复习（一）：正弦定理和余弦定理2015-1-19
1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a．
（1）三边之间的关系（勾股定理）：a2＋b2＝c2
．
B
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°．
c（3）边角之间的关系（锐角三角函数定义）：
a
sinA＝cosB＝aba
c，cosA＝sinB＝c，tanA＝b
．
2．斜三角形中各元素间的关系：
如图，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边． （1）三角形内角和：A＋B＋C＝?．
（2）边与边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． （3）边与角的关系：
①正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
absinA?sinB?c
sinC
?2R（R为外接圆半径）．
变形：a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC．
②余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC．
变形：cosA?b2?c2?a2
a2?c2?b2a2?b2?c22bc，cosB?2ac
，cosC?2ab．
③三解形中大边对大角、sinA?sinB?A?B．充要条件
3．三角形的面积公式：
（1）S1?＝2aha＝12bhb＝1
2chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； （2）S＝111
?2absinC＝2bcsinA＝2acsinB；
（3）S1
??2?a?b?c?r（r是三角形内切圆的半径）．
（4）S?abc
4R
1. 在?ABC中，b?5,B?
?
,sinA?
1
43
,则a?________________.
2. 已知锐角三角形ABC
的面积为BC=4，CA=3，则?C?
3. 在?ABC中，B?1200,AC?7,AB?5,则三角形ABC的面积为_________________.
4. a,b,c 是?ABC的三边，若a,b,c成等比数列，且c?2a，则cosB?_____________.
所对边分别为a,b,c，若tanCtanCa2?b2
5. 在斜?ABC中，角A,B,CtanA?tanB?1则c
2
?
6. 在?ABC中，已知cosA?
513,sinB?3
5
,cosC的值为。
7. 在?ABC中，sin2A?sin2B?sin2
C?sinBsinC,则A的取值范围是_______________.
8. 在锐角?ABC中，BC=1，B=2A,则AC
COSA
的值等于,AC的取值范围是.
例1. 设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且b21
2．
(1)求证：cos B≥3
4
；
(2)若cos(A－C)＋cos B＝1，求角B的大小．
例2.在?ABC中，已知22(sin2A?sin2C)?(a?b)sinB,?ABC的外接圆半径为2 （1）求角C（2）求?ABC的面积的最大值
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