含有lnn的正项级数敛散性的若干个判定方法

第２９卷第２期

２０１３年４月大　学　数　学ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏｌ．２９，№．２Ａｒ．２０１３ｐ

含有ｌｎｎ的正项级数敛散性的若干个判定方法

周杰荣

（）炮兵学院南京分院基础部，江苏南京２１１１３２

摘　要］研究了含有ｌ首先探讨研究此类级数敛散性的ｎｎ的正项级数的敛散性判定的常见六种方法．　　［

意义，然后通过举例说明判定含有ｌ重点探讨利用比较法判定级数的ｎｎ的正项级数的常见的六种方法，

敛散性．

［关键词］正项级数；收敛与发散；比较法

［（）中图分类号］Ｏ文献标识码］Ｃ　　［文章编号］１１７２．２　　［６７２１４５４２０１３０２０１１３０４－－－

１　引　　言

正项级数尤其含有ｌ例如对于级数ｎｎ的敛散性的判定是数学分析比较困难的内容之一，

以及的敛散性，许多同学无从下手．为了学生更好地掌握判断其敛散性的技ｌｎｎｌｎｌｎｎ　∑∑ｎｎｌｎｌｎ　　））ｎ＝２（ｎ＝ｅ（

巧，我们简单对此类问题作一探讨．数学分析课程告诉我们，要判断正项级数是否收敛，可以判断它的部分和是否有界，也可以采用比较判别法及其极限形式，比式判别法，根式判别法，积分判别法，可以参见［］当然可以采用上述方法进行判断，但是由于ｌ它又有１，２．对于含有ｌｎｎ的级数，ｎｎ的一些特殊性质，一些特殊的判定技巧．下面就此作简单的探讨．∞∞

２　判定方法举例

在这部分，我们通过列举各个典型的例子来阐述判定此类级数的办法与技巧．

２．１　利用部分和是否有界．

∞∞

例１　判定级数ｌｎｎｎｎ）与∑（＋１）－ｌ　　ｎｎ＋１）ｎｎ）的敛散性．（－　（∑（ｎ＝１ｎ＝１

ｎｎ１＋）该级数部分和解　（ｉ

Ｓｎ＝

ｎ→∞ｋ＝１ｌｎｋ＋１）ｎｋ）ｎｎｎ１＝ｌｎｎ－ｌ＝ｌ＋１）－ｌ＋１），　　　　　（（（∑（所以ｌ故该级数发散．ｉｍＳｎ＝∞，

（）该级数部分和ｉｉ

ｎ

Ｓｎ＝

→∞ｋ１ｋ＋ｎｎ＋１）ｎ１＝ｎｎ＋１）．＝－ｌ　　ｎｋ１ｎｋ）（（＋－　（）（∑ｋ＝１ｎ１＋ｎ＋ｎ１＋１，１因为ｌ所以ｌ故该级数收敛．ｉｍｎｎ＋１）＝ｌｉｍｉｍＳ＝　ｎ＝１，（ｎｎｎ→∞→∞