武清区2014～2015学年度高三年级第三次模拟高考
数学(理科)试题
注意事项：
1．选择题选出答案后，请用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号。
2．请用黑色墨水的钢笔或签字笔解答填空题、解答题。
一．选择题（本大题共8 小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若i为虚数单位，则复数
i3?i
等于（）
1?21
（C）??
4
（A）?1i（B）?i
222
1i（D）?i
444
2．函数f(x)?log2(x2?2)，x??2,6的值域为（）
（A）?2,3?（B）?1,3? （C）?4,8?（D）?2,8?
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出
s,k的值依次为（）
??
（A）32,63 （B）64,63 （C）63,32 （D）63,64
4．设P(x1,y1)是圆O1：x2?y2?9上的点，圆O2的圆心为Q(a,b)，半径为1，则
(a?x1)2?(b?y1)2?1是圆O1与圆O2相切的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
5．已知等比数列?an?的前n项和为Sn，若SS4S2?，则2015等于（ ） a4a2S1
（A）2015 （B）?2015
（C）1 （D）?1
6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD?2，BC?6，若以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，则DE等于（ ）
（A）3 （B）23
（C）4 （D）8
7．函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|?
图象如图所示，则f(0)等于（ ）
（B）?2
1（C） （D）?2?2)的 （A） 21 2
8．如果不等式x2?|x?1|?a的解集是区间(?3,3)的子集，则实数a的取值范围是（ ）
（A）(??,7) （B）(??,7]
（C）(??,5) （D）(??,5]
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中
横线上）
9．书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法 从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书 本．
10．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为 ．
x2y2
??1的左焦点为极点，x轴正方向为极11．以双曲线C：13
向（长度单位不变）建立极坐标系，则双曲线C的一条倾斜角为轴方锐角
数称的渐近线的极坐标方程是 ． 12．一个数无论从左边念，还是从右边念都是同一个数，则这个
为“回文数”，如11、22是两位“回文数”，111、101是三位“回
数”，则5位“回文数”的个数有 个．
13．在?ABC中，AC?3,BC?2,?C??
3，D是AB边上的一点，AD?2DB，则CD?AB?．
14．已知不等式(x?y)(1
x?a
y)?9对任意正实数x,y都成立，则正实数a的最小值是．
三.解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
在?ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B??
3．
（1）若b?3，2sinA?sin(A??
3)，求A和a,c；
（2）若sinAsinC?1
2，且?ABC的面积为2，求b的大小．
文且
16．（本小题满分13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩（环数），射击次数为4次．
（1）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；
（2）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了4次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为?，求?的数学期望．
17．（本小题满分13分）
CD?EF?CF?2AB?2AD?2，?DCF?600，如图，在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，
AD?CD，平面CDEF?平面ABCD．
（1）求异面直线BE与CF所成角的余弦值；
（2）证明：直线CE?平面ADF；
（3）已知P为棱BC上的点，且二面角P?DF?A为600，求PE的长．
x2
a2y2b2 18．（本小题满分13分） ?1(a?b?0)的中心为O，它的一个顶点为?0,1?，离心率为2，过其右焦点的直2已知椭圆?
线交该椭圆于A,B两点．
（1）求这个椭圆的方程；
（2）若??0，求?OAB的面积．
19．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?ln(ax?1)?x3?x2?ax(a?R).
（1）若x?2为函数f(x)的极值点，求实数a的值； 3
b有实数根，求实数b的取值范围. x（2）若a??1时，方程f(1?x)?(1?x)3?
20．（本小题满分14分）
已知数列?an?的前n和Sn?325n?n，数列?bn?的通项公式bn?5n?2． 22
（1）求数列?an?的通项公式；
1 （2）设cn?，求证：anbn?ci?1ni?2； 25
（3）若数列?an?与?bn?中相同的项由小到大构成的数列为?dn?，求数列?dn?的前n项和Tn．
数学(理科)试题参考答案
1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D
4?9．25 10．24?? 11．???)? 12．900 13．? 14．4 33
15．（1）∵B?
∵?3，2sinA?sin(A??3) ∴2sinA?sin(A?B)?sin(??(A?B))?sinC ac ∴2a?c ????????????????????3分 ?sinAsinC
∵ b2?a2?c2?2accosB ∴ 9?a2?4a2?2a2 ∴a? ??????5分 ∴ c?23 ????????????????????????????6分 或：∵2sinA?sin(A?
∴ ?3) ∴2sinA?13sinA?cosA ?????????1分 2233?sinA?cosA?0 ∴sin(A?)?0 ????????????2分 2226
∵ 0?A?? ∴A?
∵ B??6?0∴A??6 ????????????????3分 ?
3 ∴C??
2 ???????????????????????4分
∵ b?3 ∴ 在直角?ABC中，a?3，c?2 ???????????6分
（2）由正弦定理：abc ??sinAsinBsinC
acb2acb232??∴ ∴ ∴b?ac ??????????8分 13sinAsinCsin2B2
24
∵ S?ABC?23 ∴
∴ b2=1acsinB?23 ∴ ac?8 ???????????11分 23×8=12 ∴ b=23 ??????????????????13分 2
16．（1）甲?乙?8 ????????????????????????2分 15 D(x甲)?[(6?8)2?(7?8)2?(9?8)2?(10?8)2]? 42
19D(x乙)?[(5?8)2?(7?8)2?(10?8)2?(10?8)2]? ????????4分 42
∵D(x甲)?D(x乙) ∴ 甲运动员的射击水平平稳 ?????????????6分
（2）当乙选取5环时，一定满足要求，此时的概率为P1?1?1 ????????7分 4
当乙选取7环时，甲只能从9环、10环中选取，此时的概率为P2?
∴ 甲的成绩大于乙的成绩的概率为P?P1?P2?
由已知，?～B(4,
∴E??4?111?? ?9分 4283 ?????????????10分 83) ?????????????????????????12分 833? ???????????????????????????13分 82
17．（1）∵CD∥EF，CD?EF?CF?2 ∴四边形CDEF为菱形，
∵?DCF?600，∴?DEF为正三角形，取EF的中点G，连接GD，则GD?EF ∴GD?CD，∵平面CDEF?平面ABCD，GD?平面CDEF，
CD?平面CDEF?平面ABCD，∴GD?平面ABCD
∵AD?CD ∴DA,DC,DG两两垂直???????????????????2分 以D为原点，DA,DC,DG的方向为x,y,z轴，建立空间直角坐标系
∵CD?EF?CF?2,AB?AD?1， ∴A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),E(0,?1,),F(0,1,3)?????????????3分 ∴?(?1,?2,),?(0,?1,)，设异面直线BE与CF所成角为? 则cos??|cos?,?|??5
4?52 ???????????5分 8
（2）∵?(1,0.0),?(0,1,3),?(0,?3,3)
∴CE?DA?0,CE?DF?0 ∴CE?DA,CE?DF ????????????7分 ∵DA,DF是平面ADF内的两条相交直线
∴直线CE?平面ADF ????????????????????????8分 ?（3）依题意可设P(a,2?a,0)(0?a?1)，平面PDF的法向量为n?(x,y,z)
????y?3z?0 ∵ n?DF?0,n?DF?0，∴?，令y?a，则x?(a?2),z??a ?ax?(2?a)y?0?
? ∴ n?((a?2),a,?a) ??????????????????????10分 ∵ 二面角P?DF?A为600，CE?(0,?3,)是平面ADF的法向量 ??4a12??，解得a? ????12分 ∴|cos?n,CE?|?33(a?2)2?3a2?a22
24?2??4? ∴ P(,,0)，∴PE???0????1??0?333?3??3?
18．（1）∵22??2?45 ???????13分 3c21? ∴ c2?a2 ?????????????????????1分 a22
依题意b?1，∴a2?c2?1 ??????????????????????2分 ∴a2?12a?1 ∴a2?2 ??????????????????????3分 2
x2y2
??1 ?????????????????????4分 ∴椭圆的方程为21
（2）椭圆的右焦点为(1,0)，当直线AB与x轴垂直时，A,B的坐标为(1,
此时??2),(1,?) 221?0 ∴直线AB与x轴不垂直 ??????????????5分 2
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y?k(x?1)
x2y2
??1联立得(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0 ??????????6分 与21
设A(x1,y1),B(x2,y2)，线段AB的中点为M(x0,y0)
∴x1?x2?4k2
2k2?1,x1x2?2(k2?1)
2k2?1，M(2k2
2k2?12k2?1,?k) ???????7分
∵??0∴(x1,y1)?(x2,y2)?0
∴x1x2?y1y2?x1x2?k(x1?1)k(x2?1)?0?(k2?1)x1x2?k2(x1?x2)?k2?0 ∴2(k2?1)(k2?1)
2k2?1
2?4k42k2?1?k2?0，∴k2?2∴k??2 ????????9分 ?k
2k2?17262 ∴|AB|? ????11分 255 ∴ |AB|?4|OM|?4[(22k2
2k2?1)2?()2]?
直角?OAB斜边高为点O到直线AB的距离d?|k|
k?12?23 ???????12分
∴?OAB的面积为112622d|AB|???? ????????????13分 2255x[3ax2?(3?2a)x?(a2?2)]a219．（1）f?(x)? ??????1分 ?3x?2x?a?ax?1ax?1
22 由于x?为y?f(x)的极值点，则有f?()?0 33
222 即3a()2?(3?2a)?(a2?2)?0且a?1?0，解得a?0 ???????3分 333
当a?0时，f?(x)?x(3x?2) ∵在x?
∴ x?222附近，x?时，f?(x)?0；x?时，f?(x)?0 3332为函数y?f(x)的极值点成立. ???????????????5分 3
bb可得lnx?(1?x)2?(1?x)? xx（2）当a??1时,由方程f(1?x)?(1?x)3?
∴ b?xlnx?x(1?x)2?x(1?x)?xlnx?x2?x3在x?0上有解
即求函数g(x)?xlnx?x2?x3的值域 ????????????????7分 ∵ b?x(lnx?x?x2)，令h(x)?lnx?x?x2
∴ h?(x)?1(2x?1)(1?x) ?????????????????9分 ?1?2x?xx
∵ x?0，则当0?x?1时，h?(x)?0，从而h(x)在(0,1)上为增函数； 当x?1时，h?(x)?0，从而h(x)在(1,??)上为减函数
∴ h(x)?h(1)?0 ????????????????????????12分 ∵ x?0 ∴b?x(lnx?x?x2)?0 ?????????????????13分
而h(x)可以无穷小，即b的取值范围为(??,0] ???????????14分
20．（1）当n?1时，a1?S1?325?1??1?4 ?????????????1分 22
当n?1时，an?Sn?Sn?1?32535n?n?(n?1)2?(n?1)?3n?1 ????2分 2222
∵当n?1时，3?1?1?4?a1 ∴an?3n?1 ?????????????3分
（2）∵cn?13??(3n?1)(5n?2)5
1
53n?216(3n?1)(3n?)5?313???5(3n?1)2513(3n?1)2?()22 ?1(5113n?2?) ?????????????????????6分
∴?1111111ci?(???????) ????????8分 5111117155i?13n?3n?222222
1
3n?5
2)?122?? ????????????????9分 5525n12 ?(?55
（3）令3n?1?5m?2(m,n?N?) ∴3n?5m?1?3m?2m?1 令2m?1?3p(p?N?)∴2m?3p?1?2p?p?1
令p?1?2k(k?N)∴p?2k?1，代入上式可得m?3k?1,n?5k?2(k?N) ∴n?5(k?1)?2?5k?3(k?N?) ???????????????????11分 ∴dk?3(5k?3)?1?15k?8∴数列?dn?的通项公式为dn?15n?8 ?????12分 ∵dn?1?dn?15(n?1)?8?15n?8?15
∴数列?dn?是首项d1?7，公差为15的等差数列 ????????????13分 ∴Tn?
n(d1?dn)n(7?15n?8)1521??n?n ?????????????14分 2222
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