2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置
上。 1．函数y?3sin(2x?【答案】π
2π2π
【解析】T＝|ω|＝|2|＝π．
2．设z?(2?i)2（i为虚数单位），则复数z的模为． 【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝
＝5．
?
4
)的最小正周期为
x2y2
??1的两条渐近线的方程为 ． 3．双曲线
169
【答案】y??
3x 4
x2y29x23??0，得y??【解析】令：??x． 169164
4．集合{?1,0,1}共有
【答案】8
【解析】23＝8．
5．右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4． 6
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． 【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：x?
2
89?90?91?88?92
?90．
5
(89?90)2?(90?90)2?(91?90)2?(88?90)2?(92?90)2
?2． 方差为：S?
5
7．现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m?7，n?9）可以任意选取，则m，n 都取到奇数的概率为 ．
- 1 -
【答案】20 63
4?520?． 7?963【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的概率为
8．如图，在三棱柱A1B1C1?ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥
F?ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1?ABC的体积为V2，则V1:V2?．
【答案】1：24
【解析】三棱锥F?ADE与三棱锥A1?ABC的相似比为
故体积之比为1：8．
又因三棱锥A1?ABC与三棱柱A1B1C1?ABC的体积之
1：3．所以，三棱锥F?ADE与三棱柱A1B1C1?ABC的
之比为1：24． C1 B1 1：2，A1FAD 比为 B 体积
9．抛物线y?x2在x?1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界) ．若点P(x,y)是区域D内的任意一点，则x?2y的取值范围是．
1【答案】[—22]
1z2【解析】抛物线y?x在x?1处的切线易得为y＝2x—1，令z＝x?2y，y＝—2x＋2 ．
11画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(2 ，0)时，zmax＝2 ．
x
10．设D，E分别是?ABC的边AB，BC上的点，AD?12AB，BE?BC， 23
若??1??2（?1，?2为实数），则?1??2的值为．
1【答案】2 【解析】DE?DB?BE?1212AB?BC?AB?(BA?AC)
2323
??
所以，?1??
12
AB?AC??1AB??2AC 63
112
，?2?，?1??2?2． 63
11．已知f(x)是定义在R上的奇函数。当x?0时，f(x)?x2?4x，则不等式f(x)?x 的解集用区间表示为 ．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出f(x)?x2?4x (x?0)的图像，如下图所示。由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式f(x)?x，表示函数y＝f(x)的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。
x2y2
12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为2?2?1(a?0,b?0)，右焦点为
ab
F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离
为d2，若d2?6d1，则椭圆C的离心率为． 【答案】
3
3
a2a2b2
【解析】如图，l：x＝，d2＝－c＝，
cccb2bc
由等面积得：d1＝。若d2?6d1，则
ac
bc22
a2，＝6，6a?ab?6b?0，两边同除以：a
b
??b?
6??????6?0，?a??a?
2
b6?b?解之得：＝，所以，离心率为：e?????． a33?a?
13．在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是函数y?21（x?0）图象上一动点， x
若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为 ．
【答案】1或
【解析】
14．在正项等比数列{an}中，a5?1，a6?a7?3，则满足a1?a2???an?a1a2?an的 2
最大正整数n的值为 ．
【答案】12
1??a1q4?【解析】设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，则：?2??a1q5(1?q)?3
q＝2，an＝26－n1，得：a132，2n?1．记Tn?a1?a2???an?，?n?a1a2?an?252
，化简得：2?1?2n1211n?n?522(n?1)n2．Tn??n，2n?1则?225
n?(n?1)n2，当n?1211n?n?5时，2213??12．当n＝12时，T12??12，当n＝13时，T13??13，故nmax＝12． 2
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知a＝(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，0??????．
（1）若|a?b|?2，求证：a?b；
（2）设c?(0,1)，若a?b?c，求?,?的值．
解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，
所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，
所以，a?b．
（2）?
?cos??cos??0?sin??sin??1①1，①2＋②2得：cos(α－β)＝－2 ． ②- 4 -
所以，α－β＝22?，α＝?＋β， 33
12?3?＋β)＋sinβ＝cosβ＋2 sinβ＝sin(＋β)＝1， 332带入②得：sin(
??＋β＝． 32
5??所以，α＝，β＝． 66所以，
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥S?ABC中，平面SAB?平面SBC，AB?BC，AS?AB，过A作AF?SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
（1）平面EFG//平面ABC； S （2）BC?SA．
证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB， G E
所以F为SB的中点． F又E，G分别为SA，SC的中点， A 所以，EF∥AB，EG∥AC．
又AB∩AC＝A，AB?面SBC，AC?面ABC，
所以，平面EFG//平面ABC．
（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF?平面ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面SBC．
又BC?平面SBC，
所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以，BC⊥平面SAB．
又SA?平面SAB，
所以，BC?SA．
17．（本小题满分14分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y?2x?4．
设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y?x?1上，过点A作圆C的切线，
求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA?2MO，求圆心C的横坐
标a的取值范围． ?y?x?1解：（1）联立：?，得圆心为：C(3，2)． y?2x?4?
设切线为：y?kx?3，
d＝|3k?3?2|
?k23?r?1，得：k?0ork??． 4
or3y??x?3． 4故所求切线为：y?0
2222（2）设点M(x，y)，由MA?2MO，知：x?(y?3)?2x?y，
化简得：x2?(y?1)2?4，
即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．
又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切．
故：1≤|CD|≤3，其中CD?
12解之得：0≤a≤5 ．
18．（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行 到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两 位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从 A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的 速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA?
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，
乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：（1）如图作BD⊥CA于点D，
设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k， AB＝52k，由AC＝63k＝1260m， 知：AB＝52k＝1040m．
C （2）设乙出发x分钟后到达点M， a2?(2a?3)2． 123，cosC?． 135A
此时甲到达N点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，
35其中0≤x≤8，当x＝37 (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
1260126（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：50 ＝5(min)．
12614186若甲等乙3分钟，则乙到C5 ＋3＝5 (min)，在BC5 (min) ．
861250此时乙的速度最小，且为：500÷5 43m/min．
12611156若乙等甲3分钟，则乙到C5－3＝5 (min)，在BC5 (min) ．
56625此时乙的速度最大，且为：500÷5 14m/min．
1250625故乙步行的速度应控制在[43，14 ]范围内．
19．（本小题满分16分）
设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d?0)，Sn是其前n项和．记bn?nSn， n2?cn?N*，其中c为实数．
（1）若c?0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk?n2Sk（k,n?N*）；
（2）若{bn}是等差数列，证明：c?0．
证：（1）若c?0，则an?a?(n?1)d，Sn?2n[(n?1)d?2a](n?1)d?2a，bn?． 22当b1，b2，b4成等比数列，b2?b1b4， d?3d???2即：?a???a?a??，得：d?2ad，又d?0，故d?2a． 2?2???
由此：Sn?n2a，Snk?(nk)2a?n2k2a，n2Sk?n2k2a．
故：Snk?n2Sk（k,n?N）． *2
(n?1)d?2a
nS（2）bn?2n?， 2n?cn?c
(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2an2?c?c ?2n?c
(n?1)d?2ac(n?1)d?2a． (※) ??22n?cn2
若{bn}是等差数列，则bn?An?Bn型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂， (n?1)d?2a
(n?1)d?2a(n?1)d?2ac?0故有：，即，而≠0， ?0222n?c
故c?0． c经检验，当c?0时{bn}是等差数列．
20．（本小题满分16分）
设函数f(x)?lnx?ax，g(x)?e?ax，其中a为实数．
- 7 - x
（1）若f(x)在(1,??)上是单调减函数，且g(x)在(1,??)上有最小值，求a的取值范围；
（2）若g(x)在(?1,??)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论． 解：（1）f?(x)?
故：a≥1． 11?a≤0在(1,??)上恒成立，则a≥，x?(1，??)． xx
g?(x)?ex?a，
若1≤a≤e，则g?(x)?ex?a≥0在(1,??)上恒成立，
此时，g(x)?ex?ax在(1,??)上是单调增函数，无最小值，不合；
若a＞e，则g(x)?ex?ax在(1，lna)上是单调减函数，在(lna，??)上是单调增函数，gmin(x)?g(lna)，满足．
故a的取值范围为：a＞e．
（2）g?(x)?ex?a≥0在(?1,??)上恒成立，则a≤ex，
1故：a≤e．
f?(x)?11?ax?a?xx(x?0)．
11(ⅰ)若0＜ae，令f?(x)＞0得增区间为(0，a)；
1令f?(x)＜0得减区间为(a，﹢∞)．
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；
111当xa 时，f(a )＝﹣lna－1≥0，当且仅当ae时取等号．
11故：当a＝e 时，f(x)有1个零点；当0＜a＜e 时，f(x)有2个零点．
(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．
(ⅲ)若a＜0，则f?(x)?1?a?0在(0，??)上恒成立， x
即：f(x)?lnx?ax在(0，??)上是单调增函数，
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．
此时，f(x)有1个零点．
11综上所述：当a＝e或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜a＜e时，f(x)有2个零点．
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