一、整数的有关概念
1. 自然数：数物体时，用来表示物体个数的0、1、2、3??，叫做自然数。
整数：像?，-3、-2、-1、0、1、2、3??这样的数统称为整数，整数的个数是无限的，自然数是整数的一部分。“1”是自然数的单位，没有最大的自然数，也没有最小的整数。
3负数：为了表示两种意义相反的量，而出现的一种新的数，如-16 、-0.3、-……8
等的数都是负数。 数可以分为正数和负数。所有的负数都小于0. 所有的正数都大于0. 正数大于负数
一个物体也没有，就用0来表示。0是最小的自然数。0还是正数和负数的分界线。0还可以表示起点。0还具有占位的作用。
2. 序数和基数
序数：用来表示物体排列顺序的数。如：小明这次数学考试成绩排在第一名。 基数：用来表示物体数量总数的数。如5个苹果，3元钱等。
3. 数位和位数
数位：用数字表示一个数时所占的位置，这些不同的位置叫数位。如整数的数
位有个位、十位、百位、千位等
位数：位数是指一个自然数含有数位的个数，指这个数有几位数。如：9是一位数。120是三位数。
4. 数和数字
数：用来表示量的大小多少的。如983.5等都是数。
数字：数字是用来写数的符号。常用的数字有中国数字和阿拉伯数字。如：0、1、2??9，共十个数字。
5. 计数单位和进率
计数单位：一（个）、十百、千万、十万??等都是计数单位，每相邻两个计数单位之间的进率都是10.（即：满10进1），这样的计数法也叫十进制计数法。
1
6. 整数的读法和写法
按我国的计数习惯，从个位起，每四位分一级，有个级、万级、亿级
个级包括：个位、十位、百位、千位。
万级包括：万位、十万位、百万位、千万位。
亿级包括：亿位、十亿位、百亿位、千亿位。
读法：读数时，从高位读起，一级一级的往下读，万级和亿级数的读法和个级相同，只是在读完后分别加上“万”或“亿”字。
（顺口溜：读数要从高位读，哪位是几就读几，中间连续几个0，只读一个要牢记，各级末尾有0时，全都不读记心里。）
写法：从高位写起，一级一级往下写，那个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0.
（顺口溜：写数要从高位起，哪位是几就写几，遇到空位要补0，划级检查别忘记。）
7. 数的改写和省略
写作：2155 5360 0000 改写成用“亿”做单位的数是：2155.536亿。 省略“亿”后面的尾数约为 2156亿
2
练习一
1. 读出下面各数
（1） 地球与太阳之间的距离约是149450000千米。
读作： 改写成以“万”做单位数是（ ）
（2） 月亮里地球约是384400千米。
读作： 省略“万”后面的尾数是（ ）
（3） 地球赤道长40075696千米。
读作： 省略“万”后面的尾数是（ ）
2. 写出下面的数
（1） 我国的国土面积是九百六十万平方千米。写作：
（2） 离太阳最近的水星和地球之间的平均距离是五千八百万千米。
写作：
（3） 离太阳最远的冥王星和地球之间的平均距离约是五十九亿一千一百万千
米。写作：
（4） 二十亿零二十万零二百 写作：
3.一个数的十亿位上是8，百万位上是5，万位上是3，百位上是1，其余各位上是0，这个数是（ ），读作（ ），把它改写成以“万”做单位的数是（ ）
4. 783054051有（ ）个亿、（ ）个千万、（ ）个百万、（ ）个万和（ ）个1组成，省略“亿”后面的尾数是（ ）
5.用三个6和两个0组成的五位数中，只读出一个0的数是（ ）；
读出两个0的的数是（）；一个0也不读的数是（ ）
6.最小的五位数与最大的四位数的差是（ ）。
7. 9、0、4、3、5、8留个数中，找出其中的五个数，组成最大的五位数是（ ），最小的五位数是（ ）。
8.把0.72万改写成用“一”做单位的数是（ ）。9230540的最高位时（ ）位，其中的“3”表示3个（）。
9. 4820675000读作（ ），把他改写成用“亿”做单位的数是（ ）。省略“亿”后面的尾数约是（ ）。
10.有一个五位数，加上1后就变成了六位数，这个五位数是（ ）
11.珠穆朗玛峰比海平面高8848.43米，记作（ ），新疆吐鲁番盆地比海平面低158米，记作（ ），海平面记做（ ）。
12.有一个四位数，减去1后，就变成了三位数，这个四位数是（ ）
13.一个整数从个位起向左第五位是（ ）位，它的计数单位是（ ），第七位是（ ）位，它的计数单位是（ ）
14.三个连续自然数的和是48，这三个数从小到大是（ ）、（ ）、（ ）
15.三个连续偶数。中间一个偶数是a,其余的两个分别是（ ）、（ ）
16.读出下面的数
4503250 读作： 4503250=（ ）万
30045709 读作： 30045709≈（ ）万
267000670 读作：267000670≈（ ）亿
17.写出下面的数
四百九十万三千七百 写作：
3
二十四亿伍仟零三万五千 写作：
二、位值原理与整数四则运算
很多小学生总是感觉用竖式计算整数的四则运算很抽象，不好理解，这是因为你们一开始学习数学与数的时候，就没有接触到问题的本质—数的位置原理。
1.“数”与“数字”的区别
要研究位值原理,我们得首先搞明白“数”与“数字”的区别。
学了这么多年数学，很多人连“数”与“数字”的区别都还没搞清楚。
什么是数，这个简单，我们从学习数学起就开始跟数打交道了，随便举几个例子：1（一位数）、59（两位数）、9889（四位数）等等都是数。数有一个天然的分类，那就是按位数分类，可分为一位数、两位数、三位数、四位数……。很显然，数的个数是无限的。
什么是数字，很简单，就是我们常说的阿拉伯数字，只有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字，即数字的个数就是10个！
2.数是怎么组成的（数的来历）？
当我们把物体同数相联系的过程中，碰到的数会越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们。
显然，我们学过的每一个数都是由数字构成的！我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一叫做“十”，10个“十”叫做“百”，10个百叫做 4
“千”，等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百
位，第四位是千位，等等（见下图）。
显然，使用“满十进一”的计数法加上10个阿拉伯数字，我们可以准确地表示出一切数（整数）！即可以用有限的数字表示出无限的数！数就是这样由数字组成的
举个例子，567这个数字的来历用文字表述下就是5写在百位上，6写在十位上，7写在个位上得来的，用式子表述下就是应该是通过5×100+6×10+7×1得来的。567即表示5个百，6个十，7个1的和。
3.什么是位值原理？
我们来研究一个三位数222。虽然百位、十位、个位上三个数字都是2，但是这三个2由于所处数位不同，他们所表示的大小也是不相同的（根据数的来历）。百位上的2应该表示200（2个100，即2×100）、十位上的2应该表示20（2个10，即2×10），个位上的2应该表示2（2个1，即2×1）。即222=2×100＋2×10＋2×1。
即同一个数字，由于它在所写的数的位置不同，所表示的数也不同。合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
4.位值原理的作用
位值原理是整数加、减、乘、除四则运算的主要依据。下面我们举例来解剖四则运算竖式计算过程的本质。
5
例1. 123+345为什么等于468？
我们都知道123+345=468，怎么算出来的，列加法竖式，然后根据加法竖式的计算法则（个位加个位，十位加十位，百位加百位）得出结果为468。
但是加法竖式计算法则依据是什么？即为什么个位与个位相加，十位与十位相加，百位与百位相加得出的就是两数的和（似乎是废话）？其实依据就是位置原理配合上十进制（也就是数的来历）。
因为123是1写在百位，2写在十位，3写在个位得来，即1×100＋2×10＋3×1得来，表示1个百，2个十，3个一的和。
345是3写在百位，4写在十位，5写在个位得来，即3×100＋4×10＋5×1得来，表示3个百，4个十，5个一的和。
所以求123+345等于多少，根据加法的意义，其实就是求两个加数共含有多少个百，多少个十，多少个1。显然123+345一共有（1+3）个百，（2+4）个十，（3+5）个一，用式子表示下就是123+345=（1+3）×100+（2+4）×10+（3+5）×1，最后结果是468.
（1+3）×100+（2+4）×10+（3+5）×1其实就是计算加法竖式时“个位与个位相加、十位与十位相加、百位与百位相加”的运算法则的来由！
即123+345为什么等于468，加法竖式法则只是表面现象，（1+3）×100+（2+4）×10+（3+5）×1才是结果为468的真正原因！
所以任意两个数相加，你如果不用列加法竖式去做的话（口算只是将列竖式的过程在心中进行罢了），都可以用（ + ）×100+（ + ）×10+（ + ）×1的形式去做。举个例子，364+225可以这样去做，364+225=（3+2）×100+（6+2）×10+（4+5）×1=589。
6
以上的计算过程可以简化为：
例1. 364+225
=（3百+6十+4个）+（2百+2十+5个）
=（3百+2百）+（6十+2十）+（4个+5个）
=5百+8十+9个
=589
例2.485-169
=（4百+8十5个）-（1百+6十9个）（个位上的5不够减9） =（4百+7十+15个）-（1百+6十9个）
=（4百-1百）+（7十-6十）+（15个-9个）
=3百+1十+6个
=316
例3.123×4
=（1百 + 2十 + 3）×4
=1百×4 + 2十×4 + 3×4
=4百 + 8十 + 12个1
=4百 + 8十 + 1十+2个1
=4百 +9十 + 2个1
=492
例4. 2145÷15
7
=（2千+1百+4十+5）÷15
=（21百+4十+5）÷15
=1百+（6百+4十+5）÷15
=1百+（6 4十+5）÷15
=1百+4十+（4十+5）÷15
=1百+4十+（4 5）÷15
=1百+4十+3
=143
总结：
明白了位值原理，表面上是将简单的问题复杂化了，但是有好多时候，熟悉了解位值原理可以让我们非常轻松地去理解整数加减乘除四则运算的法则。这一原理同样适用于小数的四则运算。
LYH 2016.03.10
请你利用以上知识阅读理解整数四则运算的意义和计算法则
（一）整数四则运算
1、整数加法：
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。
2、整数减法：
已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。
3、整数乘法：
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
8
在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。 在乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。
4、整数除法：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。 乘法和除法互为逆运算。
在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。
（二）、整数四则运算的计算法则。
1. 整数加法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。
2. 整数减法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。
3. 整数乘法计算法则：
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。
4. 整数除法计算法则：
先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。
练习二 （位值原理练习题）
一、填空
9
1. 345=（ ）百+（ ）十+（ ）个 2. 122=（ ）百+（ ）十+（ ）个
3. 444=（ ）百+（ ）十+（ ）个 4. 655=（ ）百+（ ）十+（ ）个
5. 128=（ ）百+（ ）十+（ ）个 6. 423=（ ）百+（ ）十+（ ）个
二、填空
1. 345=（ ）×100+（ ）×10+（ ）×1 2. 122= （ ）×100+（ ）×10+（ ）×1
3. 444=（ ）×100+（ ）×10+（ ）×1 4. 655=（ ）×100+（ ）×10+（ ）×1
5. 128 =（ ）×100+（ ）×10+（ ）×1 6. 423=（ ）×100+（ ）×10+（ ）×1
三、填空
1. 345=（ ）×10+（ ）×12. 122=（ ）×10+（ ）×1
3. 444=（ ）×10+（ ）×1 4. 655=（ ）×10+（ ）×1
5. 128 =（ ）×10+（ ）×16. 423=（ ）×10+（ ）×1
7. 3456=（ ）×1000+（ ）×100+（ ）×10+（ ）×1=（ ）×100+（ ）×10+（）×1
8. 3456=（ ）×10+( )×1
四、填空
1. 123+321
=（1百+2十+3）+（ ）
=（ + ）百+（ + ）十+（ + ）
=（）百+（ ）十+（ ）
=444
2. 489 —355
=（4百+8十+9）-（ ）
=（ — ）百+（ — ）十+（ — ）
=（）百+（ ）十+（ ）
=134
3. 123×5
=（1百 + 2十 + 3）×5
=1百×（ ） + 2十×（ ） + 3×5
=（ ）百 + （ ）十 + （ ）个1
=（ ）百 + （ ）十 + （ ）个1
=615
LYH20160311
三、 因数 和 倍数
1.因数与倍数
10
a×b=c(a 、b不等于0)，a 、b叫做c的因数，c叫做a和b的倍数.
注意：因数和倍数是相互的，不能单独说谁是因数，谁是倍数。
一个数的因数个数是有限的。最小的因数是1，最大的因数是它本身。
找一个数所有因数要有序的地一对一对地找，避免遗漏。例如：例如16的所有因数有1,16；2,8；4,4。在找的过程有意识地把各个数从小到大排列。如果找到的一对因数是相同的数，只算一个，不要两个都写出来。
一个数的倍数的个数是无限的。最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 找一个数的倍数的方法是用这个数分别乘以1、2、3、4、5 、??
1是任何数的因数。
2. 2、3、5的倍数的特征
（1）个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
自然数中，是2的倍数的数是偶数（或双数）。（如：0、2、4、6、8）不是2的倍数的数是奇数（或单数）。（如：1、3、5、7、9）
（2）个位上是0或5的数，都是5的倍数
（3）一个数各个位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数
3.质数和合数
一个数，如果只有公因数1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 一个质数只有2个因数。
最小的质数是2，没有最大的质数。
20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19
一个数，如果除了1和它本身外，还有别的因数，这样的数叫做合数。 一个合数至少有3个因数。
1即不是质数，也不是合数。最小的合数是4 20以内既是奇数又是合数的两个数是9和15.
4.公因数和最大公因数
两个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的一个叫做这两个数的最大公因数。
互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。成互质关系的两个数，有下列几种情况：
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数与这个质数互质。
两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。
两个质数必然是互质数，但互质的两个数不一定是质数。
倍数关系的两个数。它们的最大公因数是较小的那个数。
互质关系的两个数。它们的最大公因数是1.
11
5.公倍数和最小公倍数
两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数。公倍数中，最小的那个数叫做这两个数的最小公倍数。
倍数关系的两个数的最小公倍数是那个较大的数；互质关系的两个数的最小公倍数是这两个数的乘积。
对于一般关系的两个数，求它们的最大公因数和最小公倍数还可以用短除法或分解质因数的方法。
一.填空
练习三 12
（1）根据4×9=36，（ ）和（ ）是36的因数，（ ）是4和9的倍数。
（2）一个数的因数的个数是（ ）的，其中最小的是（ ），最大的是（ ），一个数的倍数的个数是（ ），其中最小的是（ ）。
（3）24的因数有（ ），这些因数中，（ ）是奇数，（ ）是偶数，（ ）是质数，（ ）是合数，（ ）既不是质数也不是合数。
（4）20以内的奇数有（ ），偶数有（ ），合数有（ ），质数有（ ）。
（5）是2的倍数的最大两位数是（ ），是3的倍数的最小三位数是（ ），是5的倍数的最大三位数是（ ）。是2、3、5的倍数的最大三位数是（ ）。
（6）15、18、30、45、48、135、570和858中，同时是2、3的倍数的数有（ ），同时是2、5的倍数的数有（），同时是2、3、5的倍数的数有（ ）。
（7）24的因数有（），18的因数有（）。24和18的公因数有（ ），24和18的最大公因数有（ ）。
（8）6的倍数有（），9的倍数有（ ），6和9的公倍数有（ ），6和9 的最小公倍数有（ ）。
二.判断
（1）所有的自然数不是质数就是合数。（ ）
（2）所有的自然数不是奇数就是偶数。（ ）
（3）6是倍数，3是因数。（ ）
（4）合数就是偶数，质数就是奇数。（ ）
（5）何止的两个数不一定都是质数。（ ）
（6）一个数的因数一定比它的倍数小。（ ）
（7）一个合数至少有三个因数。（ ）
（8）两个自然数的积，不一定是合数。（ ）
（9）同时是2、5倍数的数，个位数一定是0。（ ）
（10）只有两个因数的数一定是质数。（ ）
（11）个位上是3、6、9的数，都是3的倍数。（ ）
（12）个位上是1、3、5、7、9的数都是奇数。（ ）
（13）两个质数的和是偶数。（ ）
（14）所有的偶数都是合数。（ ）
（15）所有的奇数都是质数。（ ）
（16）在1、2、3、4、5?中，除了质数就是合数。（ ）
（17）两个不同质数的公因数只有1.（ ）
（18）两个数的乘积一定是它们的公倍数。（ ）
四、求两个数的最小公倍数方法汇总
13
李艳辉2012-12-14
1、列举法。
这种方法是先分别写出各自的倍数，再找出它们的公倍数，然后在公倍数里找出它们的最小公倍数。
例如：求12和8的最小公倍数。
12的倍数有：12，24，36，48，60，72，……
8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，64，72，……
12和8的公倍数：24，48，……其中24是12和8的最小公倍数。
2、分解质因数法。
例如：求54和42的最小公倍数。
54=2×3×3×3 42=2×3×7
60和42的最小公倍数=2×3×3×3×7=378 。
这种方法的依据是：两个数的最小公倍数等于它们公有的质因数和各自独有的质因数的积。
3、短除法。
用短除法求30和24的最小公倍数。
2 30 24 …………先同时除以公因数2
3 15 12 …………再同时除以公因数3
54 ……除到两个商只有公因数1为止。
30和24的最小公倍数是2×3×5×4＝120。
用短除法求两个数的最小公倍数，一般都用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。把所有的除数和最后的两个商连乘起来，就得到这两个数的最小公倍数。
4、规律判断法。
（1）如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的积。
例如：求10和9的最小公倍数。
因为10和9是互质数，所以10和9的最小公倍数是10×9=90 。
（2）如果两个数成倍数，那么较大的数是这它们的最小公倍数。
例如：求63和7的最小公倍数。
因为63是7的倍数，所以63和7的最小公倍数是63。
5、大数翻倍法。
如果两个数中的较大数不是较小数的整数倍。只要把它“翻倍”，直到所得的倍数是较小一个数的倍数为止，所得的数就是它们的最小公倍数。例如求24和30的最小公倍数，30X2=60，60不是24的倍数，30X3=90，90不是24的倍数，30X4=120，120是24的倍数，所以24和30的最小公倍数是120。
|6、公式法。根据两个数的最大公约数与最小公倍数的积等于这两个数的乘积。所以两个数的最小公倍数＝两个数的乘积÷两个数的最大公约数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上面公式求出它们的最小公倍数。例如：求12和18的最小公倍数。12 X18=216，12和18的最大公因数是6，12和18的最小公倍数是216÷6=36。
练习四
一、求出下面两数的最小公倍数。
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