1.已知?是实数，且存在正整数n0
证明：存在无穷多个正整数n
（2011年）
qq2
?，其中p，q为互质的正整数，则n0???2． pp
设k为任意的正整数，构造n?p2k2?2qk?n0，
qpk??Q． p2.求所有正整数x，y，使得x2?3y与y2?3x都是完全平方数．（2010年）
解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.
∵x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2，∴x2+3x= (x+1)2，∴x=y=1.??????5分 若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2.
∵x2+3y是完全平方数，
∴x2+3y= (x+1)2，得3y=2x+1，由此可知y是奇数，设y=2k+1，则x=3k+1，k是正整数. 又y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且
(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2， ∴y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2， 得 k=5，从而求得x=16，y=11.???????15分 若x＜y，同x＞y情形可求得 x=11，y=16.
综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)． ???????20分
3.设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝．(2009年）
(等价于：求实数x，使[x]2＝2{x}x.)
解：若a为负整数，则a2＞0，2b(a＋b)＜0，不可能，故a≥0．
于是a2＝2b(a＋b)＜2(a＋1)?a2－2a－2＜0?0≤a＜13?a＝0，1，2．
a＝0时，b＝0；
a＝1时，2b2＋2b－1＝0?b3－1
2
a＝2时，b2＋2b－2＝0?b3－1．
4.⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；
⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．（2009年）
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