2017年湖北省部分重点中学高考适应性数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（）
A． B．2i C． D．.2+2i
2．数列4，a，9是等比数列是“a=±6”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若?（p∧q）为假命题，则（）
A．p为真命题，q为假命题 B．p为假命题，q为假命题
C．p为真命题，q为真命题 D．p为假命题，q为真命题
4．设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|cosπx=1}，则（?UA）∩B的元素个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）
A． B． C． D．
6．设函数f（x）=4cos（ωx+φ）对任意的x∈R，都有
g（x）=sin（ωx+φ）﹣2，则
A．1 的值是（） ，若函数B．﹣5或3 C． D．﹣2
7．已知实数x，y满足，则z=xy的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，过点D1、E、F的截面将正方体分割成两个部分，V2记这两个部分的体积分别为V1、（V1＜V2），则V1：V2=（ ）
A． B． C． D．
上有一点P，过点P作两条渐9．已知O为坐标原点，双曲线
近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C．16π D．21π
11．G为△ADE的重心，点P为△DEG内部（含边界）上任一点，B，C均为AD，AE上的三等分点（靠近点A），=α β∈R）+β（α，，则α+β的范围是（ ）A．[1，2] B．[1，] C．[，2] D．[，3]
12．已知函数f（x）=
x2，则x1+x2的取值范围是（ ）
A．[4﹣2ln2，+∞）
1+
） B．[1+，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，，+∞） C．[4﹣2ln2，1+） D．[﹣∞，
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知（x+a）2（x﹣1）3的展开式中，x4的系数为1，则a= ． 14．
15．已知 =． ，则f（﹣12）+f（14）= 16．已知a∈R，若f（x）=（x+﹣1）ex在区间（1，3）上有极值点，则a的取值范围是 ．
三、解答题：（本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，AD是角A的平分线．
（1）用正弦定理或余弦定理证明：
（2）已知AB=2．BC=4，； ，求AD的长．
18．?2）某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，，下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．
（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；
（2））给出正态分布的数据：P（μ﹣?＜X＜μ+?）=0.6826，P（μ﹣2?＜X＜μ+2?）=0.9544．
由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．
19．等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P
的
位置，使P﹣AE﹣C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．
（1）证明：点H为EB的中点；
（2）） 若，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．
20．已知直线
若椭圆的离心率为是椭圆，右准线方程为x=2． 的右准线，
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）已知一直线AB过右焦点F（c，0），交椭圆Γ于A，B两点，P为椭圆Γ的左顶点，PA，PB与右准线交于点M（xM，yM），N（xN，yN），问yM?yN是否为定值，若是，求出该定值，否则说明理由．
21．（1）已知a为常数，且0＜a＜1，函数f（x）=（1+x）a﹣ax，求函数f（x）在x＞﹣1上的最大值；
（2）若a，b均为正实数，求证：ab+ba＞1．
请考生从第（22），（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：参数方程与坐标系]
22．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C1的参数方程为
且α∈[0，π）），曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．
（1）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；
（2））若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于点M，N，求|PM|?|PN|的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
，（α为参数，
23．已知函数f（x）=|x+a|+|x+3|，g（x）=|x﹣1|+2． （1）解不等式|g（x）|＜3；
（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
2017年湖北省部分重点中学高考适应性数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（ ）
A． B．2i C． D．.2+2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的几何意义、运算法则即可得出．
【解答】解：在复平面内，复数z的对应点为（1，1），∴z=1+i．
z2=（1+i）2=2i，
故选：B．
2．数列4，a，9是等比数列是“a=±6”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据等比数列的定义求出a的值，从而求出答案即可．
【解答】解：若数列4，a，9是等比数列，
则a2=36，解得：a=±6，
故数列4，a，9是等比数列是“a=±6”的充要条件，
故选：C．
3．若?（p∧q）为假命题，则（ ）
A．p为真命题，q为假命题 B．p为假命题，q为假命题
C．p为真命题，q为真命题 D．p为假命题，q为真命题
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据否命题和复合命题真假关系进行判断即可．
【解答】解：若?（p∧q）为假命题，
则p∧q为真命题，
则p为真命题，q为真命题，
故选：C
4．设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|cosπx=1}，则（?UA）∩B的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由对数式的真数大于0求得集合A，求解三角方程化简集合B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案．
【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．
∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则?UA={x|﹣2≤x≤0}；
由cosπx=1，得：πx=2kπ，k∈Z，∴x=2k，k∈Z．
则B={x|cosπx=1}={x|x=2k，k∈Z}，
则（?UA）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=2k，k∈Z}={﹣2，0}．
∴（?UA）∩B的元素个数为2．
故选：B．
5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=5时不满足条件n＜5，退出循环，输出S的值4．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
S=1，n=1
满足条件n＜5，执行循环体，S=1，n=2
满足条件n＜5，执行循环体，S=2，n=3
满足条件n＜5，执行循环体，S=3
满足条件n＜5，执行循环体，S=4，n=4 ，n=5
． 不满足条件n＜5，退出循环，输出S的值4
故选：A．
6．设函数f（x）=4cos（ωx+φ）对任意的x∈R，都有g（x）=sin（ωx+φ）﹣2，则
A．1 的值是（ ） ，若函数B．﹣5或3 C． D．﹣2
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】根据
可得ω×+φ=0．可求，可得函数f（x）=4cos（ωx+φ）的对称轴x=的值．
，，【解答】解：函数f（x）=4cos（ωx+φ）对任意的x∈R，都有
∴函数f（x）=4cos（ωx+φ）的对称轴x=∴ω×+φ=kπ．（k∈Z）
）=sin（kπ）﹣2=﹣2． ， 那么：g（
故选D．
7．已知实数x，y满足
A．1 B．2 C．3 D．4 ，则z=xy的最大值为（ ）
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，
结合图形区间最大
值即可．
【解答】解：作出实数x，y满足 对应的平面区域如图：
由z=xy，则y=为双曲线，
要使z=xy最大，则z＞0，
∵z=xy对应的双曲线的对称轴为y=x， ∴由图象可知当z=xy与x+y﹣4=0相切时， z=xy取得最大值，
由
解得， ，即A（2，2），
此时z=2×2=4，
故选：D．
8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，过点D1、E、F的截面将正方体分割成两个部分，V2记这两个部分的体积分别为V1、（V1＜V2），则V1：V2=（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】作出截面，分别求出体积，即可求出V1：V2．
【解答】解：如图所示，设正方体的棱长为2a，则过点D1、E、F的截面下方体积为﹣
==， ， ∴另一部分体积为8a3﹣
∴V1：V2=
故选C． ，
9．已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|
，
求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得b，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．
【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程bx±y=0，
设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l， 则l的方程为：bx+y﹣bm﹣n=0，l与渐近线bx﹣y=0交点为A，
则A（，），|OA|=|
， |， P点到OA的距离是：d=
∵|OA|?d=1，∴|
∴b=2，∴c=
∴e= |?=1， ，
故选：C．
10．如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C．16π D．21π
【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．
【分析】由几何体的三视图知该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是边长为2的正主形，△SBC是边长为2 的等边三角形，AB⊥平面SBC，由此能求出该空间几何体的外接球的表面积．
【解答】解：如图，由几何体的三视图知该几何体是四棱锥S﹣ABCD， 其中ABCD是边长为2的正方形，△SBC是边长为2 的等边三角形，
AB⊥平面SBC，
取BC中点F，AD中点E，连结SF，EF，取EF中点M，则MF=1，SF=设该几何体外接球的球心为O，则OM⊥面ABCD，设OM=x，
过O作OH⊥SF，交SF于H，则SH=
∴OD2=OS2=R2，
即（
解得x=
∴R=）2+x2=12+（， =，
=． ）2， ，OH=MF=1， ， ∴该空间几何体的外接球的表面积S=
故选：B．
11．G为△ADE的重心，点P为△DEG内部（含边界）上任一点，B，C均为AD，AE上的三等分点（靠近点A），=α β∈R）+β（α，，则α+β的范围是（ ）A．[1，2] B．[1，] C．[，2] D．[，3]
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】利用向量的线性运算，及特征点验证法求解．
【解答】解：G为△ADE的重心，点P为△DEG内部（含边界）上任一点，B，C
AE上的三等分点α=3，β=0，α+β=3；均为AD，（靠近点A），∴当点P在点D处，
当点P在点E处，α=0，β=3，α+β=；当点P在点E处，α=1，β=1，α+β=；故选：D
12．已知函数f（x）=
x2，则x1+x2的取值范围是（ ）
A．[4﹣2ln2，+∞）
1+） B．[1+，+∞） C．[4﹣2ln2，1+） D．[﹣∞，，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】由题意可知：当x≥1时，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则x1+x2=et+2﹣2t，t＞，设g（t）=et+2﹣2t，t＞，求导，利用导数求得函数的单调性区间，即可求得x1+x2的取值范围．
【解答】解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0，
∴f（x）+1≥1，
∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
当x＜1，f（x）=1﹣＞，
f（x）+1＞，
f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
综上可知：f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，
则f（x）+1=e﹣m，f（x）=e﹣m﹣1，有两个根x1，x2，（不妨设x1＜x2）， 当x≥1是，lnx2=e﹣m﹣1，当x＜1时，1﹣
令t=e﹣m﹣1＞，则lnx2=t，x2=et，1﹣
∴x1+x2=et+2﹣2t，t＞，
设g（t）=et+2﹣2t，t＞，
求导g′（t）=et﹣2，令g′（t）=0，解得：t=ln2，
t∈（，ln2），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，
t∈（ln2，+∞），g′（t）＞0，函数g（t）单调递增，
=e﹣m﹣1， =t，x1=2﹣2t，
∴当t=ln2时，g（t）取最小值，最小值为：g（t）min=g（ln2）=2+2﹣2ln2=4﹣2ln2，
∴g（x）的值域为[4﹣2ln2，+∞），
∴x1+x2取值范围[4﹣2ln2，+∞），
故选：A．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知（x+a）2（x﹣1）3的展开式中，x4的系数为1，则a= 2 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】由（x+a）2（x﹣1）3=（x2+2ax+a2）（x3﹣3x2+3x﹣1），求出它的展开式中x4的系数即可．
【解答】解：（x+a）2（x﹣1）3=（x2+2ax+a2）（x3﹣3x2+3x﹣1），
所以它的展开式中，x4的系数为：
﹣3+2a=1，
解得a=2．
故答案为：2．
14．
【考点】
数列的求和．
【
分
析
】
由
Tn=
出结果．
【解答】解：∵
∴1﹣
∴
=
∴T1==， ， =1﹣ ==， ， =
．
1
﹣=1﹣=，得，由此依次求出Tn的前四项，由此能求
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