北京市朝阳区2014～2015学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷（选用）2015.1
（考试时间120分钟 满分120分）成绩
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1.一元二次方程x2?2x=0的解为
A．x ??2 B．x1 ??0，x2 ??2 C．x1 ??0，x2 ???2D．x1 ??1，x2 ??2
2. 抛物线y?(x?1)2?2的顶点坐标是
A．（1，2）
B．（1，??） C．（?1，??） D．（?1，??）
3.下列图形是中心对称图形的是
A B CD
4. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为
A．35° B． 55°
C．65° D． 70°
5. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点
均在格点上，则tan∠ABC的值为
A．
C 3
3B． 4 D．1B
6.下列事件是随机事件的是
A．明天太阳从东方升起
B．任意画一个三角形，其内角和是360°
C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
D．射击运动员射击一次，命中靶心
7.一个矩形的长比宽相多3cm，面积是25cm2，求这个矩形的长和宽．设矩形的宽为xcm，
则所列方程正确的是
九年级数学试卷第1页（共6页）
A．x2?3x?25=0 B．x2?3x?25=0
C．x2+3x?25=0 D．x2?3x?50=0
8.如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与
点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则
下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是
AA B C D
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9.如图，A是反比例函数y?k(x＞0)图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，AC垂直于 x
y轴，垂足为C，若矩形ABOC的面积为5，则k的值为
10.一枚质地均匀的骰子，六个面分别刻有1到6的点数，掷这个骰子一次，则向上一面的
点数大3的概率是．
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．写出一个
函数y?x2?c，使它的图象与正方形ABCD有公共点，这个函数的表达式为
（第9题图） （第11题图） （第12题图） 三、解答题（本题共30分，每小题5分）
九年级数学试卷 第2页（共6页）
13.计算：cos30?－sin60??2sin45??tan45? .
14. 用配方法解方程： x2-4x-1=0．
15. 如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=2，AB=6，求AC的长．
A16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（2，3）为圆心的⊙A交 x轴于点B，C，BC=8，
求⊙A的半径．
17. 如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°，
设点E的对应点为F．
（1）画出旋转后的三角形．
（2）在（1）的条件下，
①求EF的长；
②求点E经过的路径弧EF的长．
18．如图，甲船在港口P的南偏东60°方向，距港口30海里的A处，沿AP方向以每小时
九年级数学试卷 第3页（共6页）
5海里的速度驶向港口P；乙船从港口P出发，沿南偏西45°方向驶离港口P．现两船 同时出发，2小时后甲船到达B处，乙船到达C处，此时乙船恰好在甲船的正西方向， 求乙船的航行距离
?
1.411.73，结果保留整数)．
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.已知关于x的一元二次方程mx2?(m?1)x?1=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值.
20. 如图，直线y??x?2与反比例函数y=
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若P为y轴上的点，且△AOP的面积是△AOB的面积的
请直接写出点P的坐标.
21. 随着“节能减排、绿色出行”的健康生活意识的普及，新能源汽车越来越多地走进百姓的
生活. 某汽车租赁公司拥有40辆电动汽车，据统计，当每辆车的日租金为120元时，
可全部租出；当每辆车的日租金每增加5元时，未租出的车将增加1辆；该公司平均每日 的各项支出共2100元．
(1) 若某日共有x辆车未租出，则当日每辆车的日租金为元；
(2) 当每辆车的日租金为多少时，该汽车租赁公司日收益最大？最大日收益是多少？
22.如图，在△
ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线
九年级数学试卷 第4页（共6页） kx的图象相交于点A（a，3），且与x轴相交于点B． 2, 3
与⊙O的切线AF交于点F． （1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC
=CE：EB=1：4，求CE，AF的长．
A
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知二次函数y=kx2?(k?3)x?3在x=0和x=4时的函数值相等． （1）求该二次函数的表达式；
（2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出当y ＜0时，自变量x的取值范围；
（3）已知关于x的一元二次方程k2x2?m2?m?0，当?1≤m≤3 时，判断此方程根
的情况．
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24. △ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE= α (0°＜α ≤90°) ，点F，G，P分别
是DE，BC，CD的中点，连接PF，PG．
(1)如图①，α=90°，点D在AB上，则∠FPG；
(2)如图②，α=60°，点D不在AB上，判断∠FPG的度数，并证明你的结论；
(3)连接FG，若AB=5， AD=2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，当PF的长最大时，
FG的长为α的式子表示）． B
图①
B
B
图②
备用图
25. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线
y＝ax2＋bx－
2
经过点A和点C (4,0) ． 3
（1）求该抛物线的表达式．
（2）连接CB，并延长CB至点D，使DB=CB，请判断点D是否在该抛物线上，并说明理由． （3）在（2）的条件下，过点C作x轴的垂线EC与直线y＝2x＋2交于点E，以DE为直径
画⊙M，
①求圆心M的坐标；
②若直线AP与⊙M相切，P为切点，直接写出点P的坐标．
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北京市朝阳区2014~2015学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷参考答案及评分标准 2015.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共
16分，每小题4分）
9．5 10．1 11
．答案不惟一，如y?x2（说明：写成y?x2?c的形式时，c的取2
值范围是－2≤c≤1） 12．60，3π
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：原
式?21
……………………………………………………………………4分 ? ……………………………………………………………………………………
…5分
14.解： x2?4x=1. ……………………………………………………………………………………………… 1分 x2?4x+4=1+4 ，
(x?2)2=5 .…………………………………………………………………………………………
… 3分
x?2= ∴x1?2?x2?2………………………………………………………………………
5
分
15.解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A, ?????????????????????????? 2分
∴△ACD∽△ABC. ?????????????????????????????? 3分
∴
ADAC?. ???????????????????????????????? 4分ACAB
∵AD=2，AB=6，
2AC?∴. AC6
∴AC?12.
∴
AC? ??????????????????????????????????5分
九年级数学试卷 第7页（共6页） 2
16.解：如图，作AD⊥BC于点D．………………………………… 1分连接AB． ∴BD?
1
BC?4． ………………………………………… 3分 2
∵点A的坐标是（2，3），
∴AD=3．……………………………………………………… 4分在Rt△ABD中，
∴AB5 ……………………………………… 5分 ∴⊙A的半径为5．
17.解：（1）如图1．
图1
（说明：点F在CD的延长线上） ∴△ADF为所求．
（2）①如图2，依题意，AE=AF，∠EAF =90°．…………… 2分
在Rt△ABE中，
D
………………………… 1分
1
∵AB=2，BE?BC?1，
2
∴AE? …………………………………………… 3分 在Rt△AEF中，
图2
EF?……………………………… 4分
② l?
90??．……………………………… 5分
1802
． ∴弧EF
18．解：如图，作PD⊥BC于点D． ………………………1分
根据题意， 得 ∠BPD=60°，∠CPD=45°．
PB=AP?? AB =20． ………………………………… 2分 在Rt△BPD中，
∴PD?PB?cos60?=10．……………………………3分
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C
在Rt△CPD中，
∴PC?PD…………………………… 4分 cos45?
∴PC?14． …………………………………………5分
答：乙船的航行距离约是14海里．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19.解：（1）证明：?=〔?(m?1)]2?4m=(m?1)2．…………………………………………………………………………………… 1分
∵（m?1）2≥0， ∴?≥0．
∴该方程总有两个实数根． …………………………………………………………………
2
分
（2）解：x?
当m为整数1或?1时，x2为整数，即该方程的两个实数根都是整数，
∴m的值为1或?1．……………………………………………………………………………
5分
20.解：（1）∵点A（a，3）在直线y??x?2 上，
∴ 3=-a +2．
∴ a
=?1．………………………………………………………………………………………… 1分
∴A（?1，3）．
k∵点A（?1，3）在反比例函数y=的图象上， x
k ∴3=． －1
∴ k =
?3． ………………………………………………………………………………………… 2分
∴
3y=?． ……………………………………………………………………………………… 3分 x
（2）（0，4 ）或（0，?4 ）．……………………………………………………………………………5分
21.解：（1）120+5x；……………………………………………………………………………………………………………………………… 1分
九年级数学试卷 第9页（共6页）
（2）设有x辆车未租出时，该汽车租赁公司日收益为y元．
根据题意，有y??40?x??120?5x??2100．…………………………………………………………………… 3
分
即 y??5x2?80x?2700．
∵?5?0， ∴当x??80?8时，y有最大值. 2?(?5)
y有最大值是
3020. ……………………………………………………………………………………………………………………… 4分
∴120+5x=120+5×
8=160. …………………………………………………………………………………………………………… 5分
答：当每辆车的日租金为160元时，该汽车租赁公司日收益最大，最大日收益为3020元. 22. （1）证明：如图，连接BD． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°．?????????????? 1分 ∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB=90°．?????????????? 2分 A即∠DAB +∠CAF =90°．
∴∠CAF=∠ABD．
∵BA=BC，∠ADB=90°，
∴∠ABC=2∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF．????????????? 3分
（2）解：如图，连接AE．
∴∠AEB=90°．
设CE= x，
∵CE：EB=1：4，
∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3
x．
在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2．
即(2= x 2+(3x) 2．
∴x =2． ∴CE=2．??????????????????????????????????
? 4分
∴EB=8，BA=BC=10，AE=6．
AEAF?∵tan∠ABF?. EBBA
6AF∴?. 810
∴
九年级数学试卷 第10页（共6页）
AF=15. ????????????????????????????????? 5分 2
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23.解： (1) 由题意可知，此二次函数图象的对称轴为x?2，
即?
∴
k?1. …………………………………………………………………………………………??k?3?2k?2.
1分
∴y
=x2?4x?3. ……………………………………………………………………………………2分
（2）如图1
…………………………………………3分
1＜x＜
3. …………………………………………………………………………………………………………………………… 4分
（3）由（1
）得此方程为x2?m2?m?
0.
2?=（）?4（m2?m）=?m2+4m. …………………………………………………………………………………图1
… 5分
∴Δ是m的二次函数.
由图2可知，当?1≤m＜0时，Δ＜0；
当m=0时，Δ=0；当0＜m≤3时，Δ＞0.
∴当?1≤m＜0时，原方程没有实数根；当m=0时，
原方程有两个相等的实数根 ；当0＜m≤3时，原方程有
两个不相等的实数根. ………………………………7分
24.（1）90；………………………………………………………1分
（2）∠FPG=120°；……………………………………………2分
证明：如图，连接BD，CE．
∵∠BAC=∠DAE，
九年级数学试卷 第11页（共6页） 图2
∴∠BAD=∠CAE ． ∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE……………………………………3分
∴∠1=∠2．
∵点F，G，P分别是DE，BC，CD的中点， ∴
PF
∥
CE
，
PG
∥
BD．……………………………………………………………………………4分
∴∠FPD=∠ECD=∠2+∠3，∠4=∠5． ∴∠DPG=∠4+∠6=∠5+∠6．
∴∠FPG=∠FPD +∠DPG=∠2+∠3 +∠5+∠6=∠1+∠3 +∠5+∠6． 即
（
∠
FPG=
∠
3ABC+
∠
ACB=180°?
∠）
BAC=120°．…………………………………………………5分
?
7sin(90?－)． ……………………………………………………………………………………7分
2
?
（说明：也可以写成7cos）
2
25.解：（1）依题意，可知 A（?1， 0），B（0，2）．
抛物线y＝ax2＋bx－
2
经过点A，C (4,0) 所以有 3
2?a?b??0，??3
? ???????????????????????????
?16a+4b?2?0.?3?
1分
1?
a?，??6
解得 ?
1?b??.??2
∴y?
1212x?x?．??????????????????????????????2623
分
（2）点D在该抛物线上．??????????????????????????????3分
依题意，可得BO=2，CO=4． 过点D作DF垂直x轴于点F, ∴△CDF∽△CBO． ∴
DCDFCF2
===． BCBOCO1
九年级数学试卷 第12页（共6页）
∴DF=4，OF= CF? OC = 4．
∴ D（?4，4）．??????????????4分
∵1122??-4????-4???4， 623
∴点D在该抛物线上．
（3）①由题意可知E（4，10）．
设DE与y轴的交点为M′，
∵M′B∥EC， ∴DM'DB??1． EM'CB
∴D M′=EM′．
∴M′ 即⊙M的圆心M． ∴BM?1EC?5． 2
∴M（0，7）．???????????????????????????????6分
②（?4，4）或（3，3）．???????????????????????????8
分
说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.
九年级数学试卷 第13页（共6页）
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