
11111?2n?3[(1?)?(?)???(?)] 223nn?1
13?2n?3(1?)?2n?3??2n?3 n?1n?1
即：(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)???(1?n(n?1))?e2n?3
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