专题八 立体几何
1.(2012·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(
)
A．28＋5 B．30＋5
C．56＋5 D．60
＋ 125
2.(2012·高考陕西卷)将正方形(如图1
所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()
3.(2012·高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为3________ m.
4.(2012·高考山东卷) 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一
点，则三棱锥A－DED1的体积为__________．
5.(2012·高考安徽卷)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD
＝BC，则________．(写出所有正确结论的编号)
①四面体ABCD每组对棱相互垂直
②四面体ABCD每个面的面积相等
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于 180° ④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 6.(2012·高考课标全国卷) 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，
1AC＝BC＝1，D是棱AA1的中点．
2
(Ⅰ)证明：平面BDC1⊥平面BDC；
(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
7.(2012·高考广东卷) 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD
1＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．
2
(1)证明：PH⊥平面ABCD；
(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；
(3)证明：EF⊥平面PAB.
8.(2012·高考福建卷) 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．
(Ⅰ)求三棱锥A－MCC1的体积；
(Ⅱ)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.
9.(2012·高考浙江卷) 如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．
(Ⅰ)证明：(ⅰ)EF∥A1D1；
(ⅱ)BA1⊥平面B1C1EF；
(Ⅱ)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．
10.(2012·高考湖南卷) 如右图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.
(Ⅰ)证明：BD⊥PC；
(Ⅱ)若AD＝4，BC＝2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
专题八 立体几何
1.B 由三视图可得该三棱锥的直观图为(下图)，在直观图中，作SO⊥AC于O，则SO⊥面ABC
，作OG⊥AB于G，连SG，则SG⊥AB，由三视图知，∠ACB＝90°，SO＝4，AO＝2，
CO＝3，BC＝4.
在Rt△AOG及Rt△ACB中，由Rt△AOG∽Rt△ACB，
2×4AOOG8∴OG＝. ABBC4141
5在Rt△SOG中，SGSO＋OG＝16＋＝. 414141
11115∴S表＝S△SAC＋S△SBC＋S△ABC＋S△SAB＝×4×5＋×4×4＋3＋4×5＋×222241＝30＋62.B 由图2可知AD1为实线，B1C在左视图中为虚线，所以左视图为B.
3.30 由三视图知原几何体是由两个长方体及1个三棱柱组合而成，∴V＝[3×4＋（1＋2）×1×4＝30. 21114.VD1－EDF＝VF－EDD1＝△D1DE·CD＝636
5.②④⑤
如图所示，利用特值法易知②④⑤正确，③错误，①不一定．
6.证明：(Ⅰ)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1. 又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.
又DC1?平面BDC1，
故平面BDC1⊥平面BDC.
(Ⅱ)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1.
11＋21由题意得V1××1×1＝. 322
又三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1，
所以(V－V1)∶V1＝1∶1.
故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1. 7.解：(1)证明：因为AB⊥平面PAD，
所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中AD边上的高，
所以PH⊥AD.
因为AB∩AD＝A，
所以PH⊥平面ABCD
.
(2)连结BH，取BH中点G，连结EG，
因为E是PB的中点，
所以EG∥PH，
因为PH⊥平面ABCD，
所以EG⊥平面ABCD，
11则EG＝＝， 22
1VE－BCF＝△BCF·EG 3
112＝FC·AD·EG＝3212
(3)证明：取PA中点M，连结MD，ME.
因为E是PB的中点，
1所以ME綊. 2
1因为DF綊AB， 2
所以ME綊DF，
所以四边形MEDF是平行四边形，
所以EF∥MD.
因为PD＝AD，
所以MD⊥PA.
因为AB⊥平面PAD，
所以MD⊥AB.
因为PA∩AB＝A，
所以MD⊥平面PAB，
所以EF⊥平面PAB.
8.解：(Ⅰ)由长方体ABCD－A1B1C1D1知，
AD⊥平面CDD1C1，
∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD＝1，
11又S△MCC1CC1×CD＝2×1＝1， 22
11∴VA－MCC1＝AD·S△MCC1＝33
(Ⅱ)将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面(如图)， 当A1，M，C′共线时，A1M＋MC取得最小值． 由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1中点． 连接C1M，在△C1MC中，MC1＝2，MC2，CC1＝2，
22∴CC21＝MC1＋MC，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1，
又由长方体ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1， ∴B1C1⊥CM.
又B1C1∩C1M＝C1，∴CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M， 同理可证，B1M⊥AM，
又AM∩MC＝M，∴B1M⊥平面MAC.
9.解：(Ⅰ)(ⅰ)因为C1B1∥A1D1，C1B1?平面ADD1A1，所以C1B1∥平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，所以C1B1∥EF.
所以A1D1∥EF
.
(ⅱ)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥B1C1.
又因为B1C1⊥B1A1，BB1∩B1A1＝B1，
所以B1C1⊥平面ABB1A1.
所以B1C1⊥BA1
在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，
tan ∠A1B1F＝tan ∠AA1B＝2， 2即∠A1B1F＝∠AA1B.
又B1F∩B1C1＝B1，
故∠A1B1F＋∠BA1B1＝90°，
故BA1⊥B1F.
所以BA1⊥平面B1C1EF.
(Ⅱ)设BA1与B1F交点为H.连结C1H.
由(Ⅰ)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角．
4在矩形AA1B1B中，AB＝2，AA1＝2，得BH＝ . 6
4在直角△BHC1中，BC1＝25，BH＝，得 6
BH30sin∠BC1H＝＝. BC115
30所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是. 15
10.解：(Ⅰ)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC.
而PC?平面PAC，所以BD⊥PC.
(Ⅱ)设AC和BD相交于点O，连结PO，由(Ⅰ)知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角．从而∠DPO＝30°.
由BD⊥平面PAC，PO?平面PAC知，BD⊥PO.在Rt△POD中，由∠DPO＝30°得PD＝2OD.
因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，
1111从而梯形ABCD的高为AD＋＝(4＋2)＝3，于是梯形ABCD的面积S＝(4＋2)×32222
＝9.
2在等腰直角三角形AOD中，OD＝＝22，所以PD＝2OD＝42，PA＝PD－AD2
＝4.
11故四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝9×4＝12. 33
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