三角变换与解三角形
一、知识点整理：
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.三角恒等变换的基本思路
(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧. “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”. (2)已知α，β ∈?
?3ππ?，sin(α＋β)＝－3，sin?β－π?＝12，则
??4?5?4???13
π?cos?α＝________.
4??
ππ3?π?1?πβ?变式训练1 (1)若0<α<<β<0，cos?α?＝，cos??＝，则(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝ (α＋β)＋(α－β)等. 4.正弦定理
abc
sin Asin B＝sin C
＝2R(2R为△ABC外接圆的直径).
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
sin A＝abc
2R，sin B＝2R，sin C＝2R
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 5.余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.
b2＋c2－a2a2＋c2cos A＝2bc，cos B＝－b2
推论：2ac
a2＋b2－c2
cos C＝2ab
6.面积公式
S111
△ABC＝2bcsin A＝2acsin B＝2
absin C.
7.三角形中的常用结论
(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝π. (2)A>B>C?a>b>c?sin A>sin B>sin C. (3)a＝bcos C＋ccos B. 二、热点分析
热点一、 三角恒等变换
例1 (1)若α∈???0，π22
1?，且sinα＋cos 2α＝4tan α的值等于 ( 2
3
2
B.3
C.2
D.3
22?4?3?42?3
cos??β?α＋2?等于() A.
3
B.－
33
3
C.
539D.6
9
(2)已知sin α＝12＋cos α，且α∈???0π2cos 2α?，则的值为________.
sin???
α－π4?热点2解三角形（正弦定理与余弦定理）
例2-1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2
－b2)sin(A＋B)，则△ABC的形状是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
例2-2 △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2
A2a.
(1)ba
(2)若c2＝b23a2
，求B.
)
变式训练2 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，
cos B＝7
9
.
(1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值.
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