2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
（考试时间：2016年5月22日上午8:30—11:00）
考试形式： 闭卷考试时间： 150分钟满分： 150分
题号 得分
填空题
11
12
13
总分
注意：1. 所有答题均写在密封线右边，写在其他纸上一律无效；
2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记．
一、填空题 (本大题共10小题，每小题8分，共80分，请将答案填写在下面答题卡相应的横线上)
（10，100）１．； 2． -2；3.
(a?b)
2
；
4.
2
； 5．
3
；
6．
2；
7．
；8. ；9. ； 104[3
；
1．（赵继源供题）函数f(x)?
的定义域是______________.
答案：（10，100）
解：要使函数有意义，应有?(lgx)2?3lgx?2?0，解得1＜lgx＜2，即10＜x＜100，故函数的定义域为（10，100）． 2．（赵继源供题）
?x?y
?????
y?6?2x设实数x，y满足?，向量a=（2x－y，m），b=（－1，1），若a∥b，则实数m的最小值?x?1?
为．
答案：－2．
解：由已知，若a∥b，则
??
2x?ym
?，即m=－2x+y. ?11
由m=－2x+y，得y=2x+m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），并平移直线y=2x+m，由平移可知当直线y=2x+m
经过点B时，直线y=2x+m的截距最小，此时m取得最小值.
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?x?y,?x?2由?，解得?，即B（2，2）．
y?6?2x.y?2??
将B（2，2）坐标代入m=－2x+y，得z=－4+2=－2， 即目标函数m=－2x+y的最小值为－2．
a2b23．（黎福庆供题）设a、b都为大于零的常数，0?x?1，则的最小值为 . ?
x1?x
答案：(a?b)2
?a2a2b2b2?
????解：??x?(1?x)? x1?x?x1?x?
a2(1?x)b2x22
?a?b??
?a?b?x1?x2
2
?(a?b)2 .（或直接用柯西不等式也行）
4．（唐光明供题）运行右侧的程序框图，输出的结果S的值为答案：
3. 2
2?3?4?5?6??sin?sin?sin?sin?0， 解析：因为sin?sin
333333
根据周期性，该程序的功能是计算：
?
sin
?
3
?sin
2?3?4?2017???sin?sin???sin?sin?. 333332
5．（王强芳供题）已知函数f(x)?x3对应的曲线在点(ak,f(ak))(k?N?)处的切线与x轴的交点为
? . (a
k?1,0)，若a1?1101?()
3
答案：3
解：由f'(x)?3x2得曲线在点(ak,f(ak))(k?N?)处的切线斜率k?3ak，故切线方程为
32
y?ak?3ak(x?ak).
2
令y?0得ak?1?
a222
ak?k?1?，故数列
{an}是首项
a1?1，
公比q?的等比数列， 33ak3
10
a(1?q)1
又f?f???f?a1?a2???a10??3(1?q10)，
1?q
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?3. 101?(3
6．（王强芳供题）已知点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=lnx上，则PQ的最小值是_______ 答案：2
解：因曲线y=ex与y=lnx关于直线y=x对称．所求PQ的最小值为曲线y=ex上的点到直线y=x最小距离 的两倍,设P(x, ex)为y=ex上任意点, 则P到直线y=x的距离d(x)?
因d/|ex?x|2(x)?ex?1
2?0?x?0,d/(x)?0?x?0,所以,d(x)min22?d(0)?,即PQ2?ex?x, min=2.
7．（唐光明供题）设m∈N*，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)＋F(2)＋???＋F(1024)的值是_________. 答案：8204
解析：依题意，F(1)＝0，
F(2)＝F(3)＝1，有2个
F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个．
F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个．
F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个．
…
F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个．
F(1 024)＝10，有1个．
故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.
令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①
则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②
2(1－29)①－②，得－T＝2＋2＋2＋…＋2－9×2＝9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2， 1－223910
∴T＝8×210＋2＝8194，∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1024)＝8 194＋10＝8204.
8．（赵继源供题）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有_______种.
答案：72
解：设四棱锥为P﹣ABCD．下面分三种情况讨论：
(1) AC同色，但BD不同色:
P的着色方法种数为C4, AC的着色方法种数为C3, B的着色方法种数为C2, D的着色方法种数为C1 共有C4?C3?C2?C1=24种；
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11111111
(2) AC不同色，但BD同色:
P的着色方法种数为C4, BD的着色方法种数为C3, A的着色方法种数为C2, C的着色方法种数为C1， 共有C4?C3?C2?C1=24种；
(2) AC同色， BD也同色:
P的着色方法种数为C4, BD的着色方法种数为C3, AC的着色方法种数为C2，
共有C4?C3?C2=24种；
故共有24+24+24=72种.
9．（赵继源供题）设函数f(x)的定义域为R，若存在常数ω＞0使|f(x)|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为“条件约束函数”．现给出下列函数：
①f(x)=4x；
②f(x)=x2+2；
③f(x)=111111111111112x； x2?2x?5
④f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有f（x1）－f（x2）≤4|x1－x2|．
其中是“条件约束函数”的序号是 ________ （写出符合条件的全部序号）．
答案：①③④．
解：对于①，f(x)=4x，易知存在ω=4＞0，使|f(x)|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意；是“条件约束函数”．
对于②用F函数的定义不难发现：因为x→0时，|f(x)|→∞，所以不存在常数ω＞0，使|f(x)|≤ω|x|对x
一切实数x均成立，不符合题意，不是“条件约束函数”． 对于③，因为|f(x)|?2|x|2|x|1??|x|，所以存在常数ω=2＞0，使|f(x)|≤ω|x|对一切22x?2x?5(x?1)?42
实数x均成立，③是“条件约束函数”．
对于④，f(x)是定义在实数集R上的奇函数，故|f(x)|是偶函数，因而由|f（x1）﹣f（x2）|≤4|x1﹣x2|得 |f(x)|≤4|x|成立，即存在ω≥4＞0，使|f(x)|≤ω|x|对一切实数x均成立．
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10．（赵继源供题）
已知线段AB是半径为2的球O的直径，C、D两点在球O的球面上，CD=2，AB⊥CD，45°≤∠AOC≤135°，则四面体ABCD的体积的取值范围是 _______ ．
答案：
[4 3解：由题意，当∠AOC=45°或135°时经过CD与AB垂直的截面面积最小，此时四面体ABCD的体积取得最小值. 如图（1）△ECD中，F为CD的中点，
，
EF=1，S△ECD=CD?EF=1． 可得棱锥体积的最小值为4． 3
当∠AOC=90°时，经过CD与AB垂直的截面面积最大，如图（2），截面△OCD是正三角形，边长为2
． 故四面体ABCD
的体积的取值范围是：[ 4． 3三、 解答题 (本大题共3小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
11. （本小题满分20分）（赵继源供题）已知数列{an}中，a1?1，a2?3，4…）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：对一切n∈N，有*(n?1)an1，且an?1?（n=2，4n?an?ak2?
k?1n7． 6
解：（Ⅰ）∵a1?1,an?1?(n?1)an（n=2，3，4…）, n?an
n?an1n1??? ∴当n≥2时， . an?1(n?1)an(n?1)ann?1
两边同时除以n，得111??，
nan?1(n?1)ann(n?1)
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?bn?1?bn??(
n?111? …………………………………………5分 n?1nn?1
∴?[bk?1?bk]???(
k?2k?2111???(1? k?1kn?1
?bn?b2??(1?113n?2)，n≥2. ?bn??(1?)?b2? n∈N*．………………………10分 n?1n?1n?1
2（Ⅱ）证明：当k≥2时，ak?11111??(? ，…………15分 (3k?2)2(3k?4)(3k?1)33k?43k?1
∴当n≥2时，11111112a?1?a?1?[(??(??.....?(?)] ??k325583n?43n?1k?1k?22knn
111177?1?(??1??.又n=1时，a12?1?， 323n?1666
∴对一切n∈N，有
12. （本小题满分25分）（赵继源供题）
如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点. 证明： *?ak?1n2k?7． ………………………………20分 6
QC，QH.………5分 如图，延长AP交⊙O2于点Q，连接AH，BD，QB，
∵AB为⊙O1的直径，
∴∠ADB?∠BDQ?90?． …………………10分 ∴BQ为⊙O2的直径.
∴CQ?BC，BH?HQ. ………………………15分 ∵点H为△ABC的垂心，
∴AH?BC，BH?AC. ………………………………20分 ∴AH∥CQ，AC∥HQ,四边形ACQH为平行四边形. ∴点P为CH的中点. ………………………………25分
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13. （本小题满分25分）（黎福庆供题）
已知抛物线C:y2?4x，以M(1,2)为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB. （Ⅰ）求证：直线AB过定点；
（Ⅱ）过点M作AB的垂线交AB于点N，求点N的轨迹方程.
解:（Ⅰ）设直线AB的方程为x?my?n，A(x1,y1)，B(x2,y2).
∵??x?my?n,2得y?4my?4n?0， 2?y?4x,
∴y1?y2?4m， y1y2??4n.………………………………5分
∵ ?AMB?90，∴??0，即 (x1?1,y1?2)?(x2?1,y2?2)?0.
∴(x1?1)(x2?1)?(y1?2)(y2?2)?0.………………………………10分 ?
(my1?n?1)(my2?n?1)?(y1?2)(y2?2)?0，
(m2?1)y1y2?(mn?m?2)(y1?y2)?(n?1)2?4?0，
(m2?1)?(?4n)?(mn?m?2)4m?n2?2n?5?0.
整理得(n?3)?4(m?1)，
∴n?3?2(m?1)或n?3??2(m?1).………………………………15分
当n?3?2(m?1)，即n?2m?5时直线AB的方程为x?m(y?2)?5过定点P(5,?2)；
当n?3??2(m?1)即n??2m?1时直线AB的方程为x?m(y?2)?1过点M(1,2) 不合题意. ∴直线AB过定点P(5,?2) . ………………………………20分
（Ⅱ）由（1）知，点N的轨迹是以PM为直径的圆（除去点（1，±2）），
其方程为(x?3)?y?8(x?1).………………………………25分
2222
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