2013年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1．设集合A={2,0,1,3}，集合B={x|-x?A,2
为____________．
????????2．在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y=4x上，满足OA?OB2x2?A}．则集合B中所有元素的和-4，F是
抛物线的焦点. 则S?OFA?S?OFB_____________.
3．在?ABC中，已知sinA=10sinBsinC,cosA=10cosBcosC，则tanA的值为______.
4．已知正三棱锥P-ABC底面边长为1
________.
5．设a,b为实数，函数f(x)=ax+b满足：对任意x?[0,1]，有f(x)￡1. 则ab的最大值为_____________.
6．从1,2,?,20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________.
7．若实数x,y
满足x-x的取值范围是____________.
8．已知数列{an}共有9项，其中a1=a9=1，且对每个i?{1,2,?,8}，均有 禳ai+1镲?镲2,1,睚ai镲镲铪1，则这样的数列的个数为__________.2
二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9．（本题满分16分）给定正数{xn}满足Sn?2Sn-1,n
明：存在常数C>0，使得 这里Sn=x1+?+xn. 证2,3,?，
xn匙C2n,n=1,2,?.
x2y2
10．（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为2+2=1(a>b>0)，ab
A1、A2分别为椭圆的左、右顶点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点. 若平面中两个点Q、R满足QA1^PA1,QA2^PA2,RF1^PF1,RF2^PF2，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明.
11．（本题满分20分）求所有的正实数对(a,b)，使得函数f(x)=ax2+b满足：对任意实数x,y，有 f(xy)+f(x+y)?f(x)f(y).
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