土力学与基础工程地基土中的应力计算(2)

基底附加压力的计算

地下水位以下的重度取有效重度

基底

附加压力

基础标高以上土的加权平均容重

自重应力
p
0

? p

? ?
0

d

p0 max pmax 基底压力呈梯形分布时， ? ? ? 0d p0 min pmin 基底附加压力

【例题分析】 ? 【例】某条形地基，如下图所示。基础上作用荷载
F=400kN/m，M=20kN?m，试求基础中点下的附加压力。
FK 0.1m MK

1.5m ?0 ＝18.5kN/m3 2m

分析步骤I：
FK=400kN/m 0.1m MK=20kN ?m

1.5m 2m

?0 ＝18.5kN/m3
荷载偏心距 e=M/(F+G)

基础及上覆土重G=? GAd 140.3kPa

319.7kPa

pmax pmin

1.基底压力计算
条形基础取单位长度计算

F ?G? 6e ? ? ?1 ? ? bl ? l ?

分析步骤Ⅱ:
FK=400kN/m 0.1m MK=20kN ?m
3 ? ＝ 18.5kN/m 0 1.5m 1.5m

2m 292.0kPa 112.6kPa

基底标高以上天然土层的加权平均重度

基础埋臵深度

2.基底附加压力计算

p0 max pmax ? ? ? 0d p0 min pmin

【例题分析】

? 【例】某单独基础，底面尺寸为4.8×3m2 ，地基
条件如下图所示。基础上作用集中荷载 FK=2100kN， MK=600kN?m，试求基底应力分布及基底中点下的附加压力。
FK MK 1m 2.5m
耕土 ? ＝16kN/m3 细砂 ?＝17.5kN/m3

4.8m

§2.3地基附加应力

地基附加应力：
? 附加应力是由于修建建筑物之后在地基内新增加的应力，它是使地基发生变形从而引起建筑物沉降的主要原因，即由基底附加压力引起。基本解 ? 集中荷载作用下的附加应力 ? 矩形分布荷载作用下的附加应力 ? 条形分布荷载作用下的附加应力叠加原理

§2.3地基附加应力
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一、竖向集中荷载作用下的地基附加应力
1885年法国学者布辛涅斯克解

附加应力系数
o x y z

P

K ? f ?r z ?
P ?z ? K 2 z

q
R

r

y

x

M?(x,y,0) z M ( x, y, z)

3Pz3 3P 3 ?z ? ? cos q 5 2 2?R 2?R

附加应力分布规律
? 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深度增加,σz 逐渐减小 ? 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 ? 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减小 ? 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 ? 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩散） P
0.1P

P

0.05P
0.02P 0.01P

叠加原理由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参数值的代数和
Pa Pb z

两个集中力作用下σz的叠加

a

b

二、矩形基础地基中的附加应力计算 1、垂直矩形均布荷载

dp布辛涅斯克解
积分

? z ? Kc P0
矩形基础角点下的竖向附加应力系数

Kc ? f ?m, n?

n ? z /b m ? l /b

对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下的情况：
p III II

o

III

o

II

IV
z M

I

IV

I

KC,

tz均布荷载焦点下附加 K 应力系数, 均为m ,n的函

数，其中m

=z/b，n=l/b，可查表得到

? ? z ? ?K ? K ? K ? K p K Kc K Ⅰ c Ⅱ c c Ⅳ Ⅲ c c c

?

【例】某厂房柱下单独方形基础，已知基础底面积尺寸
为4m×4m，埋深d＝1.0m，地基为粉质粘土，地下水位距天然地面3.4m。上部荷重传至基础顶面F＝1440kN,土的天然重度?＝16.0kN/m3 ,饱和重度? sat＝17.2kN/m3 ，有关计算资料如下图。试计算基础中心点下地基土的附加应力
F=1440kN

d=1m

3.4m

b=4m

【解答】

F=1440kN

1.计算地基土的自重应力
2.计算基底压力
3.4m d=1m

G ? ? G Ad ? 320kN
F ?G p? ? 110 kPa A
3.计算基底附加压力

b=4m

p0 ? p ? ?d ? 94kPa

4.计算基础中点下地基中附加应力
用角点法计算，过基底中点将荷载面四等分，计算边长l=b=2m， Kc ? c σz=4Kcp0,Kc由表确定
z(m) 0 1.2 2.4 4.0 5.6 7.2 z/b 0 0.6 1.2 2.0 2.8 3.6

0.2500 0.2229 0.1516 0.0840 0.0502 0.0326

K c σz(kPa) σcz(kPa)
94.0 83.8 57.0 31.6 18.9 12.3 16 35.2 54.4 65.9 77.4 89.0

16 35.2 54.4 65.9 77.4 89.0 83.8 57.0 31.6 18.9 12.3

94.0

角点法计算地基附加应力Ⅱ
计算点在基底边缘 II I 计算点在基底边缘外 o

o

o

KccⅠ?K ? z ? ?K Kc cⅡ ? p

III
I

IV o II

K ? z ? ?K K cc ? K cc K cc ?K Kc Ⅰ Ⅱ ?K Ⅳ ?p Ⅲ c

角点法计算地基附加应力Ⅲ
计算点在基底角点外

I o o

KccⅠ K cⅣ ?p ? z ? ?K ?K Kcc Kc Ⅱ ?K cⅢ ? K c
III

IV

II

角点法计算地基附加应力原则

?使所求点始终位于所划分的若干矩形角点下 ?所划分的若干小矩形面积之和应等于基础原有受荷面积 ?所划分的每个矩形面积，短边用 b ，长边用

l 。

【例题分析】 ? 有两相邻基础 A和B，其尺寸、相对位臵及基底附加压力分布见右图，若考虑相邻荷载的影响，试求 A基础底面中心点o下2m处的竖向附加应
力

2m

B

300kPa

3m

A
1m 2m

200kPa o
2m

1m 1m

分析 o点的附加应力应该是两个基础共同产生的附加应力之和，根据叠加原理可以分别进行计算
2m

A基础引起的附加应力 σzA=4 Kc pA σzB=（ K c1- K c2-

B 300kPa
3m

A
1m 2m

Kc3+ K c4）pB

200kPa o
2m

1m

1m

B基础引起的附加应力

2m

300kPa B 3m
1m
1m 2 m

200kPa

o
2m

A

2 m

o A
2m

1m

200kPa

甲基础的影响 l b ? 1, z b ? 2 , K c ? 0.084

? z甲 ? 4 K c P0 ? 67.2 KPa

乙基础影响（计算点在基底角点外）
2m

300kPa B 3m
o
2 m 1m 1m 1m

I

o A
2m

III IV II

200kPa

KccⅠ?K K cⅣ ?p ? z ? ?K Kcc Kc Ⅱ ?K cⅢ ? K c

三、条形基础地基中的附加应力计算
基础底面长宽比l / b→∞ 均布荷载情况 p0 b/2 b/2 x
? z ? Ksz p

理想情况

条形基础

实际情况

基础底面长宽比l / b≥10

x z M

? z ? K sz P0
tz条形基底竖向附加 Ksz , K

?

z

应力系数, 均为m ,n的函数，其中m=x/b，n=z/b，可查表得到

? 均布条形荷载下地基中附加应力的分布规律：

(1) 地基附加应力的扩散分布性； (2) 在离基底不同深度处各个水平面上，以基底中心点下轴线处最大，随着距离中轴线愈远愈小； (3) 在荷载分布范围内之下沿垂线方向的任意点，随深度愈
向下附加应力愈小。

§2.3地基附加应力
[例题4-4]某条形基础底面宽
应力等直线图

度b=1.4m,作用于基底的平
均附加压力p0=200kPa,要求确定 (1)均布条形荷载中点O下的地基附加应力?z分布;
条形

?x

(2)深度z=1.4m和2.8m处水
平面上的?z分布;

(3)在均布条形荷载边缘以
? 外1.4m 处 O1 z 点下的?z分布。条形矩形 ? z
条形? xz

小

结

1.竖向自重应力 ? cz ? ? h，水平向自重应力 ? cx ? k0? cz ，注意成层土及地下水位以下的自重应力计算。

2.基底压力：基础底面处单位面积土体受到的压力，又称接触压力： Fk ? Gk pk ? （1）中心荷载下: A
（2）偏心荷载下: 3.基底附加压力: 4.基底附加应力：（1）空间问题（如集中力、矩形荷载、圆形荷载）；（2）平面问题（如线荷载、条形荷载l/b>10)
pk max ? Fk ? Gk M k Fk ? Gk ? ? ?? pk min ? A W A ? 6e ? ?1 ? ? l ? ?

p0 ? p ? ? cz ? p ? ? md