全 解 高 考 立 体 几 何 体
陕西定边县第三中学白治清
从一点发出的不在同一平面内的三条射线，形成三种空间角（即“线线角”，“面面角”与“线面角” ），这三种空间角之间的关系问题，是立体几何的一个基本问题，在立体几何的计算、证明中有着十分广泛的应用，本文将探讨这三种空间角之间的关系.
一、由“线线角”求“面面角”
定理1OA、OB、OC是不在同一平面内的三条射线，如果∠BOC=? 1，∠COA=? 2，∠AOB=? 3，二面角C-OA-B，A-OB-C与B-OC-A的平面角分别等于β1、β2 、β3 ，那么 cosβ1=cos?1?cos?2cos?3①sin?2sin?3
cos?2?cos?3cos?1 ② sin?3sin?1
cos?3?cos?1cos?2③ sin?1sin?2cosβ2=cosβ3=
证明：先证明①，分5种情况：
（1） ? 2与?3 ，均为锐角.
如图1，在OA上取一点P，使OP=1，在平面AOB内，
作PM⊥OA，交OB于M，在平面AOC内，作PN⊥OA，交OC于N，
连结MN，∠NPM=β1.
PN=tg?2，PM= tg?3，ON=sec?2，OM=sec?3，在△PMN
与△OMN中应用余弦定理，得
MN2=tg2?2确+tg2?3-2tg?3tg?2 cosβ1
=sec2?2+ sec2? 3-2sec?2sec?3cos?1.
用?1、?2、?3 ，得的三角函数表示cosβ1
cosβ1=cos?1?cos?2cos?3 sin?2sin?3
（2）?2与?3中有一个锐角，一个钝角.
如图2，不妨设?3为锐角，? 2为钝角，作OC的反向延长线OD.因为二面角D-OA-B与C-OA-B“互补”，所以D-OA-B的平面角等于???1.
∠BOD=???1,?AOD????2.对于射线OA、OB、OD应用①，得 cos（???1）=cos(???1)?cos(???2)cos?3， sin(???2)sin?3
即cos?1?
cos?1?cos?2cos?3. sin?2sin?31
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