三门峡市外国语高级中学2015—2016学年2017届学科竞赛
文科数学答案
1-6DCAABA7-12 AABBCA
13、??－∞，－4∪??0，1?∪?，＋∞?14 1?
33??1?
?
??3
??
2
(9n
－1) 15
5π6 1625π4 17解 (1)设b＝(x，y)，则a·b＝2x＋2y＝－2，且|b|＝a·b
＝1|a|cos 3π＝x＋y.∴解得
4
??x＝－1，?y＝0或??x＝0，?y＝－1.
∴b＝(－1，0)或b＝(0，－1)． (2)∵b⊥t，且t＝(1，0)，∴b＝(0，－1)． ∵A、B、C依次成等差数列，∴B＝π
3.
∴b＋c＝?
??cos A，2cos2 C2－1???＝(cos A，cos C)．
∴|b＋c|2＝cos2A＋cos2C
＝1＋11?4π?2A＋cos 2C)＝1＋2?cos 2A＋cos??3－2A
??
???
＝1＋1?13
?1?π?2?cos 2A－2cos 2A－2A??
＝1＋2cos??2A＋3??.
∵2A＋π?π5π??
π?13??33?，∴－1≤cos??
2A＋3?<2
∴1|b＋c|2<52524，∴2≤|b＋c|<2.
n18(1)证明 由已知可得，an＝a1qn－1＝??1?1n?4?，bn＋2＝3log1?＝3n， 44?
∴bn＝3n－2.∵bn＋1－bn＝3，∴{bn}为等差数列，其中b1＝1，d＝3.
(2)解 cn＝anbn＝(3n－??1n1??n＝?12?134，S?1n
4??4?＋??4?＋…＋(3n－??4?，① 1?4n＝?12??＋??13?14?1n?1n＋1
4?4?＋??4?＋…＋(3n－??4?＋(3n－??4?
，②
①－②得313?4n＝4????12?1?3?1?4?1?n???4?＋??4??＋??4??＋…＋??4????－(3n－2)·?1?4n＋1?
??121n－1＝1?4?·?
??1－（4????1?n＋11?4－(3n－?＝?11－1??2－(3n＋?4??n＋1
4??，
4∴S212n＋8?1n＋1n＝33??4?
.
(3)解 cn＝(3n－??1?n?，c＝(3n＋??1n＋14n?4??－(3n－?1?4??n＋1－cn? ＝??1n?3n＋1??4???43n－2）??＝－??1?n＋1
?4??(n－1).
当n＝1时，cn＋1＝cn，当n≥2时，cn＋1≤cn， ∴(c1n)max＝c1＝c2＝4.
若c111
n≤4m2＋m－1对一切正整数n恒成立，则42＋m－1≥4
∴m2＋4m－5≥0，即m≤－5或m≥1.
19解 (1)∵∠A是钝角，sin A＝34
5，∴cos A＝－5
在△AQP中，由余弦定理得PQ2＝AP2＋AQ2－2AP·AQcos A， ∴AQ2＋8AQ－20＝0，解得AQ＝2或－10(舍去)，∴AQ＝2. (2)由cos α＝12513，得sin α＝13在△APQ中，α＋β＋A＝π， 又sin(α＋β)＝sin(π－A)＝sin A＝3
5，
cos(α＋β)＝－cos A＝4
5sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)] ＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝5412356
135
13565
20.(1)证明 因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.又因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥CD.因为PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PCD. 又因为PC?平面PCD，所以AD⊥PC.
(2)解 由(1)知AD⊥平面PCD， 所以AD是三棱锥APDE的高.
因为E为PC的中点，且PD＝DC＝4，
所以S111
△PDE＝2△PDC＝2(24×4)＝4.又AD＝2，
所以VAPDE＝13AD·S△PDE18
3×2×43(3)解 取AC的中点M，连接EM，DM，
因为E为PC的中点，M是AC的中点， 所以EM∥PA.
又因为EM?平面DEM，PA?平面EDM，所以PA∥平面DEM.此时AM＝11
12AC＝2AD2＋DC2＝22＋45.即在边AC上存在一点M，使得PA∥平面EDM，且AM的长为5.
22（Ⅰ）设x?[?e,0)，则?x?(0,e]，所以f(?x)??ax?ln(?x)
又因为f(x)是定义在[?e,0)?(0,e]上的奇函数，所以f(x)??f(?x)?ax?ln(?x)
故函数f(x)的解析式为f(x)??
?ax?ln(?x),x?[?e,0)
?
ax?lnx,x?(0,e]
（Ⅱ）证明：当x?[?e,0)且a??1时，f(x)??x?ln(?x),g(x)?ln(?x)?x，设h(x)?ln(?x)?x?1
2
因为f?(x)??1?
1x?1
x??
x
，所以当?e?x??1时，f?(x)?0，此时f(x)单调递减；当?1?x?0时，f?(x)?0，此时f(x)单调递增，所以f(x)ln(?x)?1
min?f(?1)?1?0 又因为h?(x)?x
2
，所以当?e?x?0时，h?(x)?0，
此时h(x)单调递减，所以h(x)1111
max?h(?e)?e?2?2?2
?1?f(x)min 所以当x?[?e,0)时，f(x)?h(x),即f(x)?g(x)?1
2
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