高中数学常用公式及结论
1元素与集合的关系:x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.??A?A?? 2 集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2?1个；非空子集有2?1个；非空的真子集有nnn2n?2个.
3 二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0);
(2) 顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0);（当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时，设为此式）
(3) 零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)时，设为此式）
4 真值表：同真且真，同假或假
5
6 ）
充要条件： (1)、p?q，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；
（2）、p?q，且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件；
(3)、p ≠> p ，且q?p，则P是q的必要不充分条件；
4、p ≠> p ，且q ≠> p，则P是q的既不充分又不必要条件。
7 函数单调性:
增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在x?D上有定义，若对任意的x1,x2?D,且x1?x2，都有 f(x1)?f(x2)成立，则就叫f（x）在x?D上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在x?D上有定义，若对任意的x1,x2?D,且x1?x2，都有 f(x1)?f(x2)成立，则就叫f（x）在x?D上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。1 / 10
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性：
等价关系：(1)设x1,x2?a,b,x1?x2那么
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?
f(x1)?f(x2)
?0?f(x)在?a,b?上是增函数；
x1?x2
f(x1)?f(x2)
?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?
x1?x2
(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.
8函数的奇偶性：（注：
奇函数：定义：在前提条件下，若有f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0，则f（x）就是奇函数。 性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；
（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 . 偶函数：定义：在前提条件下，若有f(?x)?f(x)，则f（x）就是偶函数。
性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：
(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 9函数的周期性：定义：对函数f（x），若存在T?0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其
中，T是f（x）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；（2）、
f（x+m）=f（x+n），此时周期为2m?n ； (3)、f(x?m)??
10常见函数的图像：
1
，此时周期为2m 。 f(x)
2 / 10
11 对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是x?
a?b
;两个函数2
y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?
12 分数指数幂与根式的性质：
(1)a
mn
b?a
对称. 2
?mn
?a?0,m,n?N，且n?1）.（2
）a
?
?
1a
mn
?
a?0,m,n?N?，且n?1）.
（3
）n?a.（4）当n
?a；当n
?|a|??13 指数式与对数式的互化式: logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).
指数性质： (1)1、a
r?p
?a,a?0
.
??a,a?0
?
s
10
； （2）、a?1（a?0） ； (3)、amn?(am)n pa
r?s
(4)、a?a?a指数函数：
(a?0,r,s?Q) ； (5)
、a? ；
mn
(1)、 y?ax(a?1)在定义域内是单调递增函数；
（2）、 y?ax(0?a?1)在定义域内是单调递减函数。注： 对数性质：
(1)、 logaM?logaN?loga(MN) ；（2）、 logaM?logaN?loga(3)、 logabm?m?logab ；(4)、 logamb?(6)、 logaa?1 ； (7)、 a对数函数：
(1)、 y?logax(a?1) 在定义域内是单调递增函数；
（2）、y?logax(0?a?1)在定义域内是单调递减函数；注： (3)、 log?a,x?(0或,1)ax?,ax?0
?(1,?
loagb
n
M
； N
n
?logab ； (5)、 loga1?0 m
?b
(4)、logax?0?a?(0,1)则x?(1,??) 或 a?(1,??)则x?(0,1) 14 对数的换底公式 :logaN?
对数恒等式：a推论 logamb?
n
logmN
(a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).
logma
logaN
?N(a?0,且a?1, N?0).
n
logab(a?0,且a?1, N?0). m
M
?logaM?logaN; N
15对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)loga(MN)?logaM?logaN; (2) loga
3 / 10
(3)logaMn?nlogaM(n?R); (4) logamN?
16 平均增长率的问题（负增长时p?0）： nnlogaN(n,m?R)。 m
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y?N(1?p)x. 17 等差数列：通项公式： （1） an?a1?(n?1)d ，其中a1为首项，d为公差，n为项数，an为末项。
（2）推广： an?ak?(n?k)d
（3）an?Sn?Sn?1(n?2) （注：该公式对任意数列都适用）
前n项和： （1）Sn?n(a1?an) ；其中a1为首项，n为项数，an为末项。 2
n(n?1)d （2）Sn?na1?2
（3）Sn?Sn?1?an(n?2) （注：该公式对任意数列都适用）
（4）Sn?a1?a2???an （注：该公式对任意数列都适用）
常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 am?an?ap?aq ；
注：若am是an,ap的等差中项，则有2am?an?ap?n、m、p成等差。
（2）、若?an?、?bn?为等差数列，则?an?bn?为等差数列。
（3）、?an?为等差数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2m?Sm,S3m?S2m也成等差数列。 等比数列：通项公式：（1） an?a1qn?1?a1n?q(n?N*) ，其中a1为首项，n为项数，q为公比。 q
（2）推广：an?ak?qn?k（3）an?Sn?Sn?1(n?2) （注：该公式对任意数列都适用）
?na1?前n项和：Sn??a1(1?qn)?1?q?(q?1)(q?1)
常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 am?an?ap?aq ；
注：若am是an,ap的等比中项，则有 am?an?ap?n、m、p成等比。
19三角不等式： 2
)，则sinx?x?tanx.(2) 若x?
(0,)，则1?sinx?cosx?22
(3) |sinx|?|cosx|?1.
sin?2220 同角三角函数的基本关系式 ：sin??cos??1，tan?=， cos?
21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
4 / 10
（1）若x?(0,??
22 和角与差角公式
sin(???)?sin?cos??cos?sin?;cos(???)?cos?cos??sin?sin?;
tan??tan?.asin??
bcos????) 1?tan?tan?
b(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决定,tan?? ). atan(???)?
23 二倍角公式及降幂公式
sin2??sin?cos??
22tan?. 1?tan2?221?tan2?cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin??. 21?tan?
2tan?sin2?1?cos2?tan2??tan???. 1?tan2?1?cos2?sin2?
1?cos2?1?cos2?sin2??,cos2?? 222
24 三角函数的周期公式
函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0)的周期T?函数y?tan(?x??)，x?k??
三角函数的图像：
2?；|?|?2,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0)的周期T??. |?|
25 正弦定理 ：abc???2R（R为?ABC外接圆的半径）. sinAsinBsinC
?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC?a:b:c?sinA:sinB:sinC
26余弦定理：
a2?b2?c2?2bccosA;b2?c2?a2?2cacosB;c2?a2?b2?2abcosC.
27面积定理：
111aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222
111（2）S?absinC?bcsinA?casinB. 222(3)S?OAB?（1
）S?
a?b－c斜边2S?r?内切圆?,r直角?内切圆?a?b?c2
28三角形内角和定理 ：
在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)
?C?A?B???2C?2??2(A?B)
. 222
29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么： ?????(1) 结合律：λ(μa)=(λμ) a;(2)第一分配律：(λ+μ) a=λa+μa; ????(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
5 / 10
??????30a与b的数量积(或内积)：a·b=|a||b|cos?。
31平面向量的坐标运算：
???????????? (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1). ??(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y). ????(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2).
32 两向量的夹角公式：
??????(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2). (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2). ????a?bcos???|a|?|b|??(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
33 平面两点间的距离公式： ????
d
A,B=|AB|??(x1,y1)，B(x2,y2)). ??34 向量的平行与垂直 ：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则： ????a||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0.（交叉相乘差为零） ??????a?b (a?0)? a·b=0?x1x2?y1y2?0.（对应相乘和为零） 36三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1?x2?x3y1?y2?y3,). 33
37三角形五“心”向量形式的充要条件：
设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则 ????2????2????2（1）O为?ABC的外心?OA?OB?OC. ?????????????O?ABC（2）为的重心?OA?OB?OC?0. ????????????????????????（3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA. ?????????????（4）O为?ABC的内心?aOA?bOB?cOC?0.?????????????A（5）O为?ABC的的旁心?aOA?bOB?cOC.
2238常用不等式： （1）a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．
a?b?当且仅当a＝b时取“=”号)． 2
333（3）a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0). （2）a,b?
R??
（4）a?b?a?b?a?b.
2aba?b（5
）当且仅当a＝b时取“=”号)。 ???a?b239极值定理:已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p；
（2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值
（3）已知a,b,x,y?R，若ax?by?1则有
?12s. 4
1111byax??(ax?by)(?)?a?b???a?b??2。 xyxyxy
6 / 10
ab??1则有 x
y
abaybxx?y?(x?y)(?)?a?b???a?b?2 xyxy
240 一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)，如果a与ax?bx?c同号，则其解
2集在两根之外；如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之（4）已知a,b,x,y
?
R?，若
间.即：
x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；
x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).
41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有
x?a?x2?a2??a?x?a.x?a?x2?a2?x?a或x??a.
42 斜率公式 ：
k?y2?y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）. x2?x1
43 直线的五种方程：
k（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为)．
（2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距).
y?y1x?x1(y1?y2)(P?1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2,y1?y2)). y2?y1x2?x1
两点式的推广：(x2?x1)(y?y1)?(y2?y1)(x?x1)?0（无任何限制条件！）
xy(4)截距式 ??1(a、b分别为直线的横、纵截距，a?0、b?0) ab
（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0). ??直线Ax?By?C?0的法向量：l??(A,B
)，方向向量：l?(B,?A)
46 点到直线的距离 ：d?(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0). （3）两点式
47 圆的四种方程：
（1）圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r.
22（2）圆的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0). 22222
?x?a?rcos?. y?b?rsin??
（4）圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)). （3）圆的参数方程 ?
48点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆
(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种： 222
d?r?点P在圆外;
d?r?点P在圆上; d?r?点P在圆内.
22249直线与圆的位置关系：直线Ax?By?C?0与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种
Aa?Bb?C(d?): 22A?B
d?r?相离???0;d?r?相切???0;d?r?相交???0. 若d?
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d，则：
d?r1?r2?外离?4条公切线;d?r1?r2?外切?3条公切线;
r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线;
7 / 10
r2-r1+r
d?r1?r2?内切?1条公切线;0?d?r1?r2?内含?无公切线. ?x?acos?x2y2c51 椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程是?.
离心率e??
aby?bsin?a?
x2y222222
54 椭圆的切线方程:椭圆2?2?1(a?b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.
abx2y2c55 双曲线2?2?1(a?0,b?
0)的离心率e??
aba56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:
x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为2?2?1?渐近线方程：2?2?0?y??x.
aabab
xyx2y2b
(2)若渐近线方程为y??x???0?双曲线可设为2?2??.
abaab
x2y2x2y2
(3)若双曲线与2?2?1有公共渐近线，可设为2?2??
abab
（??0，焦点在x轴上，??0，焦点在y轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b。
x2y222222
57双曲线的切线方程:双曲线2?2?1与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.
ab
58抛物线y2?2px的焦半径公式:
p
抛物线y2?2px(p?0)焦半径CF?x0?.
2
pp
过焦点弦长CD?x1??x2??x1?x2?p.
22
60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?
或AB?
?|x1?x2|?|y1?y2（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程?
?y?kx?b2
消去y得到ax?bx?c?0
?F(x,y)?0
??0,?为直线AB的倾斜角，k
为直线的斜率，|x1?x2|?61证明直线与平面的平行的思考途径:
（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 62证明直线与平面垂直的思考途径:
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。 64 向量的直角坐标运算：
??
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则：
????
(1) a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；(2) a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；
???
(3)λa＝(?a1,?a2,?a3) (λ∈R)；(4) a·b＝a1b1?a2b2?a3b3；
65 夹角公式：
????
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b
3)，则cos?a,b??
8 / 10
.
66 异面直线间的距离 ： ????????|CD?n|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离). d?|n|
67点B到平面?的距离： ???????|AB?n|?（n为平面?的法向量，A??，AB是?的一条斜线段）. d?|n|
43268球的半径是R，则其体积V??R,其表面积S?4?R． 3
69球的组合体：
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面
对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
13(
正四面体高a的),
外接球的半径为a(
正四面体高a的). 44343
70 分类计数原理（加法原理）：N?m1?m2???mn. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为a
分步计数原理（乘法原理）：N?m1?m2???mn.
m71排列数公式 ：An=n(n?1)?(n?m?1)=n！*.(n，m∈N，且m?n)．规定0!?1. (n?m)！
72 组合数公式：Cm
n=n！Anmn(n?1)?(n?m?1)*==(∈N，m?N，且m?n). nm1?2???mm！?(n?m)！Am
mmn?mm?1m0组合数的两个性质:(1)Cn=Cn ;(2) Cn+Cn=Cn?1.规定Cn?1.
0n1n?12n?22rn?rrnn73 二项式定理 (a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb ;
rn?rr1，2?，n). 二项展开式的通项公式Tr?1?Cnab(r?0，
f(x)?(ax?b)n?a0?a1x?a2x2???anxn的展开式的系数关系：
a0?a1?a2???an?f(1)； a0?a1?a2???(?1)nan?f(?1)；a0?f(0)。
74 互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
n个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)．
75 独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).
n个独立事件同时发生的概率：P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)．
kkn?k76 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：P. n(k)?CnP(1?P)
77 数学期望：E??x1P1?x2P2???xnPn??
数学期望的性质
（1）E(a??b)?aE(?)?b. （2）若?～B(n,p),则E??np.
(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?q
22k?1p，则E??21. p78方差：D???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E???pn??标准差：??=D?.
方差的性质：
(1)D?a??b??aD?；(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p). 2
(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则D??
2q. 2p2方差与期望的关系：D??E???E??.
9 / 10
79正态分布密度函数：f?
x????x???226,x????,???，
式中的实数μ，?（?>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
对于N(?,?2)，取值小于x的概率：F?x????
80 f(x)在x0处的导数（或变化率）： ?x????.P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1? ???
f(x0??x)?f(x0)?y?lim. x?x0?x?0?x?x?0?x
?ss(t??t)?s(t)?lim瞬时速度：??s?(t)?lim. ?t?0?t?t?0?t
81 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义： f?(x0)?y??lim
函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).
82 几种常见函数的导数：
(1) C??0（C为常数）.(2) (xn)??nxn?1(n?Q).(3) (sinx)??cosx.
(4) (cosx)???sinx. (5) (lnx)??
(6) (ex)??ex; (ax)??axlna.
83 导数的运算法则： 11；(logax)??logae. xx
u'u'v?uv'
(v?0). （1）(u?v)?u?v.（2）(uv)?uv?uv.（3）()?vv2
84 判别f(x0)是极大（小）值的方法：
当函数f(x)在点x0处连续时，
（1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值； ''''''
（2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值.
85 复数的相等：a?bi?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R）
86 复数z?a?bi的模（或绝对值）|z|=|a?
bi|87 复平面上的两点间的距离公式：
d?|z1?z2|?（z1?x1?y1i，z2?x2?y2i）.
88实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程ax?bx?c?0， 2
?b?①若??b?4ac?0,
则x1,2?2a
b2②若??b?4ac?0,则x1?x2??; 2a
2③若??b?4ac?0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭
复数根22x?b?4ac?0).
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