第3点 注重知识交汇，强化综合运用 在知识交汇处命制试题是一个永恒不变的规律．分析高考试题，我们不难发现，几乎所有的试题都是在“联系”上做“文章”，如果我们对数学知识的掌握是孤立的，那么在解题时，条件与条件之间、条件与结论之间的“联系”就很难做到沟通，也就很难找到解决问题的有效策略．因此，我们在经历了一轮基础性复习之后，关注知识点间的联系，强化综合成为二轮专题复习的重要策略．
(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2＜2.
结合a的取值图象的变化趋势[解题指导] 求f′(x)――――→讨论函数f(x)的单调性――――――→求
转化思想构造法a的取值范围―――→x1＋x2＜2?f(x1)＞f(2－x2)――→证明结论．
[解] (1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).1分
①设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点.2分
②设a＞0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
aa又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln 2f(b)＞2(b－2)＋a(b－
?23?1)＝a?b－2b?＞0，故f(x)存在两个零点.4分 ??2
③设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
e若a≥－2ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增．
又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点．
e若a＜－2ln(－2a)＞1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0；
当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0.
因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增.6分 又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点．
1
综上，a的取值范围为(0，＋∞).8分
(2)证明：不妨设x1＜x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，f(x)在(－∞，1)内单调递减，
所以x1＋x2＜2等价于f(x1)＞f(2－x2)，
即f(2－x2)＜0.9分
由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，
而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，
所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.
设g(x)＝－xe2x－(x－2)ex， －
则g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)．
所以当x＞1时，g′(x)＜0，而g(1)＝0，
故当x＞1时，g(x)＜0.11分
从而g(x2)＝f(2－x2)＜0，故x1＋x2＜2.12分
【名师点评】 本题以函数的零点为载体，融导数、不等式于其中，重点考查了学生的分类讨论思想和等价转化及推理论证能力.复习该部分知识时，要强化函数、方程、不等式三者间的内在联系，突现导数解题的工具性.
由本例可以看出，在二轮专题复习中，我们务必要密切关注知识之间的相互联系，在强化综合中，加强思维灵活性训练，从而提高分析问题和解决问题的能力，回避偏题、难题、怪题和旧题． 总体来说，在二轮专题复习中，我们要做到“三个强化，三个淡化，一个渗合应用，淡化“偏、难、怪、旧”，渗透数学思想．
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