功能关系能量守恒定律
题型一、功能关系
【典例1】 (多选)如图所示，在抗洪救灾中，一架直升机通过绳索，用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，以下说法正确的有()．
A．力F所做功减去克服空气阻力所做的功等于重力势能的增量
B．木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量
C．力F、重力、空气阻力三者合力所做的功等于木箱动能的增量
D．力F和空气阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量
【变式跟踪1】从地面竖直向上抛出一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为H，设上升过程中空气阻力f恒定。在小球从抛出到上升至最高处的过程中，下列正确的是（ ）
A．小球的动能减少mgH
B．小球的动能减少fH
C．小球的机械能减少fH
D．小球的机械能减少（mg+f）H
【变式跟踪2】 (多选)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点
3冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度为，此物体在斜面上上升的最大高4
度为h，则在这个过程中物体()．
3A．重力势能增加了mgh B．重力势能增加了mgh 4
1C．动能损失了mgh D．机械能损失了2
【变式跟踪3】升降机底板上放一质量为10kg的物体，物体随升降机由静止开始竖
2直上升6m时，速度达到10m/s，则此过程中（重力加速度g取10m/s）（ ）
A．合外力对物体做功600 JB．物体的重力势能增加600 J
C．升降机对物体做功500 JD．物体的机械能增加1100 J
题型二、摩擦力做功与能量的关系
【典例1】如图所示，一个长为L，质量为M的长方形木板，静止在光滑水平面上，一个质量为m的物块（可视为质点），以水平初速度v0，从木板的左端滑向另一端，设物块与木板间的动摩擦因数为 ?，当物块与木板达到相对静止时，物块仍在长木板上，物块相对木板的位移为d，木板相对地面的位移为s。则在此过程中 （）
A．摩擦力对物块做功为??mg(s?d)
B．摩擦力对木板做功为??mgs
C．木板动能的增量为?mgs
D．系统由于摩擦而产生的热量为 ?
mgd
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[典例2] 如图所示，AB为半径R＝0.8 m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接。小车质量M＝3 kg，车长L＝2.06 m，车上表面距地面的高度h＝0.2 m，现有一质量m＝1 kg的滑块，由轨道顶端无初速度释放，滑到B端后冲上小车。已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运动了t0＝1.5 s时，车被地面装置锁定(g＝10 m/s2)。试求：
(1)滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；
(2)车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；
(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小。
题型三、传送带中的功能关系问题分析
【典例1】如图所示，一质量为m＝2 kg的滑块从半径为R＝0.2 m的光滑四分之一圆弧轨道的顶端A处由静止滑下，A点和圆弧对应的圆心O点等高，圆弧的底端B与水平传送带平滑相接．已知传送带匀速运行速度为v0＝4 m/s，B点到传送带右端C点的距离为L＝2 m．当滑块滑到传送带的右端C点时，其速度恰好与传送带的速度相同．(g＝10 m/s2)求：
(1)滑块到达底端B时对轨道的压力；
(2)滑块与传送带间的动摩擦因数μ；
(3)此过程中，由于滑块与传送带之间的摩擦而产生的热量Q.
【变式跟踪1】 如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v0＝2 m/s的速率运行，现把一质量为m＝10 kg的工件(可看做质点)轻轻放在皮带的底端，经过时间1.9 s，工件被传送到h＝1.5 m的高处，取g＝10 m/s2，求：
(1)工件与传送带间的动摩擦因数；
(2)电动机由于传送工件多消耗的电能．
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题型四 能量转化与守恒定律的应用
【典例1】如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球．支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面垂直的固定轴转动．开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法不正确的是 ( )
A．A球到达最低点时速度为零
B．A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度
D．当支架从左向右摆回时，A球一定能回到起始高度
【变式跟踪1】如图，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用长为2L的轻杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后由静止释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中 ( )
A．A、B两球角速度大小始终相等
B．重力对B球做功的瞬时功率一直增大
C．B球摆动到最低位置时的速度大小为
D．杆对B球做正功，B球机械能不守恒
【典例2】如图所示在水平地面上固定一个半径为R的半圆形轨道，其中圆弧部分光滑，水平段长为L，一质量为m的小物块紧靠一根被压缩的弹簧固定在水平轨道的最右端，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，现突然释放小物块，小物块被弹出，恰好能够到达圆弧轨道的最高点A，取g＝10 m/s2，且弹簧长度忽略不计，求：
(1)小物块的落点距O′的距离；
(2)小物块释放前弹簧具有的弹性势能．
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2gL 3
【变式跟踪1】 如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h，质量为m的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端恰位于坡道的底端O点．已知在OM段，物块A与水平面间的动摩擦因数为μ，其余
各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：
(1)物块滑到O点时的速度大小．
(2)弹簧为最大压缩量d时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)．
(3)若物块A能够被弹回到坡道上，则它能够上升的最大高度是多少？
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课后练习
1．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在墙上，一个小物块（可视为质点）从A点以初速度v0向左运动，接触弹簧后运动到C点时速度恰好为零，弹簧始终在弹性限 度内．AC两点间距离为L，物块与水平面间动摩擦因数为μ，重力加速度为g．则物块由A点运动到C点的过程中，下列说法正确的是（）
A．弹簧和物块组成的系统机械能守恒
B．物块克服摩擦力做的功为mv0
C．弹簧的弹性势能增加量为μmgL
D．物块的初动能等于弹簧的弹性势能增加量与摩擦产生的热量之和
2．如图所示，光滑斜面的顶端固定一轻质弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设物体在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，不计小球与弹簧碰撞过程中的能量损失，则小球在C点时弹簧的弹性势能是（ ）
A．mv B．mv+mgh
C．mv﹣mgh D．mgh
3．质量为m的物体从倾角为30°的斜面上静止开始下滑s，物体与斜面之间的动摩擦
因数??2222，下列说法中正确的是 1
8A．物体的动能增加mgs
B．物体的重力势能减少mgs
C．物体克服阻力所做的功为mgs
D．物体的机械能减少18381mgs 2
4．如图所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于重力加速度的大小g。物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的（ ）
A．动能损失了2mgHB．动能损失了mgH
C．机械能损失了mgH D．机械能损失了1mgH 2
5．（2016·揭阳市5月二模最后一卷）如图甲所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，刚接触轻弹簧的瞬间速度是5m/s，接触弹簧后小球速度v和弹簧缩短的长度Δx之间关系如图乙所示，其中A为曲线的最高点。已知该小球重为3N，弹簧在受到撞击至压缩到最短的过程中始终发生弹性形变。在小球向下压缩弹簧的全过程中，下列说法正确的是
A．小球的动能先变大后变小
B．小球速度最大时受到的弹力为3N
C．小球的机械能先增大后减小
D．小球受到的最大弹力为18.3N
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6．（2016·淮安市5月最后一卷）如图所示，斜面体固定不动，一轻质弹簧沿光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上。分两次将质量为m1、m2（m2>m1）的两物块从斜面上不同位置静止释放，两次运动中弹簧的最大压缩量相同（弹簧始终在弹性限度范围内）。物块从开始释放到速度第一次减为零的过程，则
A．m1开始释放的高度高
B．m1的重力势能变化量大
C．m2的最大速度小
D．m2的最大加速度小
7．（2016·商丘市5月三模】如图所示，质量为m的钢制小球，用长为l的细线悬挂在O点。将小球拉到与O点相齐平的水平位置C处静止释放。小球运动到最低点时对细绳的拉力2mg，若小球运动到最低点B时用小锤头向左敲击它一下，瞬间给小球补充机械能△E，小球就能恰好摆到与C等高的A点。设空气阻力只与运动速度相关，且运动速度越大空气的阻力就越大。则以下关系正确的是
1
A．△E＞mgl B．△E＜2mgl
11
C．△E＝2mgl D．2mgl＜△E＜mgl
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参考答案
1．D
【解析】
试题分析：此过程动能转换为弹性势能和内能，根据能量守恒列式求解．
解：A、物块与水平面间动摩擦因数为μ，由于摩擦力做功机械能减小，故A错误；
BD、此过程动能转换为弹性势能和内能，根据能量守恒知物块克服摩擦力做的功为﹣Wf=mv0﹣EP弹，故B错误，D正确；
C、根据B分析知EP弹=mv0﹣μmgL，故C错误；
故选：D．
【点评】本题分析物体的受力情况和运动情况是解答的关键，能量是守恒的，比较简便
2．C
【解析】
试题分析：利用系统机械能守恒得到弹簧具有的弹性势能．物体的动能减小，转化成物体的重力势能和弹簧的弹性势能．
解：弹簧被压缩至最短时，物体速度为0．
物体沿斜面向上到弹簧被压缩至最短时，物体和弹簧系统机械能守恒．
物体的动能减小，转化成物体的重力势能和弹簧的弹性势能．
mgh+Ep=mv
Ep=mv﹣mgh
故选：C
【点评】熟悉过程中能量的转化，运用能量守恒解决问题，难度不大，属于基础题．
3．AC
【解析】
试题分析：根据动能定理分析动能的变化，由重力做功分析重力势能的变化，由功的计算公式直接求阻力做功，即等于物体机械能的减少。根据动能定理有：mgssin30???mgscos30???Ek，得动能增加量△Ek=mgssin30°2222
1mgs，故选项B错误；物体2
33克服阻力所做的功为 Wf=μmgcos30°?s= mgs，故选项C正确；根据功能关系知，机械能减少△E=Wf=mgs，88﹣μmg scos30°=mgs，故选项A正确；物体重力势能的减少△Ep=mgssin30°=18
故选项D错误。
考点： 动能定理 功能关系 【归纳】解决本题的关键要掌握常见的功与能的关系，知道动能的变化与合力做功有关即W?1212mv?mv0，22重力势能的变化与重力做功有关即WG???EP ，机械能的变化与除重力以外的力做功有关W??E。
4．AC
【解析】
00试题分析：上升的过程中，mgsin30??mgcos30?mg，可知摩擦力大小?mgcos30?01mg，上滑的最2
00大路程s?2H；根据动能定理，合外力做功W?(mgsin30??mgcos30)2H?2mgH，因此动能损失了
2mgH，A正确，B错误；机械能损害要看除重力以外的力做功，在这个过程中，就是摩擦力做功，而摩擦力做的
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功W摩???mgcos300?2H??mgH，因此机械能损失了mgH C正确，D错误。
考点：功能关系
【归纳】此题考查了功和能量转化的关系；要熟练掌握做功与能量转化之间的关系：合力做功等于动能的变化量；重力做功等于重力势能的变化量；除重力以外的其他力做功等于机械能的变化量；这些规律都是经常用到的，也是高考的热点，要熟练掌握.
5．ABD
【解析】由图可知，小球的速度先增加后减小，故小球的动能先增大后减小，故A正确；小球下落时，当重力与弹簧弹力平衡时小球的速度最大，据此有：小球受到的弹力大小与小球的重力大小平衡，故此时小球受到的弹力为3N，所以B正确；在小球下落过程中至弹簧压缩最短时，只有重力和弹簧弹力做功，故小球与弹簧组成的系统机械能守恒，在压缩弹簧的过程中弹簧的弹性势能增加，故小球的机械能减小，故C错误；小球速度最大时，小球的弹力为3N，此时小球的形变量为0.1m，故可得弹簧的劲度系数k=30N/m，故弹簧弹力最大时形变量最大，根据胡克定律知，小球受到的最大弹力为Fmax=kxmax=30×0.61N=18.3N，故D正确．故选ABD.
考点：功能关系
【归纳】本题考查学生对图象的认识，知道小球落在弹簧上后先做加速运动达到最大速度后再做减速运动，这是解决问题的根本，能根据速度最大的条件求得弹簧的劲度系数是关键。
6．ACD
【解析】因为两次运动中弹簧的最大压缩量相同，即弹簧的弹性势能相等，下落过程中的重力势能减小量转化为弹性势能，故mgh??Ep，因为m2?m1，所以m1开始释放的高度高，A正确；两者重力势能变化量相等，B错误；当mgsin??kx时，物块的速度最大，所以当两者具有最大速度时，m2压缩弹簧比较厉害，故其最大速度较小，C正确；当最低点时加速度最大，根据牛顿第二定律可得a?F?mgF??g，故质量大的最大加速度mm
小，D正确；
考点：考查了牛顿第二定律的应用，功能关系
【归纳】在使用牛顿第二定律时，一般步骤为：1、确定研究对象；2、分析物体运动状态；3、对研究对象受力分析；4、建立坐标系；5、选取正方向；6、根据牛顿第二定律列方程求解，必要时对结果进行讨论分析
7．A
【解析】 由C到B的运动过程中，由动能定理知：mgl?Wf1?12mvB，在B点，由牛顿第二定律知：2
2mvBT?mg?，其中T=2mg；在B点给小球补充能量后，小球恰好运动到A点，由动能定理知：l
12-mgl??E?Wf2??mvB，上升过程中，的速大于下降过程的速度，由题意知，Wf2?Wf1；由上各式得：2
?E?mgl，A对。
考点：动能定理、牛顿第二定律。
【归纳】应用动能定理求变力做功时应注意的问题
1．所求的变力的功不一定为总功，故所求的变力的功不一定等于ΔEk.
2．合外力对物体所做的功对应物体动能的变化，而不是对应物体的动能．
3．若有多个力做功时，必须明确各力做功的正负，待求的变力的功若为负功，可以设克服该力做功为W，则表达式中应用－W；也可以设变力的功为W，则字母W本身含有负号
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