七、线性变换习题课
1．复习线性变换的概念
例1将C看成R上的线性空间，变换
证明：R上：
又有 =是线性的，看成C上的线性空间则不是。 =
故A是R上线性空间C的线性变换。
而
C上：
取
及，
有，，故A不是C上线性空间C的线性变换。
由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。
2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。
例2设A,B是线性变换，如果
证明： ，（k>0）
证明:由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法.
对k用归纳法.当k=1时结论成立.K=2时,由已知
=AB
=(BA+E)A+A-BA2
=BA2+A+A-BA2=2A结论成立.
设当k时结论成立,即
当k+1时
,
=ABAk+AkAk-1-BAk+1=(BA+E)Ak+kAk-BAk+1
=BAk+1+Ak+kAk-BAk+1=(k+1)Ak
所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立
.,也即.
例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.
证明:需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵.
设
因
为
性
,也是任意的,从而存在某个
k
为数量变换. 令A,B在某基下的矩阵分别为A,B.,所以
由得AB=BA.
由的任意使得A=kE为数量阵(P.204,ch.4.ex.7.3),
于是
有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换.
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